浙教版九年级数学下册第二章.doc

2.1
【知识梳理1：切线的判定】
1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线
2. 切线判定的三种方法：
（1）和圆只有一个公共点的直线
（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线
（3）切线判定定理
例题讲解
例1 下列说法中，不正确的是（ ）
A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D.垂直于半径的直线是圆的切线
例2 如图，AB是⊙O的直径，下列条件中，不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）
A. AB＝4，AT＝3，BT＝5 B. ∠B＝45°，AB＝AT
C. ∠B＝55°，∠TAC＝55° D. ∠ATC＝∠B

第2题　　 第3题
例3 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，连结OA，CF，BF，则下列结论中，不正确的是（ ）
A. ∠F＝∠AOC B. AB⊥BF C. CE是⊙O的切线 D. ＝
例4如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于点E，CE＝DE，过点B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线.

【变式训练】
1. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）
A.点(0，3) B.点(2，3) C.点(5，1) D.点(6，1)

(第1题)　 　 (第2题)
2. 如图，已知∠ABC＝90°，O为射线BC上一点.以点O为圆心，BO长为半径作⊙O.当射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________(不超过360°)时与⊙O相切.
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD交于点E，F.
（1）求证：四边形BEDF为矩形.
（2）若BD2＝BE·BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.

4. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OD⊥AB于点D.以点O为圆心，OD长为半径的圆交OA于点 E，在BA上截取BC＝OB，连结CE.求证： CE是⊙O的切线.

5. 如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(不与点A，B重合)，AD⊥CD.
（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的长.
（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.

【知识梳理2：切线的性质】
1. 切线的性质：经过切点的半径垂直于切线
2. 只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线
例题讲解
例1 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，且BC=OB，CD切⊙O于点D.
则∠A=（ ）
A. 15°　　　 B. 30° C. 60°　　　 D. 75°

第1题 第2题
例2 如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（ ）
A. 4 B. 2 C. 8 D. 4
例3 如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于点T，连结AT，AC⊥PQ于点C，交⊙O于点D.
（1）求证：AT平分∠BAC.
（2）若AO＝2，AT＝2 ，求AC的长.

例4如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝8，O是斜边AB上一点，以点O为圆心的⊙O分别与AC，BC相切于点D，E.
（1）当AC＝2时，求⊙O的半径.
（2）设AC＝x，⊙O的半径为y，求y关于x的函数表达式.

【变式训练】
1. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连结AC.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为_________.

第1题 第2题
2. 如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上.若BG＝－1，则△ABC的周长为__________
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A. B. C. D. 2

第3题　　 第4题
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4 .若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.
（1）当点D运动到线段AC的中点时，DE＝___________.
（2）若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝__________时，⊙C与直线AB相切.

5. 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.
（1）求证：CE是⊙O的切线.
（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.

6. 如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E.
（1）求证：∠1＝∠2.
（2）若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长.

【综合例题讲解】
例1如图，公路MN与公路PQ在点P处交会，且QPN＝30°，在点A处有一所中学，AP＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路交会处沿PN方向行驶时，学校是否会受噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且已知拖拉机的速度为18 km/h，则学校受影响的时间为多少秒？

例2如图，在平面直角坐标系中，原点为O，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(－1，0)，以AB的中点P为圆心，AB长为直径作⊙P交y轴正半轴于点C.
（1）求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数表达式.
（2）设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式.
（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论.

【变式训练】
1. 如图①，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC.

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由.
（2）如图②，若线段AB，DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2－，求⊙O的半径和BF的长.

2. 如图，射线QN与等边三角形ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t(s)，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请求出t可取的一切值

2.2
知识要点：切线长定理】
1. 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等
2. 注意切线和切线长两个不同的概念
【例题讲解】
例1 如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（ ）
A. 4 B. 8 C. 4 D. 8

例1图 变式1图
【变式训练】
1. 如图，PA，PB，CD分别与⊙O相切于点A，B，E，若PA＝7，则△PCD的周长为_________
2. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连结OA，OP，则的值是_________

变式2图 变式3图
3. 如图，⊙O与△ABC中AB，AC的延长线及BC边相切，且∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是___________.
例2如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结OP与⊙O交于点C，连结AC，BC.
求证：AC＝BC.

