四年级-数学笔记-下.doc

四年级数学下册
一、 四则运算
【加法的意义】把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
相加的两个数叫做加数；加得的数叫做和。
【减法的意义】已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
在减法中，已知的和叫做被减数。
【加法各部分间的关系】
和 = 加数 + 加数 加数 = 和 – 另一个加数
【减法各部分间的关系】
差 = 被减数 – 减数 减数 = 被减数 – 差 被减数 = 减数 + 差
【加减法间的关系】减法是加法的逆运算。

【乘法的意义】求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。
相乘的两个数叫做因数；乘得的数叫做积。
※ 如果给数字赋予意义，加法中的连个加数之间的意义相同；而乘法中的两个因数之间意义不同。
例如：3只羊和5只羊合起来一共8只羊，算式是3 + 5 = 8，这里的加数3和5，它们指的都是羊的个数，二者意义相同。
有3个小队，每个小队有5只羊，总共的羊的数量是 3 x 5 = 15，这里的因数3和5，3指的是3个队伍，5指的是每个队伍有5只羊，二者意义不同。
【除法的意义】已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因素的运算，叫做除法。
在除法中，已知的积叫做被除数。
【乘法各部分间的关系】
积 = 因数 x 因数 因数 = 积 ÷ 另一个因数
【除法各部分间的关系】
商 = 被除数 ÷ 除数 除数 = 被除数 ÷ 商 被除数 = 商 x 除数
【乘除法间的关系】除法是乘法的逆运算。
【0在四则运算中的特性】
1. 加法中，一个数加上0，还得原数。 如5 + 0 = 5
2. 减法中，一个数减去0，还得原数。 如9 – 0 = 9
3. 乘法中，一个数和0相乘，均得0。 如182 x 0 = 0
4. 除法中，0除以一个非0的数，还得0（注：0不能做除数）。 如0 ÷ 92 = 0
【四则运算】加、减、乘、除四种运算统称为四则运算。
【运算顺序】
1. 没有括号的四则混合运算的算式中，先算乘、除法，后算加、减法。
2. 含有小括号的混合运算顺序是：先算小括号里面的，再算小括号外面的。括号里面的算式运算顺序遵守上述第1条。
3. 既有小括号，又有中括号（也叫方括号）的算式中，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
例： 96 ÷ [ ( 32 + 16 ) x 2 ] 推理出图示方式。
16
32
【分析】
+ 最先计算 (32 + 16)，故32和16应该在图的最顶部
48
2
(32 + 16)计算结果看成整体
X 这是运算的第二步，故计算结果和2放在图的第二层

96
96
÷ 96除以x2 运算后的结果，这是整体运算的第三步

放在图的第三层

根据图示反推算式，就是上述分析的逆过程。图示表达式中，从上到下分为不同的层，每一层代表一步计算顺序，从上到下依次进行，这与先乘除后加减，先算括号内再算括号外的规则一一对应。

【租船策略问题】
一共32人，大船限乘6人，每船租金30元；小船限乘4人，每船租金24元。问如何租船最省钱。
两条原则：
1. 优先选择单价最便宜的方式
2. 尽可能保证没有空位
寻找租船方案时，每一步都要按同时满足上述2条原则的方法进行，当出现同时满足2条原则时，该方案即为最优方案。
大船租金30元，限乘6人，相当于平均每人5元（30 ÷ 6 = 5）；
小船租金24元，限乘4人，相当于平均每人6元（24 ÷ 4 = 6）；
大船人均单价比小船人均单价便宜。按照原则1，需要优先选择大船。
总人数32人
方案1
方案2
方案3
大船数
限6人
租金30
6条
5条
4条
小船数
限4人
租金24
0条
1条
2条
大船剩余空位数
4位
0位
0位
小船剩余空位数
0位
2位
0位
实际总租金
6x30=180
5x30+24=174
4x30+2x24=168
到方案3时，同时满足了2条原则。所以方案3计算出的总租金是最便宜的。
【门票策略问题】
一共32人，其中成人4人，儿童28人。按下列门票规则，如何买最划算？
公园门票：成人票20元/人，儿童票10元/人，团体票15元/人（满5人以上）
一条原则：尽可能选择便宜的票价。
与租船问题差异：租船以船（可坐若干人）为单位整体付租金，可能产生空位。而门票问题直接按人付费，不可能产生空位。
① 各自买对应的票价：总票价 = 4 x 20 + 28 x 10 = 80 + 280 = 360元
② 团体票更便宜，全选团体票：总票价 = 32 x 15 = 480元
③ 方案②中成人选择了便宜的团体票价，但儿童却选择了更贵的团体票，所以总票款更贵了。如果儿童选择儿童票，成人选择团体票，那就可以让不同的人都选择更便宜的票价。 总票价 = （4+1）x15 + （28-1）x10 = 75 + 270 = 345元
二、 观察物体（二）
一句话：多观察，同时在脑海中建立起立体的空间想象图形。

