2023届重庆八中学数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
2．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，），则下列点在该图象上的是（　　）
A．（﹣5，2） B．（3，﹣6） C．（2，9） D．（9，2）
3．如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（ ）

A．米 B． 米 C． 米 D．米
4．将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点 H 为垂足，设 AB＝x，AD＝y，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为 ( )

A． B． C． D．
6．已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（　　）
A．±3 B．﹣3 C．3 D．
7．如图，等边的边长为 是边上的中线，点是 边上的中点. 如果点是 上的动点，那么的最 小值为（ ）

A． B． C． D．
8．若反比例函数的图象上有两点P1（1，y1）和P2（2，y2），那么（ ）
A．y1＞y2＞0 B．y2＞y1＞0 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
9．若方程x2+3x+c＝0没有实数根，则c的取值范围是（　　）
A．c＜ B．c＜ C．c＞ D．c＞
10．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为(　　)
A．3s B．4s C．5s D．6s
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，如果甲比赛成绩的方差为S甲2=16.7，乙比赛成绩的方差为S乙2=28.3，那么成绩比较稳定的是_____（填甲或乙）
12．在一个不透明的袋子中有若千个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2019
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率
（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是_______（结果保留小数点后一位）．
13．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为___．
14．如图所示，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（6，10），则点C的坐标为_____．

15．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程____．
16．如图，四边形的两条对角线、相交所成的锐角为，当时，四边形的面积的最大值是______.

17．如图，平行四边形中，，.以为圆心，为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧，交于点.若用扇形围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为；若用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为，则的值为______.

18．如果抛物线与轴的一个交点的坐标是，那么与轴的另一个交点的坐标是___________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．
（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，写出表示x和y关系的表达式．
（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x和y的值．
20．（6分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上．
（1）求证：△AEF∽△BFC．
（2）若AB＝20cm，BC＝16cm，求tan∠DCE．

21．（6分）某校为了解每天的用电情况，抽查了该校某月10天的用电量，统计如下（单位：度）：
用电量
90
93
102
113
114
120
天数
1
1
2
3
1
2
（1）该校这10天用电量的众数是 度，中位数是 度；
（2）估计该校这个月的用电量（用30天计算）.
22．（8分）如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为 5，OC⊥AB 于点 D，交⊙O于点 C，且 CD＝1，
(1)求线段 OD 的长度；
(2)求弦 AB 的长度．

23．（8分）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合）．

（1）求证：；
（2）在旋转过程中，试判断等式是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
24．（8分）甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3、4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和1．从这3个口袋中各随机地取出1个小球．
(1)取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？
(2)取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？
25．（10分）如图，在中，， 点是边上一点，连接，以为边作等边.
如图1，若求等边的边长;

如图2，点在边上移动过程中，连接，取的中点，连接，过点作于点.

①求证:；
②如图3，将沿翻折得，连接，直接写出的最小值.

26．（10分）某商场购进一种每件价格为90元的新商品，在商场试销时发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．
【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，
∴这两个三角形的面积比为4：1．
故选C．
【点睛】
此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
2、B
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，）求出k的值，进而根据在反比例函数图像上的点的横纵坐标的积应该等于其比例系数对各选项进行代入判断即可.
【详解】∵若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣4，），
∴k＝﹣4×＝﹣18，
A：，故不在函数图像上；B：，故在函数图像上；
C：，故不在函数图像上；D：，故不在函数图像上.
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征，求出k的值是解题关键.
3、A
【详解】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，
AC=AB•sinα=9sin31°（米）．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．
4、A
【分析】抛物线平移的规律是：x值左加右减，y值上加下减，根据平移的规律解答即可.
【详解】∵将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
∴，
故选：A.
【点睛】
此题考查抛物线的平移规律，正确掌握平移的变化规律由此列函数关系式是解题的关键.
5、D
【详解】因为DH垂直平分AC，∴DA=DC，AH=HC=2，
∴∠DAC=∠DCH，∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAN=∠BAC,∵∠DHA=∠B=90°，
∴△DAH∽△CAB，∴，
∴ ，∴y=，
∵AB<AC，∴x<4，
∴图象是D.
故选D.
6、C
【分析】先根据题意得出和的值，再把式子化成含与的形式，最后代入求值即可.
【详解】由题得：、
∴
故选：C.
【点睛】
本题考查代数式求值和完全平方公式，运用整体思想是关键.
7、D
【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解
【详解】连接BE，与AD交于点G．

