6.3数学归纳法同步练习1.pdf

世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 1 1 页页 共共 9 9 页页数学归纳法同步练习数学归纳法同步练习一、选择题：1.已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A.30B.26C.36D.62.用数学归纳法证明 3kn3(n3,nN)第一步应验证()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题3.观察下列式子：则可归纳出_.474131211,3531211,23211222224.已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想2133nnaaan=_.三、解答题：5.用数学归纳法证明 4+3n+2能被 13 整除，其中nN*.12n6.若n为大于 1 的自然数，求证：.2413212111nnn7.已知数列,:na 且且且且且且且且且且0111,(4),.2nnnaaaanN8.数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，).用数学归纳法证nn2明数列是等比数列.nSn9.设数列满足,证明 na1112,(1,2,3.)nnnaaana(1)对一切正整数 n 成立.21nan(2)令,判断的大小，并说明理由.,(1,2,3.)nnabnn1nnbb与 世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 2 2 页页 共共 9 9 页页10.试证用面值为 3 分和 5 分的邮票可支付任何 n(n7，nN)分的邮资11.已知,用数学归纳法证明.11,(1,)nniSnnNi221nSn(1,)nnN12.己知数列an满足条件且,设，求bn1(1)(1)(1)nnnana26a nnban的通项公式,并用数学归纳法证明.13.己知数列an满足条件 且 设 21(1)nan试求 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，推导出 f(n)123()(1)(1)(1)(1)nf naaaa的公式，并证明求an的通项公式,14.已知函数且存在使321(),24xf xxx01(0,),2x 00().f xx（I）证明：是 R 上的单调增函数；设()f x其中111110,(),(),2nnnnxxf xyyf y1,2,.n（II）证明：101;nnnnxxxyy（III）证明：111.2nnnnyxyx 世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 3 3 页页 共共 9 9 页页数学归纳法同步练习参考答案数学归纳法同步练习参考答案一、选择题：1.解析：f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036f(1),f(2),f(3)能被 36 整除，猜想f(n)能被 36 整除.证明：n=1,2 时，由上得证，设n=k(k2)时，f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除，则n=k+1 时，f(k+1)f(k)=(2k+9)3k+1(2k+7)3k=(6k+27)3k(2k+7)3k=(4k+20)3k=36(k+5)3k2(k2)f(k+1)能被 36 整除f(1)不能被大于 36 的数整除，所求最大的m值等于 36.答案：C2.解析：由题意知n3，应验证n=3.答案：C二、3.解析：11112)11(112321122即12122)12(1)11(11,35312112222即(nN N*)112)1(131211222nnn归纳为(nN N*)112)1(131211:222nnn答案53,553103,54393,5338333,5237332121333:.454223112naaaaaaaaan猜想同理解析、73:答案839310353n三、解答题：5.5.证明：(1)当n=1 时，421+1+31+2=91 能被 13 整除(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被 13 整除，则当n=k+1 时，42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2)42k+113 能被 13 整除，42k+1+3k+2能被 13 整除当n=k+1 时也成立.由知，当nN N*时，42n+1+3n+2能被 13 整除.6.6.(1)当n=2 时，2413127221121 世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 4 4 页页 共共 9 9 页页(2)假设当n=k时成立，即2413212111kkk2413)1)(12(21241322112124131122112124131111221121213121,1kkkkkkkkkkkkkkkn时则当7.7.