因式分解精选例题(附答案).doc

(完整版)因式分解精选例题(附答案)因式分解 例题讲解及练习【例题精选】： （1） 评析：先查各项系数（其它字母暂时不看),确定5,15，20的最大公因数是5，确定系数是5 ，再查各项是否都有字母X，各项都有时，再确定X的最低次幂是几，至此确认提取X2，同法确定提Y，最后确定提公因式5X2Y。提取公因式后，再算出括号内各项。解: =（2） 评析:多项式的第一项系数为负数,应先提出负号,各项系数的最大公因数为3，且相同字母最低次的项是X2Y 解: = = =(3）(yx）（cba)-(xy)（2a+bc)（x-y）(b2a） 评析:在本题中，yx和x-y都可以做为公因式，但应避免负号过多的情况出现,所以应提取yx解:原式=（yx）(c-b-a)+(y-x）(2a+bc)+(yx）(b2a） =（yx）(c-ba+2a+b-c+b2a) =(y-x)（ba)（4） （4) 把分解因式 评析：这个多项式有公因式2x3，应先提取公因式,剩余的多项式16y41具备平方差公式的形式解：=2=2=（5） （5） 把分解因式 评析：首先提取公因式xy2,剩下的多项式x6-y6可以看作用平方差公式分解，最后再运用立方和立方差公式分解。 对于x6-y6也可以变成先运用立方差公式分解，但比较麻烦. 解： =xy2（x6-y6)= xy2= =（6）把分解因式 评析:把（x+y）看作一个整体,那么这个多项式相当于（x+y)的二次三项式，并且为降幂排列，适合完全平方公式。对于本例中的多项式切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察分析,善于把(x+y）代换完全平方公式中的a,（6Z）换公式中的解: =(x+y-6z)2（7） （7） 把分解因式评析：把x2-2y2和y2看作两个整体,那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后,括号里边实际上就是一个完全平方式。解： = = =（8） （8） 分解因式a2b2-2b1 评析:初看，前两项可用平方差公式分解。采用“二、二”分组，原式=（a+b）（a-b)-（2b+1)，此时无法继续分解。再仔细看，后三项是一个完全平方式，应采用“一、三”分组.解：a2-b22b1= a2-(b2-2b+1)=a2-（b+1)2=a+(b+1)a（b+1）=（a-b1)（a+b+1)一般来说,四项式“一、三”分解，最后要用“平方差”.四项式“二、二”分组,只有前后两组出现公因式，才是正确的分组方案。（9） （9) 把a2-ab+ac-bc分解因式解法一：a2-ab+ac-bc=（a2ab)+（acbc)=a（a-b）+c(a-b）=(a-b）（a+c） 解法二：a2-ab+ac-bc=（a2+ac）-(ab+bc）=a(a+c）b（a+c) =（a-b)（a+c)（10） （10) 把分解因式解法一： =解法二： =说明：例(2）和例（3）的解法一和解法二虽然分组不同，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应系数成比例.（2)题解法一 1：1,解法二也是1：1；（3)题解法一是1:1，解法二是2:(3）（11) 分解因式评析：四项式一般先观察某三项是否是完全平方式.如是，就考虑“一、三分组；不是，就考虑“二、二”分组解法一：=解法二：= =解法三：= =（12） （12) 分解因式（a-b)212c(ab)+c2 评析：本题将（a-b）看作一个整体，可观察出其中三项是完全平方式，可以“一、三”分组解：(ab)212c（a-b)+c2 =(a-b）2-2c（a-b）+c21=(ab）-c21=(abc)2-1-（ab-c+1)（ab-c-1）（13）分解因式8a25ab42b2 8a -21b解：8a2-5ab42b2 a +2b =（8a21b）（a+2b） -21ab+16ab=-5ab（14） （14） 分解因式a610a3+16 解：a610a3+16 a3 -2 =( a32）( a38) a3 8 =( a32）(a2）（a2+2a+4） 8a32a3 =10a3（15） （15） 分解因式-x2+x+30解：x2+x+30 （先提出负号) x +5 =-（ x2-x-30） x 6 =（x+5）(x6) +5x-6x=x（16） （16） 分解因式12(x+y）28(x+y）-7 解：12(x+y）2-8（x+y)-7 2（x+y） +1 =2(x+y）+16(x+y)-7 6(x+y) -7 =（2x+2y+1）(6x+6y7） 14+6=8（17）把分解因式评析:此题是一个五项式，它能否分组分解，要看分组后组与组之间是否出现公因式或是否符合公式。本题注意到后三项当把1提出后，实际上是按立方差公式分解后的一个因式：解: = = =（18） (18） 把分解因式评析：把看成一组符合完全平方公式，而剩下的三项把1提出之后恰好也是完全平方式,这样分组后又可用平方差公式继续分解。