前视图 上视图 左视图 立体图
三、 运算定律
【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，和不变。
【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
【乘法交换律】两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。
【乘法结合律】三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。
【乘法分配律】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。
【减法的运算性质】
1. 一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。
2. 在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变。
【除法的运算性质】
1. 一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积。
2. 在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变。
运算定律
表达公式
特征
加法交换律
a + b = b + a
1. 纯加法算式
2. 减法没有交换律
乘法交换律
a x b = b x a
1. 纯乘法算式
2. 除法没有交换律
加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
纯加法算式
乘法结合律
(a x b) x c = a x (b x c)
纯乘法算式
乘法分配律
(a ± b) x c = a x c ± b x c
a x (b ± c) = a x b ± a x c
1. 符号“±”指加法或减法；
2. 乘法与加法（或减法）的混合算式；
3. 公因数写在括号前或后均可；
减法性质
a – b – c = a – (b + c)
a – b – c = a – c – b
a + b – c = a – c + b
a – b + c = a + c - b
1. 纯加减法算式；
2. 加（或去）括号时，若括号前是减号，括号内的运算符号要同级变号；如：+变成-，-变成+；若括号前是加号，括号内的运算符号不变；
3. 后三个公式表示的实际是交换律的性质，需要注意的是数字要和它前面的符号一起交换；如：+b-c变为-c+b
除法性质
a ÷ b ÷ c = a ÷ (b x c)
a ÷ b ÷ c = a ÷ c ÷ b
a x b ÷ c = a ÷ c x b
a ÷ b x c = a x c ÷ b
1. 纯乘除法算式；
2. 加（或去）括号时，若括号前是除号，括号内的运算符号要同级变号；如：x变成÷，÷变成x；若括号前是乘号，括号内的运算符号不变；
3. 后三个公式表示的实际是交换律的性质，需要注意的是数字要和它前面的符号一起交换；如：xb÷c变为÷cxb
【学习运算定律的意义】即使没有运算定律，一样可以对算式进行加减乘除运算。但是掌握了运算定律，可以简化运算，降低计算错误的可能性，提高运算效率。
【加减法巧算法】
1. 凑整法：观察算式中哪几个数可以凑成整十整百，利用加法交换律、加法结合律以及减法的运算性质，进行巧算。
例：115 + 132 + 118 + 85 – 66 – 34
= (115 + 85) + (132 + 118) – (66 + 34) = 200 + 250 - 100 = 350
2. 分解法 ：观察算式中数字的特点，如果不能用凑整法，但是个别数字接近整十、整百，该数字可以分解为整十整百和另一个数的差（或和），从而简化计算。
例：198 + 1997 + 204 = (200 -2) + (2000 – 3) + (200 + 4)
= 200 + 2000 + 200 – 2 - 3 + 4 = 2400 – 5 + 4 = 2400 – 1 = 2399
【乘除法巧算法】
1. 提取公因数：观察算式中所有数字的特点，如果发现有公因数，可以利用乘法分配律来提取公因数，简化计算。
例1：36 x 29 + 36 = 36 x 29 + 36 x 1 = 36 x (29 + 1) = 36 x 30 = 1080
例2: 666 x 444 + 333 x 112 = 333 x 2 x 444 + 333 x 112
= 333 x ( 2 x 444 + 112) = 333 x (888 + 112) = 333 x 1000 = 333000
2. 凑整法：观察算式中数字的特征，如果发现不同数字间有整数倍的关系，或者凑整的情况，可以利用乘法交换律等方法，简化计算。
例：146 x 21 ÷ 73 x 25 x 4 = (146 ÷ 73) x 21 x (25 x 4) = 42 x 100 = 4200
3. 分解法：观察算式中数字的特点，如果存在特殊运算情况，可以分解数字，使算式出现特殊运算情况，从而简化计算。
例1：12 x 25 = 3 x 4 x 25 = 3 x (4 x 25) = 3 x 100 = 300
例2：(12 x 25) = (10 + 2) x 25 = 10 x 25 + 2 x 25 = 250 + 50 = 300