（1）方法一 用数学归纳法证明：1当 n=1 时，命题正确.,23)4(21,10010aaaa210 aa2假设n=k时有.21kkaa 则)4(21)4(21,1111kkkkkkaaaaaakn时 11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而.0,04.0111kkkkkkaaaaaa又.2)2(421)4(2121kkkkaaaa时命题正确.由 1、2知，对一切 nN 时有1 kn.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，；0100131,(4),22aaaa2010aa 2假设n=k时有成立，21kkaa 令，在0，2上单调递增，所以由假设)4(21)(xxxf)(xf有：即),2()()(1fafafkk),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时 成立，所以对一切.21kkaa2,1kkaaNn有8.8.由 a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)，知 a2=S1=3a1,nn2112224212aS111S猜测是首项为 1，公比为 2 的等比数列。nSn下面用数学归纳法证明：令 bn=.nSn当 n=2 时,b2=2b1,成立。当 n=3 时,S3=a1+a2+a3=1+3+2(1+3)=12,b3=4=2b2.成立。假设 n=k 时命题成立。即 bn=2bn1.那么当 n=k+1 时。bk+1=.命题成立。kkkkkkkbSkkSkkSkaSkS22121111综上知是首项为 1，公比为 2 的等比数列。nSn 世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 5 5 页页 共共 9 9 页页 9.9.（I）证法一：当不等式成立.,1122,11an时.1)1(2,1.1)1(213221,1.12,122221时成立时时当成立时假设kaknkakaaaknkaknkkkkkk综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.12 nan证法二：当 n=1 时，.结论成立.112321a假设 n=k 时结论成立，即.12 kak当的单增性和归纳假设有)1(1)(,1xxxxfkn由函数时.012132)12112(.3212112:.12112121显然成立而这等价于因此只需证kkkkkkkkkaaakkk所以当 n=k+1 时，结论成立.因此，对一切正整数 n 均成立.12 nan(2)(2)（II）解法一：1)1211(1)11(1211nnnnnananabbnnnnn .12141)21(12)1(21)12()1(212nnbbnnnnnnnnn故解法二：naaannanabbnnnnnnn)1(11111 世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 6 6 页页 共共 9 9 页页.0)1()1(1)1()1()1()1(1)12()1()1)(1(1)()(12)(1()1(1)1()1(112nnnnnnnnbbnnannnnnnannnnnnnnannnnnnnnannannnann所以的结论由解法三：nanabbnnnn2212211 0)1121(11)121212(11)12(11)21(1122222nnnnnnnnaannaaannnnnn故.nnnnbbbb1221,因此10.10.证明 1当 n=8 时，结论显然成立 2假设当 n=k(k7，kN)时命题成立 若这 k 分邮资全用 3 分票支付，则至少有 3 张，将 3 张 3 分票换成 2 张 5 分票就可支付k+1 分邮资；若这 k 分邮资中至少有一张 5 分票，只要将一张 5 分票换成 2 张 3 分票就仍可支付 k+1 分邮资故当 n=k+1 时命题也成立 综上，对 n7 的任何自然数命题都成立11.11.I 世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 7 7 页页 共共 9 9 页页12.12.世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 8 8 页页 共共 9 9 页页13.13.世纪之教世纪之教 问题是数学的心脏问题是数学的心脏论坛：论坛：http:/ 搜集整理搜集整理 世纪之教世纪之教 第第 9 9 页页 共共 9 9 页页14.14.解:（I）f(x)=3x22x+=3(x)2+0,f(x)是 R 上的单调增函数.121316（II）0 x0 ,即 x1x0y1.又 f(x)是增函数,f(x1)f(x0)f(y1).即 x2x00=x1,y2=f(y1)=f()=y1,综上,x1x2x0y2y1.14123812用数学归纳法证明如下:(1)当 n=1 时,上面已证明成立.(2)假设当 n=k(k1)时有 xkxk+1x0yk+1yk.当 n=k+1 时,由 f(x)是单调增函数,有 f(xk)f(xk+1)f(x0)f(yk+1)f(yk),xk+1xk+2x0yk+2yk+1由(1)(2)知对一切 n=1,2,都有 xnxn+1x0yn+1yn.（III）=yn2+xnyn+xn2(yn+xn)+(yn+xn)2(yn+xn)+yn+1xn+1ynxnf(yn)f(xn)ynxn1212 =(yn+xn)2+.由()知 0yn+xn1.yn+xn ,1214121212yn+1xn+1ynxn()2+=121412