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(全国卷)年普通高等学校招生全国统一测验(理数)

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
注意事项：
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、 选择题
1、 复数=
A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i
【解析】，选C.
【答案】C
2、已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m=
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
【解析】因为,所以,所以或.若，则,满足.若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B.
【答案】B
3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为
A +=1 B +=1C +=1 D +=1
【解析】椭圆的焦距为4，所以因为准线为，所以椭圆的焦点在轴上，且，所以，，所以椭圆的方程为，选C.
【答案】C
4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为
A 2 B C D 1
【解析】连结交于点，连结，因为是中点，所以,且，所以，即直线 与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离，过C做于,则即为所求距离.因为底面边长为2，高为，所以,,,所以利用等积法得，选D.

【答案】D
（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为
(A) (B) (C) (D)
【解析】由,得，所以，所以，又，选A.
【答案】A
（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
(A) （B） (C) (D)
【解析】在直角三角形中，,则,所以,所以,即，选D.
【答案】D
（7）已知α为第二象限角，，则cos2α=
(A) （B） (C) (D)
【解析】因为所以两边平方得，所以，因为已知α为第二象限角，所以，，所以=，选A.
【答案】A
（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=
(A) （B） (C) (D)
【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.
【答案】C
（9）已知x=lnπ，y=log52，，则
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x
【解析】，，，，所以，选D.
【答案】D
(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1
【解析】若函数的图象与轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为，令，解得，可知当极大值为，极小值为.由，解得，由，解得，所以或，选A.
【答案】A
（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种
【解析】第一步先排第一列有，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有种，选A.

【答案】A
（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
（A）16（B）14（C）12(D)10
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.
【答案】B

第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
（注意：在试题卷上作答无效）
（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________.

【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最 大，此时最小,最小值为.
【答案】
（14）当函数取得最大值时，x=___________.
【解析】函数为，当时，，由三角函数图象可知，当，即时取得最大值，所以.
【答案】
（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.
【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即，所以，所以展开式的通项为，令，解得，所以，所以的系数为.
【答案】

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.

【解析】如图设设棱长为1，则，因为底面边长和侧棱长都相等，且所以，所以， ，，设异面直线的夹角为，所以.
【答案】
三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c.

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.

19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.

21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+()2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.