四、 小数的意义和性质
【小数的组成】由整数部分、小数点和小数部分三部分组成。
【小数的必要性】现实生活中的很多数字都不是整数，比如课桌的高度是1米多，这就需要用小数来表达。
【小数和分数】
小数是分数的另一种表示形式。
分母是10的分数改写为小数时，小数点后有1位小数。如：7 / 10 = 0.7
分母是100的分数改写为小数时，小数点后有2位小数。如：34 / 100 = 0.34

10份里涂色部分占7份，所以是7 / 10，或者0.7。
【小数的意义】分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。
【小数的计数单位】计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作0.1、0.01、0.001……。 每相邻两个计数单位之间的进率是10。
【小数的读法和写法】
有关“0”的读法：整数部分每级末尾的“0”不读，中间无论有几个“0”都只读一个零；小数部分有几个“0”都要依次读出来。

整数部分
小数点
小数部分
举例

1
·
8

5
·
6
3

1
2
·
3
7
8

数位
……
万位
千位
百位
十位
个位
·
十分位
百分位
千分位
万分位
……
计数单位
……
万
千
百
十
一
十分之一
百分之一
千分之一
万分之一
……
表示含义
……
几个万
几个千
几个百
几个十
几个一
几个十分之一
几个百分之一
几个千分之一
几个万分之一
……
整数部分最小的数位是个位；整数部分没有最大的数位。
小数部分最大的数位是十分位；小数部分没有最小的数位。

【小数的性质】
小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，但意义发生改变。

【小数的大小比较】
先比较整数部分，整数部分大的那个数就大；
整数部分相同，就比较十分位，十分位上的数大的那个数就大；
十分位上的数也相同，就比较百分位，百分位上的数大的那个数就大……。

小数的大小比较
整数的大小比较
相同点
从高位开始逐一比较：高位上的数大，这个数就大。
不同点
小数的大小与小数位数的多少无关
整数数位多的数一定比数位少的数大
【小数点移动】
10倍
100倍
1000倍

1/10
1/100
1/1000
右移1位
右移2位
右移3位

左移1位
左移2位
左移3位

【小数与单位换算中的进率问题】
小数的不同数位中，相邻数位间的进率是10。
带有单位的小数在进行单位换算时，要注意不同单位间的进率是不是10。
如果不同单位间的进率也是10，那么它们可以和小数的不同数位进行一一对应；
例如：元角分相邻单位间进率是10，9.28元 = 9元2角8分
如果不同单位间的进率不是10，就不能和小数数位一一对应，而要按单位间的进率进行换算；
例如：吨和公斤间的进率是1000，9.28吨 = 9吨 + 0.28吨 = 9吨280公斤
【小数与单位换算中的换算方向】
举例说明：1元和10角是等价的，1元就像是零散的10角的一个大包装。大小单位间的换算，就像把东西组成大包装或者从大包装里拆出零散的小包装一样。
对1元和10角进行等价换算，“元”的大包装换成“角”的小包装时，包装（单位）变小，数量（数字）就会变大；反过来，包装（单位）变大，数量（数字）就会变小。
大单位变为小单位，数字会变大，需要乘以进率；
小单位变为大单位，数字会变小，需要除以进率；
例如：
“米”和“厘米”间的进率是100。 6米换为_____厘米时，单位变小，数字需要变大，6需要乘以进率100，所以6米 = 600厘米。
“吨”和“公斤”间的进率是1000。3000公斤换为_____吨时，单位变大，数字需要变小，3000需要除以进率1000，所以3000公斤 = 3吨。
【带有单位的小数的组成】
带有单位的小数，如果由若干个不同单位的数字部分组成，它们之间是“+”的关系。在这个理解基础上，就方便进行单位换算了。
例如：1米45厘米 = 1米 + 45厘米 = 1米 + 0.45米 = 1.45米
【小数的精确度】
一个小数的最后一位是哪一位（指数位），就说明这个小数精确到了哪一位。
如：0.984的最后一位是千分位，说明0.984精确到千分位。
【求近似数】求近似数的方法是四舍五入。求近似数时要求把小数精确到哪一位，就要对这一位的下一位进行四舍五入处理。 是否是近似数，关键看是否有四舍五入动作产生。
例如：0.984要求保留2位小数，就要对第3位小数“4”进行四舍五入处理，= 0.98
789230000 = 7.8923亿，这个换算不是近似数，因为没有四舍五入动作产生。
五、 三角形
【两点间的距离】两点间所有连线中，线段最短。这条线段的长度叫做两点间的距离。
注：所有的连线，可能是直线，也可能是曲线。
【三角形的定义】由3条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。
【高和底】从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；这条对边叫做三角形的底。
三角形有3条边，3个角，3个顶点，3个高，3个底。
三角形具有稳定性。 三角形任意两边之和大于第三边。
判断3条线段能否围成三角形的方法：拿较短的两条线段相加，再与最长的线段相比，大于最长线段则可以围成三角形；否则不能围成。
三角形3个内角之和等于180°。 三角形任意两个内角之和不一定大于第三个角。
例如：30° + 30° + 120°这样一个等腰三角形， 30° + 30° < 120°
不等边 等腰三角形
三角形

