浦东王牌暑假班上海数学暑假班晋s数列概念与简单表示法.doc
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1、数列的概念与简单表示法【知识点讲解】一、数列的概念:按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中每一个数叫作这个数列的项.项数有限的数列叫有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列,数列中每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(也称为首项),依此下去,通常记为简记为.二、数列的通项公式1、定义:如果数列的第项与项数之间的函数关系可以用一个公式来表示,我们把这个公式叫作这个数列的通项公式.2、数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式,递推公式也是给出数
2、列的一种方法.3、注意事项通项公式是数列的一种重要表示方法,但并不是所有数列都有通项公式,并且有些数列的通项公式并非唯一.例如:的通项公式可写为 ,还可以写成若已知通项公式,可将代入,求出数列各项,还可以判断某数是否为该数列的项及哪一项.三、数列与函数的关系在数列中,对于每一个正整数都有一个数与之对应,因此,在函数的意义下,数列可以看成是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,当自变量从1开始依次取自然数时,所对应的一列函数值为,简记为.四、数列的分类(1)根据项数是有限还是无限来分 有穷数列:项数有限的数列. 无穷数列:项数无限的数列.(2)根据项的增减规律来分递增数列:从第二项起每一项
3、都大于它的前一项.递减数列:从第二项起每一项都小于它的前一项.常数列:各项均相等的数列.摆动数列:从第二项起,有些项大于前一项,有些项小于前一项,如: 递增数列和递减数列统称为单调数列,非单调数列有摆动数列、常数列等.(3)根据任何一项的绝对值是否都小于某一正数来分有界数列:若为常数)无界数列:若使得.五、数列的表示法(1)列举法:如2,4,6,8,.(2)图像法:用表示函数图像上一群孤立的点,这些点的个数可以是无限的,也可是有限的.(3)解析法:用通项公式表示,如(4)递推公式法:用表示数列的后项与前项(前几项)关系的式子来表示数列.如,;六、数列的前项和公式:(1)前项和与通项的基本关系为
4、:七、数列的单调性(1)根据定义:若,则为递增数列;若,则为递减数列;(2)作商比较:(前提是各项均为正数,),若,则递增(或减).八、数列的最值(1)若为最大项;若为最小项.(2)构造函数,先确定单调性,再求最值.【例题】例1. 数列的一个通项公式是 。1.提示:观察和对应项数的关系,不难发现,一般地,例2. 数列的一个通项公式是 。2. 。提示: 这类题应解决两个问题,一是符号,可考虑(-1)n或(-1),二是分式,分子是n,分母n+1。故.例3.将正偶数按下表排成5列: 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 2
5、4 28 26则2006在第 行,第 列。3第251行,第4列.提示:由题意知每列4个数,1003=4250+3,故2006在第251行。又由奇数行的特点知应该是第4列。例4.已知an是递增数列,且对任意nN+,都有an=n2+n恒成立,则实数的取值范围是 。4.。提示:常见的错解:an是一个特殊的二次函数,要保证在n取自然数时单调递增,只须-1,即-2。本题错误的原因在于机械地套用了函数的性质,忽略了数列的离散性的特点。正解 如图,只要-3时就适合题意。例5.观察下列不等式:,由此猜想第个不等式为 .5. 。提示:本题是归纳推理问题,注意到3=22-1,7=23-1,15=24-1,1=,2
6、=,故猜想:。 点评:归纳推理的关键是找到式子变化的共同点和不同点。例6.若数列an满足an+1=则a20的值是 6.提示:。 数列是周期为3的数列,.例7.已知数列an中,an=,求数列an的最大项.解:考察函数,因为直线为函数图象的渐近线,且函数在上单调递减,在上单调递减,所以当且最接近15.6且时,最大,故最大,即第16项最大.例8.设向量a =(),b =()(),函数 ab在0,1上的最小值与最大值的和为,又数列满足: (1)求证:;(2)求的表达式;(3),试问数列中,是否存在正整数,使得对于任意的正整数,都有成立?证明你的结论.解 (1)证明:ab =,因为对称轴 ,所以在0,1
7、上为增函数,。(2)解:由 得 两式相减得, 当时, 当2时, 即 (3)解:由(1)与(2)得设存在正整数,使得对于任意的正整数,都有成立,当时, 当2时,所以当时,当时, 当时, 所以存在正整数,使得对于任意的正整数,都有成立 例9. 数列的通项公式是 。1.an=.提示 因此,an=.例10.数列an满足a1=2,an+1=-,求a2008。2.解 由an+1=-,得an+2=-=-=-. an+3= -=-=an,故a2008=a6693+1=a1=2。【巩固练习】一填空题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.数列,的通项公式的是 。1. 或。提示:写成两种形式都对,an不能省掉
8、。2. 的一个通项公式是 。2. 提示:若把换成,同时首项1换成,规律就明显了。其一个通项应该为:3.在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白( )内.年龄(岁)30 35 40 45 50 55 60 65收缩压(水银柱 毫米)110 115 120 125 130 135 ( )145舒张压(水银柱 毫米)70 73 75 78 80 83 ( )883.140,85。提示:观察上表规律,收缩压每次增加5,舒张压相应增加3或2,且是间隔出现的,故应填140,85。4已知数列,那么是这个数列的第 项.4.10.提示:令=
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