保持等价关系的变换半群的一些结果.pdf
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1、 第6 0卷2 0 2 4年第1期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.6 0 2 0 2 4 N o.1 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 4.0 1.0 0 2收稿日期:2 0 2 3 0 2 0 5;修改稿收到日期:2 0 2 3 0 5 1 0基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 2 7 1 4 4 2)作者简介:
2、王守峰(1 9 7 9),男,山东济南人,教授,博士.主要研究方向为半群理论及其应用.E m a i l:w s f 1 0 0 41 6 3.c o m保持等价关系的变换半群的一些结果王守峰,陈 辉(云南师范大学 数学学院,云南 昆明 6 5 0 5 0 0)摘要:给出了保持等价关系的变换半群上的格林关系L,R,H和格林*-关系L*,R*,H*相容的充要条件,刻画了这类半群的左(右,完全)正则性,得到了这类半群的全体幂等元(正则元,富足元)构成子半群的等价描述.关键词:变换半群;格林*-关系;正则性;富足元;幂等元中图分类号:O 1 5 2.7 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9
3、8 8(2 0 2 4)0 1-0 0 0 5-0 6S o m e r e s u l t s o n t r a n s f o r m a t i o n s e m i g r o u p st h a t p r e s e r v e a n e q u i v a l e n c eWANG S h o u-f e n g,CHE N H u i(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s,Y u n n a n N o r m a l U n i v e r s i t y,K u n m i n g 6 5 0 5 0 0,Y u n n a
4、n,C h i n a)A b s t r a c t:F o r t r a n s f o r m a t i o n s e m i g r o u p s t h a t p r e s e r v e a n e q u i v a l e n c e,s u f f i c i e n t a n d n e c e s s a r y c o n d i t i o n s a r e g i v e n,i n w h i c h t h e G r e e n r e l a t i o n s L,R,H a n d G r e e n*-r e l a t i o n s
5、 L*,R*,H*a r e c o m p a t i b l e.T h e l e f t(r i g h t,c o m p l e t e l y)r e g u l a r i t y a r e c h a r a c t e r i z e d,a n d e q u i v a l e n t d e s c r i p t i o n s a r e o b t a i n e d t h a t i d e m p o t e n t(r e g u l a r,a b u n d a n t)e l e m e n t s f o r m a s u b s e m i
6、 g r o u p.K e y w o r d s:t r a n s f o r m a t i o n s e m i g r o u p;G r e e n*-r e l a t i o n;r e g u l a r i t y;a b u n d a n t e l e m e n t;i d e m p o t e n t0 引言设X是非空集,T(X)是X上的全体变换半群,E是X上的等价关系,则对x,yX,TE(X)=T(X):(x,y)E(x,y)E形成T(X)的子半群.该半群是裴惠生教授1首次引入的,自此,这类半群成为变换半群研究的热点,得到了国内外学者的广泛关注.文献2,3
7、 讨论了TE(X)上的格林关系,文献4 讨论了TE(X)上的格林*-关系,文献5,6 讨论了TE(X)上的单位正则元,文献7,8 讨论了TE(X)上的自然偏序.本文在上述研究的基础上刻画半群TE(X)上格林关系和格林*-关系的相容性、相等性,以及半群TE(X)的左正则性、右正则性和完全正则性,同时给出其幂等元、正则元和富足元构成子半群的充要条件.1 预备知识对任意T(X)及YX,记X=x:xX,K e r=(x,y)XX:x=y ,Y-1=xX:x Y.设S是一个半群,S1表示在S上添加一个单位元后得到的半群.当S中有单位元时,S1表示S本身.根据文献9,半群S上的格林关系L和R定义如下:L=
8、(a,b)SS:x,yS1,使得a=x b,b=y a,R=(a,b)SS:x,yS1,使得a=b x,b=a y.5西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 记H=LR,则H也是S上的格林关系.引理19 设,T(X),则(1)(,)L当且仅当X=X;(2)(,)R当且仅当K e r=K e r;(3)(,)H当且仅当X=X,K e r=K e r.设X/E是X的E-类构