锐角三角形
直角 钝角
三角形 三角形

【三角形的分类】

等边三角形

按角分类 按边分类
1. 任意一个三角形都有2个角是锐角。所以按角分类时，关键是看第三个角的大小，它是什么角，这个三角形就是什么三角形。
2. 等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况，等边三角形一定是等腰三角形；但是反过来等腰三角形不一定是等边三角形。
3. 按角分类还是按边分类，它们只是对三角形的不同角度，就像对学生既可以按性别区分，也可以按高矮区分一样。等腰三角形（按边来说）可以是锐角三角形、直角三角形或者钝角三角形（按角来说）。在直角三角形中，如果两条直角边相等，那么它可以进一步叫做等腰直角三角形（它的两个底角都是45°，就是三角板中的其中之一）。
4. 等边三角形的每个角都是60°，它属于锐角三角形。
【内角和】
三角形的3个内角和是180°；
四边形的4个内角和是360° = 2 x 180°（四边形可以分成2个三角形）；
五边形的5个内角和是540° = 3 x 180°（五边形可以分成3个三角形）；
……
n边形内角和 = ( n – 2 ) x 180°（n边形可以分成（n - 2）个三角形）；

四边形分为2个三角形。
五边形分为3个三角形

六、 小数的加法和减法
【对比】
整数加减法：相同数位要对齐，从个位开始运算；若加满10则进1（加法）；若不够减从前一位退1当10，和本位上的数加在一起再减（减法）；
小数加减法：小数点要对齐，从末位开始运算；若加满10则进1（加法）；若不够减从前一位退1当10，和本位上的数加在一起再减（减法）；得数的小数点同样对齐；
6 . 4 5 8 . 3
+ 8 . 3 - 6 . 4 5
1 4 . 7 5 1 . 8 5

加减法的运算定律（加法交换律、加法结合律、减法的运算性质）同样适用于小数。
0.6 + 7.91 + 3.4 + 0.09 =( 0.6 + 3.4) + (7.91 + 0.09) = 4 + 8 = 12（加法结合）
4.97 – 2.8 – 1.2 = 4.97 – (2.8 + 1.2) = 4.97 – 4 = 0.97 （减法运算性质）
七、 图形的运动（二）
【轴对称图形】如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线叫做对称轴。

A O B 左右不对称
左右对称

轴对称图形中，对称点之间的连线与对称轴互相垂直。如上图AB之间的连线与对称轴虚线相互垂直。
轴对称图形中，对称点到对称轴的距离相等。
【根据对称轴补全对称图形的方法】
①找出图形上每条线段的端点；
②根据对称轴确定每一个端点的对称点；
③依次连接各对称点，将图形补全；

【图形平移】图形在平移的过程中，每个对应点移动的距离都相等。对应点之间的方格数即平移的距离。
确定方格中图形平移的方向和距离的方法是：
①根据箭头的指向确定平移（上、下、左、右）的方向；
②找出平移前后两个图形的一组对应点，对应点之间的格数就是平移的距离；

图形平移的作用：可以把不规则图形转化成规则图形，方便分析和计算。

面积不好计算 通过平移变为长方形，面积好计算

八、 平均数与条形统计图
【平均数的意义】一组数据的和除以这组数据的个数，所得的商叫做平均数。
它是描述数据集中趋势的一个统计量，常用于表示统计对象的一般水平，可以描述一组数据的总体情况。
【平均数的求法】
1. 移多补少法，从多的数量中拿出一部分给少的数量，使它们的数量相等。
2. 公式法，总数量 ÷ 总份数 = 平均数 平均数 x 总份数 = 总数量
【平均数和平均分的区别】
平均数并不是实际每份的数量，它不是一个实际的数，而是借助平均分的意义通过计算得到的。
平均分的结果是真实存在的，每个数量都一样多。平均数的结果是“虚拟”的，是假设各个数量都一样多。
例如：2个孩子一共12个苹果，一个人有4个，另一个人有8个，平均每个孩子有6个苹果。这里的“6个”就是平均数，并不代表每个孩子一定有6个苹果。
而如果把12个苹果平均分给2个孩子，每个人有6个。这里的“6个”是平均分的结果，是每个孩子实际分得的个数。
【用平均数比较几组同类数据的方法】
① 计算出每组数据的平均数；
② 对比各个平均数，综合分析；
③ 进行正确判断，解决问题；

