数学实验Cauchy中值定理.doc

《数学基础实验》报告

题 目：Cauchy中值定理

学生姓名：左志豪
学 号:1502010817
专业班级:理科1501班

2016年 7月20日
一、 问题背景与提出
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为,用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。
二、 实验目的
根据教材Lagrange中值定理编程方法，并查阅Cauchy中值定理的相关资料，编写通用的Cauchy中值定理验证函数，该函数并具有相应的画图功能.请举例验证该函数.
三、 实验原理与数学模型

四、 实验内容(要点）
1、确定函数以及定义范围等初始条件
2、利用柯西中值定理的公式求出z的值
3、根据柯西中值定理的几何意义画出
4、将函数进行通用性封装
五、 实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）
步骤一：确定函数以及定义范围
x=g［t_]：=t^2；
y=f[t_］：=t;
a=0;
b=p/2;
步骤二:利用柯西中值定理的公式求出z的值
s=Solve[f’[t]/g'［t]Š(f[a]—f［b］)/（g[a]-g[b]），t]；
z=t/。s［［1]]
步骤三:根据柯西中值定理的几何意义画出
①由参数方程构成的函数的图像
L1=ParametricPlot［{𝑔［𝑡］，𝑓[𝑡］｝，｛𝑡，𝑎,𝑏},PlotStyle→{RGBColor[1，0，0]｝]；

②函数两端点的连线的图像
𝐹[x_]：=（𝑥−𝑔[𝑎]）∗（(𝑓[𝑏]−𝑓［𝑎]）(𝑔［𝑏］−𝑔[𝑎]）)+𝑓［𝑎]；
L2 = Plot［｛F［x］}， ｛x, g[a］, g[b］｝， PlotStyle -〉 ｛RGBColor[0, 1， 0］}]

③函数在z点切线的图像
k = f'［\[Zeta］］/g’[\[Zeta]];
G[x_］ ：= k*(x - g［\［Zeta]]) + f[\［Zeta]];
L3 = Plot［{G［x］}, {x， g［a]， g［b]}， PlotStyle -〉 ｛RGBColor［0, 0， 1］}］；

步骤四：图像后期处理
①添加辅助直线x=z
L4=ParametricPlot[{𝑔［𝜁］，𝑦｝,｛𝑦，0,𝑓[𝜁］｝，PlotStyle→{RGBColor[0,0，0]}］;

②给坐标轴添加箭头
Show［L1,L2,L3，L4，DisplayFunction→$DisplayFunction,Axes→True，AxesStyle→Arrowheads［0。05］］

步骤五：封装函数（以下为程序的完整代码)
Cauchy[f_， g_， a_， b_］ :=
Module［{v1， v2, s, F, G, H, I， k, L1， L2， L3, L4， \［Zeta］ = {｝}，
v1 = Variables［f][[1]];
v2 = Variables[g][［1］];
F[t_] = f /. v1 —〉 t；
G［t_] = g /。 v2 —> t;
H[x_] ：= (x - G[a])*（(F[b] - F[a])/（G［b］ - G［a］)） + F［a];
L1 = ParametricPlot[{G［x］, F［x]}， {x, a, b｝,
PlotStyle -〉 ｛RGBColor[1， 0, 0]｝]；
L2 = Plot[{H[x]}， {x， G[a］， G[b］}，
PlotStyle -〉 ｛RGBColor[0， 1, 0］}］；
s = Solve[F'[t]/G'[t］ == (F［a] - F［b])/(G［a］ — G［b］)， t］；
\[Zeta］ = t /. s[［1]］;
k = F'[\［Zeta]］/G'［\[Zeta]］;
I［x_］ ：= k＊(x — G［\［Zeta]]） + F［\［Zeta]];
L3 = Plot［｛I［x］}， {x, G[a]， G［b]｝，
PlotStyle —〉 {RGBColor[0， 0， 1]}］；
L4 = ParametricPlot［｛G［\[Zeta]］, y｝， {y, 0， F［\［Zeta］］},
PlotStyle —> {RGBColor[0, 0, 0]｝];
{”\[Zeta]="［\[Zeta]］，
Show[L1， L2， L3， L4, Axes —> True， AxesStyle -〉 Arrowheads[0.05］]｝
]；
六、 实验结果报告与实验总结
1、输入初始条件
Cauchy[x, x^2, 0， π/2］
2、运行结果

3、实验分析总结

总结：通过本实验掌握并应用Mathematica解方程，求导，函数画图，函数封装等功能。
七、 参考文献
《工科数学分析基础》《Mathematica数学实验(徐安农)》
《数学实验教材初稿(石大）》