解： = = =（19）分解因式 评析：先不要把前面两个二次三项式的乘积展开，要注意到这两个二次三项式的前两项都是这一显著特点，我们不妨设=a可得（a+1）（a+2）-6即a2+3a+2-6,即a2+3a-4，此时可分解为（a+4）（a1）解： = = = = （20）把分解因式解: = = = = (21）把分解因式 评析：它不同于例3（1）的形式，但通过观察，我们可以对这两个二次三项式先进行分解,有。它又回到例3(1)的形式，我们把第一项和第三项结合在一起，第二、四项结合在一起，都产生了（x23x）解： = = = = = = （22）把分解因式 评析:不要轻易展开前四个一次因式的积，要注意到常数有16=23=6 利用结合律会出现a2+6 解： = = =（23）把（x+1）（x+3）(x+5）(x+7）9分解因式 评析：不要轻易地把前四个一次因式的乘积展开，要注意到1+7=3+5,如果利用乘法结合律，把（x+1）（x+7）和（x+3)（x+5）分别乘开就会出现的形式，这就不难发现（x2+8x)作为一个整体a同时出现在两个因式中,即（a+7）(a+15）9的形式，展开后有a2+22a+96,利用十字相乘,得到（a+6）(a+16）而分解。 解：（x+1）（x+3）（x+5）(x+7）-9 =（x+1)(x+7）（x+3）（x+5)-9 = 以下同于例3 = =+96 = =（24)把x（x+1）（x+2)（x+3）24分解因式 评析:通过观察第一项和第四项两上一次式相乘出现（x2+3x）,第二和第三个一次式相乘出现（x2+3x）。可以设x2+3x=a，会有a（a+2)24,此时已易于分解 解：x（x+1)(x+2）（x+3）-24 =x(x+3）（x+1）(x+2）24 = = = =（25）把分解因式评析：不要急于展开，通过观察前两项，发现它们有公共的x2+3x，此时把它看成一个整体将使运算简化。解： = =（26）把分解因式 评析：我们可以观察到+前后的两项都有（a+b）和(c+d）.据此可把它们看作为一个整体.解: = = = =（27）把分解因式 评析：把（1+a）看成一个整体，第一项1与第二项a也合成一个整体(1+a) 解： = = =（28）把分解因式 评析：此题容易想到分组分解法，但比较困难，考虑到 此时可设 再用待定系数法求出m和n 解:设 = 比较两边对应系数 得到 m+2n=2 -3n+2m=11 mn=4 由和 得到m=4，n=-1 代入也成立 =（2x-3y+4）（x+2y-1）(29)把分解因式 解: = =（x+4y+m)(x-2y+n） = 有 m+n=-4 4n-2m=10 mn=3 由和 得到m=-3，n=1 代入也成立 =（x+4y-3)（x-2y-1)（30)当x+y=2时，求的值 评析：x+y=2这是唯一的条件。要从中找到x+y或有关(x+y）的表达式 解：=（x+y)（）+6xy x+y=2 原式= =2=8 （31)己知=2 求的值解：=2原式=2（2）2-3=2 （32）己知x-y=2，求的值解: = = （x-y） 3a = （xy) +2a xy=a 原式=初中因式分解的常用方法（例题详解)一、提公因式法。 如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式, m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用 写出结果三、分组分解法。（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式:分析:从“整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解,但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解:原式= = 每组之间还有公因式！ = 思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后,每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例2、分解因式：解法一:第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解:原式= 原式= = = = =练习:分解因式1、 2、(二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：分析:若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = =注意这两个例题的区别!练习：分解因式3、 4、综合练习:（1） （2）（3) （4）（5） （6）(7） （8）（9） （10)(11）（12）四、十字相乘法。（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式-进行分解。特点:（1）二次项系数是1; （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和. 