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数列知识点和常用的解题方法归纳

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数列知识点和常用的解题方法归纳
一、 等差数列的定义与性质

0的二次函数）

项，即：

二、等比数列的定义与性质

三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法
2、；
3、求差(商）法

解：

， ,
［练习］

4、叠乘法

解:

5、等差型递推公式

［练习］

6、等比型递推公式

[练习］

7、倒数法
，
，
,
三、 求数列前n项和的常用方法
1、公式法：等差、等比前n项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

解:

［练习］

3、错位相减法：

4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

［练习］

例1设｛an｝是等差数列,若a2=3，a=13,则数列｛an｝前8项的和为（ ）
A．128 B．80 C．64 D．56 （福建卷第3题）
略解:∵ a2 +a= a+a=16，∴{an}前8项的和为64,故应选C．
例2 已知等比数列满足,则（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243 (全国Ⅰ卷第7题）
答案：A．
例3 已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（ ）
A．30 B．45 C．90 D．186 （北京卷第7题）
略解：∵a—a=3d=9,∴ d=3，b=，b=a=30，的前5项和等于90，故答案是C．
例4 记等差数列的前项和为，若，则该数列的公差（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7 （广东卷第4题）
略解：∵，故选B.
例5在数列中,,,，其中为常数，则 ．（安徽卷第15题)
答案：－1．
例6 在数列中，， ，则（ ）
A． B．
C． D．（江西卷第5题）
答案:A．
例7 设数列中，，则通项 ___________．(四川卷第16题）
此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式,抓住中系数相同是找到方法的突破口．
略解:∵ ∴，，，，，，．将以上各式相加，得，故应填+1．
例8 若（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为（ )
A．6 B．7 C．8 D．9 (重庆卷第10题)
答案:B．
使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题,充分考虑到文、理科考生在能力上的差异,侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如,例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力;例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．重庆卷第1题，浙江卷第4题，陕西卷第4题,天津卷第4题,上海卷第14题,全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．
例9 已知{an｝是正数组成的数列，a1=1,且点()（nN＊）在函数y=x2+1的图象上。 (Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式; （Ⅱ）若数列｛bn}满足b1=1,bn+1=bn+,求证：bn·bn+2＜b2n+1. （福建卷第20题)
略解:（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1,又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故an=1+(n—1）×1=n.
（Ⅱ）由(Ⅰ）知,an=n，从而bn+1-bn=2n，bn=（bn—bn-1)+（bn—1-bn—2)+…+（b2—b1）+b1=2n—1+2n—2+…+2+1=2n—1．∵. bn•bn+2-b=（2n-1）(2n+2-1)—(2n+1-1）2= -2n＜0， ∴ bn·bn+2＜b．
对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：
∵ b2=1,bn·bn+2— b=（bn+1-2n）（bn+1+2n+1)— b=2n+1·bn+1-2n·bn+1—2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n -2n+1)=2n（bn—2n）=…=2n（b1—2）=—2n〈0，∴ bn-bn+2〈b2n+1。
例10 在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．(全国Ⅰ卷第19题）
略解：（Ⅰ）====1,则为等差数列，, ，．
（Ⅱ）,．两式相减，得=．
对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b2-b1=1,b—b=1等有限个的验证归纳得到为等差数列的结论,犯“以偏盖全”的错误．第(Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n项和时给出，是“等比差数列"求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．
例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第18题,江苏卷第19题,辽宁卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维,命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．
例11 等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且．(Ⅰ)求与； (Ⅱ)求和：．（江西卷第19题)
略解：（Ⅰ)设的公差为，的公比为，依题意有解之，得或(舍去,为什么?）故．
(Ⅱ），∴ ．
“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．
使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法,并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合,以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求,有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．
例12 设数列的前项和为，(Ⅰ)求；(Ⅱ）证明： 是等比数列；（Ⅲ）求的通项公式．(四川卷第21题）
略解：（Ⅰ）∵，所以．由知, 得， ①，，．
（Ⅱ）由题设和①式知，， 是首项为2，公比为2的等比数列．
(Ⅲ）

此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项,通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有的递推公式的重要手段,使其转化为不含的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时,还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．
例13 数列满足(I）求，并求数列的通项公式;(II）设，， ，求使的所有k的值，并说明理由．（湖南卷第20题）
略解：（I）
一般地， 当时，
即
所以数列是首项为0、公差为4的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为
（II)由（I）知，
=
于是，.
下面证明： 当时，事实上， 当时， 即又所以当时，故满足的所有k的值为3,4，5.

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