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点C关于AD的对称点为点B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∴G点就是所求点，即点G与点P重合，
∵等边△ABC的边长为8，E为AC的中点，
∴CE=4，BE⊥AC，
在直角△BEC中，BE=，
∴EP+CP的最小值为，
故选D.
【点睛】
此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的对称性、三线合一的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
8、A
【详解】∵点P1（1，y1）和P2（2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1=1，y2=，
∴y1＞y2＞1．
故选A．
9、D
【分析】根据方程没有实数根，则解得即可．
【详解】由题意可知：△＝=9﹣4c＜0，
∴c＞，
故选：D．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
10、B
【分析】根据顶点式就可以直接求出结论；
【详解】解：∵﹣1＜0，
∴当t=4s时，函数有最大值．
即礼炮从升空到引爆需要的时间为4s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、甲
【分析】
【详解】∵S甲2=16.7，S乙2=28.3，∴S甲2＜S乙2，
∴甲的成绩比较稳定，
故答案为甲．
12、0.1
【解析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.
【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.1附近，
故摸到白球的频率估计值为0.1；
故答案为：0.1．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
13、1．
【分析】根据概率公式得到 ，然后利用比例性质求出n即可．
【详解】根据题意得，
解得n＝1，
经检验：n＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14、（6，﹣10）
【分析】根据菱形的性质可知A、C关于直线OB对称，再根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：∵四边形OABC是菱形，
∴A、C关于直线OB对称，
∵A（6，10），
∴C（6，﹣10），
故答案为：（6，﹣10）．
【点睛】
本题考查了菱形的性质和关于x轴对称的点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握菱形的性质是关键．
15、720（1+x）2=1．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果该企业全年收入的年平均增长率为x，根据2017年全年收入720万元，2019年全年收入1万元，即可得出方程．
【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，
则2018的全年收入为：720×（1+x）
2019的全年收入为：720×（1+x）2．
那么可得方程：720（1+x）2=1．
故答案为：720（1+x）2=1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，解此类题的关键是掌握等量关系式：增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．
16、
【分析】设AC=x,根据四边形的面积公式，，再根据得出，再利用二次函数最值求出答案.
【详解】解：∵AC、BD相交所成的锐角为
∴根据四边形的面积公式得出，
设AC=x，则BD=8-x
所以，
∴当x=4时，四边形ABCD的面积取最大值
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识点主要是四边形的面积公式，熟记公式是解题的关键.
17、1
【分析】设AB=a，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF与弧长BE，即可求出的值.
【详解】设AB=a，
∵
∴AD=1.5a，则DE=0.5a，
∵平行四边形中，，∴∠D=120°，
∴l1弧长EF==
l2弧长BE==
∴==1
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.
18、
【分析】根据抛物线y=ax2+2ax+c，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据二次函数图象具有对称性和抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），可以得到该抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【详解】∵抛物线y=ax2+2ax+c=a（x+1）2-a+c，
∴该抛物线的对称轴是直线x=-1，
∵抛物线y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点的坐标是（1，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-3，0），
故答案为：（-3，0）．
【点睛】
此题考查二次函数的图形及其性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

三、解答题(共66分)
19、（1）关系式；（2）x=15，y=1．
【解析】（1）根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可；
（2）根据概率公式和（1）求出的关系式列出关系式，再与（1）得出的方程联立方程组，求出x，y的值即可．
【详解】（1）∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有（x+y）个棋，
∵黑棋的概率是，
∴可得关系式；
（2）如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为，又可得；
联立求解可得x=15，y=1．
【点睛】
考查概率的求法,如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
20、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）由矩形的性质及一线三等角得出∠A＝∠B，∠AEF＝∠BFC，从而可证得结论；
（2）矩形的性质及沿CE将△CDE对折，可求得CD、AD及CF的长；在Rt△BCF中，由勾股定理得出BF的长，从而可得AF的长；由△AEF∽△BFC可写出比例式，从而可求得AE的长，进而得出DE的长；最后由正切函数的定义可求得答案．
【详解】（1）∵在矩形ABCD中，沿CE将△CDE对折，点D刚好落在AB边的点F上
∴△CDE≌△CFE
∴∠EFC＝∠D＝90°
∴∠AFE+∠BFC＝90°
∵∠A＝90°
∴∠AEF+∠AFE＝90°
∴∠AEF＝∠BFC
又∵∠A＝∠B
∴△AEF∽△BFC；
（2）∵四边形ABCD为矩形，AB＝20cm，BC＝16cm
∴CD＝20cm，AD＝16cm
∵△CDE≌△CFE
∴CF＝CD＝20cm
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF＝＝12cm
∴AF＝AB﹣BF＝8cm
∵△AEF∽△BFC
∴
∴
∴AE＝6
∴DE＝AD-AE＝16-6＝10cm
∴在Rt△DCE中，tan∠DCE＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形、矩形、相似三角形、直角三角形两锐角互余、勾股定理、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、矩形、相似三角形、勾股定理、三角函数的性质，从而完成求解．
21、（1）113；113；（2）3240度.
【分析】（1）分别利用众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的计算方法计算出平均用电量，再乘以总用电天数即可得解．
【详解】解：（1）113度出现了3此,出现的次数最多，故众数为113度；
将数据按从小到大的顺序排列，共10个数据，位于第5,6的数均为113，故中位数为113度；
（2）（度）．
答：估计该校该月的用电量为3240度．
【点睛】
本题考查的知识点是中位数、众数的概念定义以及算数平均线的计算方法，属于基础题目，易于理解掌握．
22、 (1)OD＝4；(2)弦 AB 的长是 1．
【分析】（1）OD=OC-CD，即可得出结果；
（2）连接AO，由垂径定理得出AB=2AD，由勾股定理求出AD，即可得出结果．
【详解】(1)∵半径是 5，∴OC＝5，∵CD＝1，
∴OD＝OC﹣CD＝5﹣1＝4；
(2)连接 AO，如图所示：