9、成的集合.对任意的TE(X),记E()=A-1:AX/E,A-1.引理22 设,TE(X),则(1)(,)L当且仅当X=X,且对任意AX/E,存在B,CX/E,使得A B;(2)(,)R当且仅当K e r=K e r,E()=E();(3)(,)H当且仅当X=X,K e r=K e r,E()=E(),且对任意AX/E,都存在B,CX/E,使得A B,AC.引理32 设TE(X),则正则当且仅当对任意AX/E,存在BX/E,使得AX B.记X=(x,x):xX,X=(x,y):x,yX.引理42 半群TE(X)正则当且仅当E=X或E=X.此时,TE(X)=T(X).设S是半群,则S上的格林*-
10、关系L*和R*定义如下:L*=(a,b)SS:x,yS1,a x=a yb x=b y,R*=(a,b)SS:x,yS1,x a=y ax b=y b.显然,L*和R*是半群S上的等价关系,L*右相容,R*左相容.记H*=L*R*.称S中的元素a是右(左)富足元,若包含a的L*-类(R*-类)具有幂等元.既是左富足元又是右富足元的元素称为富足元.进一步,若S的每个元素都是左富足元(右富足元,富足元),则称S左富足(右富足,富足).容易验证,正则元是富足元,且在正则半群S上,有L=L*,R=R*,H=H*.一般情况下,有LL*,RR*,HH*.引理54 设,TE(X),则(1)(,)L*当且仅当
11、X=X;(2)(,)R*当且仅当K e r=K e r;(3)(,)H*当且仅当X=X,K e r=K e r.对任意TE(X),记X上包含E和K e r的最小的等价关系为E.引理64 对半群TE(X)及TE(X),下列结论成立:(1)TE(X)的每个L*-类都包含幂等元,从而TE(X)是右富足半群;(2)是富足元当且仅当:对于每一个E-类F,都存在AX/E,使得对任意包含在F中的K e r-类K都有AK;(3)TE(X)富足当且仅当每个E-类至多含2个元素或至多有一个非单点集E-类.2 主要结果本节首先给出半群TE(X)上格林关系和格林*-关系相容的充要条件,然后刻画半群TE(X)的左正则性
12、、右正则性和完全正则性,最后给出幂等元、正则元和富足元构成子半群的等价刻画.命题1 对半群TE(X),下列结论等价:(1)L左相容;(2)H左相容;(3)X=1;(4)L*左相容;(5)H*左相容.证明(1)(2).由H=LR且R总是左相容关系知此时H左相容.(2)(3)和(5)(3).假设(3)不成立,则X2.若E=X,则由引理4知TE(X)=T(X).取a,bX并定义,T(X)如下:x=a,x=a,b,xa;x=b,x=a,a,xa;x=a,xX.则X=X且K e r=K e r,于是由引理1知:在T(X)中有(,)HH*.然而X =ab=X,从而由引理1知,在T(X)中有(,)H.由于T
13、(X)正则,故H=H*.这说明H和H*两者都不左相容.若EX,则存在AX/E使得A2.取a,bA,并且定义,T(X)如下:6 2 0 2 4年第1期 王守峰等:保持等价关系的变换半群的一些结果 2 0 2 4 N o.1S o m e r e s u l t s o n t r a n s f o r m a t i o n s e m i g r o u p s t h a t p r e s e r v e a n e q u i v a l e n c ex=a,x=a,b,xa;x=b,x=a,a,xa;x=a,xX.则,TE(X),X=X,K e r=K e r,E()=X=E(),
14、且对任意BX/E,有B A,BA.由引理2知(,)HH*.然而X =ab=X,因此由引理5知(,)H*,这说明H和H*两者都不左相容.(4)(5).由H*=L*R*且R*总是左相容关系知此时H*左相容.(3)(4)和(3)(1).显然.】命题2 对半群TE(X),下列结论等价:(1)R右相容;(2)H右相容;(3)X2;(4)R*右相容;(5)H*右相容.证明(1)(2).由H=LR且L总是右相容关系知,此时H右相容.(2)(3)和(5)(3).假设(3)不成立,则X3.若E=X或E=X,则据引理4可知TE(X)=T(X).取a,b,cX并定义,T(X)如下:x=b,x=a,c,x=b,a,x
15、=c,x,xa,b,c;x=a,x=a,c,x=bb,x=c,x,xa,b,c;x=c,x=b,a,xb.则X=X,K e r=K e r.由引理1知,在T(X)中(,)HH*.然而x =c,x=a,a,xa;x=c,x=c,a,xc.注意到(b,c)K e r(),(b,c)K e r(),所以K e r K e r.由引理1知在T(X)中有(,)H.由于T(X)正则,故H=H*.这说明H和H*都不右相容.若EX且EX,则存在两个不同的E-类A,B使得A2.取a1,a2A,bB,定义,T(X)如下:x=a2,x=a1,a1,xAa1,b,xA;x=a1,x=a1,a2,xAa1,b,xA;x
16、=x,xA,a2,xA.则,TE(X).易证X=X,K e r=K e r,E()=A,XA=E(),且对任意CX/E,有C C,CC.由引理2知(,)HH*,然而a2=a1=a1a2=b=b ,a2=a2=a2=b=b,这表明K e r K e r.由引理5知(,)H*.这说明H和H*不右相容.(4)(5).由H*=L*R*且L*总是右相容关系知此时H*右相容.(3)(4)和(3)(1).若X=1,则结论成立.下设X=2,此时有E=X或E=X,因此TE(X)=T(X).由T(X)正则知R=R*.设X=a,b,并记=a ba a ,=a bb b ,=a ba b ,=a bb a ,则K e
17、 r=K e r,K e r=K e r.由引理1知T(X)的R-类有,和,.由事实=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=,=可知R和R*都相容.】命题3 在TX(X)中,L=L*当且仅当E=X或E=X.7西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 证明 若L=L*,则由引理6(1)知,每个L*-类都包含幂等元,从而每个L-类都包含幂等元,故TE(X)正
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