【变式训练】
1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，EF⊥AB，垂足为F.
（1）求证：DE＝BC.
（2）若AC＝6，BC＝8，求S△ACD∶S△EDF的值.

2. 如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F，G两点，且与AB，AC分别相切于点D，E，DE∥BC，连结DF，EG.
（1）求证：AB＝AC.
（2）若AB＝10，BC＝12，求当四边形DFGE是矩形时⊙O的半径.

3. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点(不与点M，C重合)，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E.求四边形CDFP的周长.

【综合例题讲解】
1. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，BE∥CO.
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．

2. 如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N.
（1）求证：∠ADC＝∠ABD；
（2）求证：AD2＝AM·AB；
（3）若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长．

2.3【知识要点：三角形的内切圆】
1. 三角形内、外心的区别
名称
确定方法
图形
性质
外心
三角形_____________的交点

内心
三角形_____________的交点

2. 注意“接”与“切”，“内”与“外”的区别，任意一个三角形都有________的内切圆和外接圆，但圆有__________个外切三角形和内接三角形.
解题小技巧：
（1）已知△ABC的面积为S，内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则有： S=（a+b+c）r
（2）已知Rt△ABC两直角边为a，b，斜边为c，则该直角三角形的内切圆半径： r=（a+b+c）
例题讲解
例1给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2 个C．3个 D．4个
【变式训练】
1. 下列说法中，不正确的是( )
A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
例2如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）
A. B. C. D.

例2图 变式1图
【变式训练】
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，⊙O为△ABC的内切圆，D是斜边AB的中点，则tan∠ODA＝（ ）
A. B. C. D. 2
例3如图，在平面直角坐标系中，有一正方形AOBC.反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC，求k的值.

【变式训练】
1. 如图，⊙O是以∠ACB为直角的△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F.
（1）填空：当_____________时，EF∥AB（填上符合题目要求的一个条件即可）.
（2）当EF∥AB时，设⊙O的半径r＝1，DE，AC的延长线交于点G，求GF的长.

2. 如图，在△ABC中，AC＝BC，I为△ABC的内心，O为BC上一点，过B，I两点的⊙O交BC于点D，tan∠CBI＝，AB＝6.
（1）求线段BD的长.
（2）求线段BC的长.

【链接中考】
1. △ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则
∠AIB的度数是（ ）
A．120° B．125° C．135° D．150°
2. 一个钢管放在V形架内， O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60°，则OP =________.
3. 如图，在△ABC中，，cosB．如果⊙O的半径为cm，且经过点B、C，那么线段AO=　　　　cm．

4. . 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，点O为△ABC的内心，M为斜边AB的中点，求OM的长

【综合例题讲解】
例1如图，在△ABC中，AC＝BC，∠CAB＝α(定值)，⊙O的圆心O在AB上，并分别与AC，BC相切于点P，Q.
（1）求∠POQ的度数(用含α的代数式表示).
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与⊙O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的度数是否保持不变，并说明理由.
（3）在（2）的条件下，如果AB＝m(m为已知数)，cos α＝，设AD＝x，DE＝y，求y关于x的函数表达式（并指出自变量x的取值范围）.

例2 在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，以D为坐标原点，CD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若⊙O1、⊙O2分别为△ACD，△BCD的内切圆，求直线O1O2的函数表达式

【课后作业】
1. 如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E.求证：CD＝CE.

2. 如图，⊙D的半径为3，A是⊙D外一点，且AD＝5，AB，AC分别与⊙D相切于B，C两点，G是上任意一点，过点G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F.
（1）求△AEF的周长.
（2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连结CD，求五边形DBEFC的面积.

3. 如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB＝16 cm，cos ∠OBH＝.
（1）求⊙O的半径；
（2）如果要将直线l向下平移到与⊙O相离的位置，平移的距离应满足什么条件？

4. 如图①，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝6，AD＝8.点P，Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB，BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达终点？此时t为何值？(直接写出结果)
（2）当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切(如图②)．
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若能，求出t的值或取值范围；若不能，请说明理由．