∵OC⊥AB，
∴AB＝2AD，
根据勾股定理：AD＝，
∴AB＝3×2＝1，
因此弦 AB 的长是 1．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AD是解决问题（2）的关键．
23、（1）详见解析；（1）成立．
【分析】（1）由图形得∠BAE=∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA=∠BAD+45°，可得∠BAE=∠CDA，根据∠B=∠C=45°，证明两个三角形相似；
（1）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．
【详解】（1）∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA；
（1）成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，

则CE=BH，AE=AH，∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中，

∴△EAD≌△HAD（SAS）．
∴DH=DE．
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD1+BH1=HD1，即BD1+CE1=DE1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线．
24、 (1)；(2).
【分析】先画出树状图得到所有等可能的情况数；
(1)找出3个小球上恰好有两个偶数的情况数，然后利用概率公式进行计算即可；
(2)找出3个小球上全是奇数的情况数，然后利用概率公式进行计算即可.
【详解】根据题意，画出如下的“树状图”：

从树状图看出，所有可能出现的结果共有12个；
(1)取出的3个小球上恰好有两个偶数的结果有4个，
即1，4，6；2，3，6；2，4，1；2，5，6；
所以（两个偶数）；
(2)取出的3个小球上全是奇数的结果有2个，
即1，3，1；1，5，1；
所以，（三个奇数）.
【点睛】
本题考查的是用树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
25、（1）；（2）证明见解析；（3）最小值为
【分析】(1)过C做CF⊥AB，垂足为F，由题意可得∠B=30°，用正切函数可求CF的长，再用正弦函数即可求解；
(2) 如图（2）1：延长BC到G使CG=BC，易得△CGE≌△CAD，可得CF∥GE，得∠CFA=90°，CF=GE再证DG=AD，得CF=DG，可得四边形DGFC是矩形即可；
（3）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG,先证△EDF≌△F D'B得BD'=DE，当DE最大时最小，然后求解即可；
【详解】解：（1）如图：过C做CF⊥AB，垂足为F，

∵，
∴∠A=∠B=30°，BF=3
∵tan∠B=
∴CF=
又∵sin∠CDB= sin45°=
∴DC=
∴等边的边长为；
①如图（2）1：延长BC到G使CG=BC

∵∠ACB=120°
∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°
又∵∠ACB=60°
∴∠GCE=∠ ACD
又∵CE=CD
∴△CGE≌△CAD（SAS）
∴∠G=∠ A=30°，GE=AD
又∵EF=FB
∴GE∥FC, GE=FC,
∴∠BCF=∠G=30°
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°
∴CF∥DG
∵∠ A=30°
∴GD=AD,
∴CF=DG
∴四边形DGFC是平行四边形，
又∵∠ACF=90°
∴四边形DGFC是矩形，
∴
②）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG

由题意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB
∴△EDF≌△F D'B
∴BD'=DE
∴BD'=CD
∴当BD'取最小值时，有最小值
当CD⊥AB时，BD'min=AC,
设CDmin=a，则AC=BC=2a，AB=2a
的最小值为；
【点睛】
本题属于几何综合题，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质等知识点；但本题知识点比较隐蔽，正确做出辅助线，发现所考查的知识点是解答本题的关键.
26、（1）y=-x+170；（2）W=﹣x2+260x﹣1530，售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【解析】（1）先利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润W，即W=（x﹣90）（﹣x+170），然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+170；
（2）W=（x﹣90）（﹣x+170）=﹣x2+260x﹣1．
∵W=﹣x2+260x﹣1=﹣（x﹣130）2+2，而a=﹣1＜0，∴当x=130时，W有最大值2．
答：售价定为130元时，每天获得的利润最大，最大利润是2元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润=每件的利润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注意自变量x的取值范围．