【复式条形统计图】
在同一个条形统计图中，用两种（或多种）不同的直线描述两组（或多组）不同的数据，这样的统计图叫做复式条形统计图。
【两个单式条形统计图合成一个复式条形统计图】

1980年
1990年
2000年
2010年
城镇
21
27
35
46
表1

1980年
1990年
2000年
2010年
乡村
58
54
49
43
表2

1980年
1990年
2000年
2010年
城镇
21
27
35
46
乡村
58
54
49
43

图1 图2

复式条形统计图
单式条形统计图

不同点
表示的数据
同时表示出两组（或多组）数据
只表示一组数据
图例
用两种（或多种）直条表示不同数据，要标出图例
只用一种直条表示数据，不需要图例
反映的信息
体现每组数据的信息；对比两组（或多组）数据，发现更多信息
直观体现一组数据所包含的信息
相 同 点
纵轴和横轴的画法相同，都是用直条的长短表示数量的多少

九、 数学广角 --- 鸡兔同笼
大约1500年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了“鸡兔同笼”数学趣题。

鸡兔同笼，共有8个头，26只脚，问鸡和兔各有几只？
两类解题方法：【1】列表猜测法 【2】假设法
【1】 列表猜测法（数据较大时不适合用，列表数据很多很繁琐）
思路：不管鸡有多少只，兔有多少只，总头数始终是8不变，总脚数是26不变。那么假设鸡和兔的只数，按照鸡有2只脚，兔有4只脚来计算，看看哪个数字组合的总脚数正好是26。
鸡
8
7
6
5
4
3
兔
0
1
2
3
4
5
总脚数
16
18
20
22
24
26
从假设全部是某一种动物开始，然后一种动物逐步增加1头（同时另一种动物逐步减少1头），这样总能找到一组数据总脚数 = 26，这时对应的就是鸡和兔的头数。
【2】 假设法
思路① 假设笼子里全是鸡
核实一下这种假设时总脚数与真实总脚数的差异：假设8只鸡，那么假设的总脚数 = 8 x 2 = 16只脚，比真实总脚数少 26 – 16 = 10只；
减少的10只脚是怎么来的呢？是因为把本来是兔子（4只脚）当成鸡（2只脚）了，每1只兔子看成1只鸡时减少了4 – 2 = 2只脚，所以减少的10只脚里有几个2只脚，就等价于有几只兔子。
列式可得： 兔： （26 – 2 x 8）÷ （4 – 2） = （26 - 16）÷ 2 = 5（只）
鸡： 8 – 5 = 3（只）
思路② 假设笼子里全是兔
核实一下这种假设时总脚数与真实总脚数的差异：假设8只兔，那么假设的总脚数 = 8 x 4 = 32只脚，比真实总脚数多 32 – 26 = 6只；
多出来的6只脚是怎么来的呢？是因为把本来是鸡（2只脚）当成兔（4只脚）了，每1只鸡看成1只兔时多了 4 – 2 = 2只脚，所以多了的6只脚中有几个2只脚，就等价于有几只鸡。
列式可得： 鸡： （4 x 8 - 26）÷（4 – 2） = （32 – 26）÷ 2 = 6 ÷ 2 = 3（只）
兔： 8 – 3 = 5（只）
【古人方法】
假设一声令下，鸡和兔各抬起自己一半的脚（这时鸡有1只脚着地，兔有2只脚着地），因为每只动物都减少了一半的脚数，所以此时总脚数 = 26 ÷ 2 = 13（只）
再想一下：此时每只鸡的脚数 = 鸡头数，此时每只兔的脚数 = 兔头数 + 1；如果让总脚数 – 总头数，它的差就等价于兔的头数（鸡脚 – 鸡头 = 0，兔脚 – 兔头 = 1），所以兔：13 – 8 = 5（只） 鸡：8 – 5 = 3（只）
用抵消的方法，去除掉鸡，剩下的就是兔子的头数。
13 / 13