例5、分解因式：分析:将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5. 由于6=23=(2）(-3)=16=(1）(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 1 = 1 -6 (-1）+(6）= 7练习5、分解因式(1) （2） (3)练习6、分解因式（1) （2） （3）(二）二次项系数不为1的二次三项式-条件：(1） (2） （3） 分解结果:=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （6)+（5）= -11解：=练习7、分解因式：（1) （2) （3） （4)（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解. 1 8b 1 16b 8b+（-16b)= 8b 解：= =练习8、分解因式(1）(2)（3）(四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 2y 把看作一个整体 1 -1 2 3y 1 -2 (3y）+（4y）= 7y （1）+（2）= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2)综合练习10、（1） （2）（3） (4）(5） （6）（7）(8)（9）（10)思考：分解因式：五、主元法. 例11、分解因式: 5 2解法一：以为主元 2 1 解:原式= (5)+(4）= -9 = 1 (5y-2） = 1 （2y1) = -(5y2)+(2y-1)= （3y1）解法二：以为主元 1 -1 解：原式= 1 2 = 1+2=1= 2 （x-1）= 5 -（x+2） = 5(x-1）2（x+2)=(3x-9)练习11、分解因式(1） (2）（3） （4)六、双十字相乘法.定义：双十字相乘法用于对型多项式的分解因式。条件：（1），（2），即： ，则例12、分解因式(1） （2）解：（1）应用双十字相乘法： ，原式= (2）应用双十字相乘法： ，原式=练习12、分解因式（1） （2）七、换元法。例13、分解因式（1) (2）解：(1)设2005=，则原式= = =（2）型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。 原式=设，则原式= =练习13、分解因式（1）（2） (3）例14、分解因式（1)观察：此多项式的特点是关于的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法:提中间项的字母和它的次数，保留系数,然后再用换元法。解：原式=设，则原式= = = = （2）解：原式= 设，则 原式= =练习14、（1）（2）八、添项、拆项、配方法。 例15、分解因式(1） 解法1拆项。 解法2添项。原式= 原式= = = = = = = =（2）解：原式=练习15、分解因式（1） （2）（3） （4）（5） （6）九、待定系数法。例16、分解因式分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为解:设=对比左右两边相同项的系数可得，解得原式=例17、（1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式. (2）如果有两个因式为和，求的值。（1)分析：前两项可以分解为，故此多项式分解的形式必为解:设= 则=比较对应的系数可得:,解得：或当时，原多项式可以分解；当时，原式=；当时，原式=(2)分析:是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如的一次二项式。解:设= 则=，解得，=21练习17、（1）分解因式(2）分解因式（3）已知：能分解成两个一次因式之积，求常数并且分解因式。（4）为何值时,能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式.初二因式分解练习题 5 （单元测试） 姓名 一、填空题：（5分 4=20分）(1)分解因式； ；(2）分解因式: ;（3）分解因式： ;（4）分解因式： ;二、选择题：（5分 6=30分）(1）下列变形，是因式分解的是-（ ）A B C D (2）下列各式中,不含因式 的是-( ）A B C D （3）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是-（ )A B C D (4）已知 ,则 的值是-（ ）A ， B C D ， （5）如果 是一个完全平方式，那么 的值是-( ）A B C D （6)已知 ，则 的值是-（ ）A 0 B C 3 D 9三、把下列各式因式分解:（6分 5=30分）（1） (2） （3） （4) （5） 四、（10分）已知 ，求证: 五、（10分）求证：每个奇数的平方被8除必余1