2023届甘肃静宁县第一中学高一上数学期末调研模拟试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．下题中，正确的命题个数为（）
①函数的定义域为；
②已知命题，则命题的否定为:；
③已知是定义在[0，1]的函数，那么“函数在[0，1]上单调递减”是“函数在[0，1]上的最小值为f(1)”的必要不充分条件；
④被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度
A.1 B.2
C.3 D.4
2．已知函数，，则函数的零点个数不可能是（）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
3．已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4．已知，则的最小值是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
5．已知函数，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若是在内的两根，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．已知定义在上的函数满足：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为
A.-5 B.-6
C.-7 D.-8
8．已知向量满足，，则
A.4 B.3
C.2 D.0
9．已知x，，且，则
A. B.
C. D.
10．设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　）
A.
B.点是函数的一个对称中心
C.在上是增函数
D.存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点
11．已知函数为偶函数，且在上单调递减，则的解集为　　
A. B.
C. D.
12．设，若，则的最小值为
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知在上的最大值和最小值分别为和，则的最小值为__________
14．已知点是角终边上任一点，则__________
15．若，，则a、b的大小关系是______．（用“＜”连接）
16．下列命题中所有正确的序号是______________
①函数最小值为4；
②函数的定义域是，则函数的定义域为；
③若，则的取值范围是；
④若 (,)，则
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
18．设，已知集合，
（1）当时，求；
（2）若，且，求实数的取值范围
19．已知函数.
（1）若且的最小值为，求不等式的解集；
（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．已知函数；
（1）求的定义域与最小正周期；
（2）求在区间上的单调性与最值.
21．已知函数
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数的取值范围
22．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：
年份
2015
2016
2017
2018

投资成本
3
5
9
17
…
年利润
1
2
3
4
…
给出以下3个函数模型：①；②（，且）；③（，且）.
（1）选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；
（2）试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、B
【解析】对于①，求出函数的定义域即可判断；
对于②，根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断；
对于③，根据充分条件和必要条件的定义，举出反例即可判断；
对于④，计算出经过5分钟，转过的角的弧度即可判断.
【详解】解：对于①，由，
得，解得且，
所以函数的定义域为，故①正确；
对于②，命题，的否定为:，故②错误；
对于③，若函数在[0，1]上单调递减，则函数在[0，1]上的最小值为f(1)，
若函数在[0，1]上的最小值为f(1)，无法得出函数在[0，1]上单调递减，
例如，
函数在[0，1]上不单调，且函数在[0，1]上的最小值为f(1)，
所以“函数在[0，1]上单调递减”是“函数在[0，1]上的最小值为f(1)”的充分不必要条件，故③错误；
对于④，根据题意经过5分钟，转过的角的弧度为，故④正确，
所以正确的个数为2个.
故选：B.
2、B
【解析】由可得或，然后画出的图象，结合图象可分析出答案.
【详解】由可得或
的图象如下：

所以当时，，此时无零点，有2个零点，所以的零点个数为2；
当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；
当时，，此时有4个零点，有2个零点，所以的零点个数为6；
当时，，此时有3个零点，有2个零点，所以的零点个数为5；
当且时，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；
当时，，此时的零点个数为2；
当时，，此时有2个零点，有3个零点，所以的零点个数为5；
当时，，此时有2个零点，有4个零点，所以的零点个数为6；
当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以零点个数为4；
当时，，此时有2个零点，无零点，所以的零点个数为2；
综上：的零点个数可以为2、4、5、6，
故选：B
3、A
【解析】可判断在单调递增，根据单调性即可判断.
【详解】当时，单调递增，
，，
，.
故选：A.
4、C
【解析】，根据结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：，
因为，又，所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
即的最小值是7.
故选：C
5、A
【解析】把函数图象向右平移个单位，得到函数，化简得 且周期为，因为是在内的两根，所以必有，根据 得，
令，则，，所以 ,故选A.
6、D
【解析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.
【详解】由题设，，易知：关于对称，又恒成立，
当时，，则，可得；
当时，，则，可得；
当，即时，，则，即，可得；
当，即时，，则，即，可得；
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.
7、C
【解析】由题意知，函数的周期为2，则函数在区间上的图像如下图所示：

由图形可知函数在区间上的交点为，易知点的横坐标为-3，若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为.
考点：分段函数及基本函数的性质.
8、B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因
所以选B.
点睛：向量加减乘：
9、C
【解析】原不等式变形为，由函数单调递增，可得，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性逐一分析四个选项即可得答案
【详解】函数为增函数，
，即，可得，
由指数函数、对数函数、幂函数的单调性可得，B，D错误，
根据递增可得C正确，故选C
【点睛】本题考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性，是中档题．函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值
10、D
【解析】根据f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．结合周期判断各选项即可
【详解】函数f（x）=asinx+bcosx= 周期T=2π
由题意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正确；x=取得最小值，那么+=就是相邻的对称中心，∴点（,0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x=取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在是减函数
故选D
【点睛】本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力
11、B
【解析】根据为偶函数，可得；根据在上递减得；然后解一元二次不等式可得
【详解】解：为偶函数，所以，即，，
由在上单调递减，所以，
，可化为，即，
解得或
故选：
【点睛】本题主要考查奇偶性与单调性的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12、D
【解析】依题意，，根据基本不等式，有.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】如图：

则当时，
即时，
当时，原式
点睛：本题主要考查了分段函数求最值问题，在定义域为动区间的情况下进行分类讨论，先求出最大值与最小值的情况，然后计算，本题的关键是要注意数形结合，结合图形来研究最值问题，本题有一定的难度
14、##
【解析】将所求式子，利用二倍角公式和平方关系化为，然后由商数关系弦化切，结合三角函数的定义即可求解.
【详解】解：因为点是角终边上任一点，所以，
所以，
故答案为：.
15、
【解析】容易看出，＜0，＞0，从而可得出a，b的大小关系
【详解】，＞0，,∴a＜b
故答案为a＜b
【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，考查对数函数和指数函数的值域．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16、③④
【解析】利用基本不等式可判断①正误；利用抽象函数的定义域可判断②的正误；解对数不等式可判断③；构造函数，函数在上单调递减，结合，求得可判断④.
详解】对于①，当时，，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立，
所以，函数，的最小值不是，①错误；
对于②，若函数的定义域为，则有，解得，即函数的定义域为，②错误；
对于③，若，所以当时，解得：，不满足；当时，解得：，所以的取值范围是，③正确；
对于④，令，函数在上单调递减，由得，则，即，故④正确.
故答案为：③④.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】（Ⅰ）由已知得，，从而平面，由此能证明；（Ⅱ）连接与相交于，连接，由已知得，由此能证明平面
试题解析：（Ⅰ）由平面可得AC，
又， 故AC平面PAB，所以.
（Ⅱ）连BD交AC于点O，连EO，
则EO是△PDB的中位线，所以EOPB
又因为面，面，
所以PB平面

18、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据并集和补集的概念即可求出结果；
（2）由题意可得，解不等式组即可求出结果.
【小问1详解】
当时，，且，则，
所以或；
【小问2详解】
因为，且，所以需满足，解得，
所以实数的取值范围为.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用二次函数的最值可求得正数的值，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解；
（2）令，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，
所以，，因为，解得，
由得，即，得，
因此，不等式的解集为.
【小问2详解】
解：由得，设函数，
因为函数的图象是开口向上的抛物线，
要使当时，不等式恒成立，即在上恒成立，
则，可得，解得.
20、（1）定义域，；
（2）单调递增：，单调递减：，最大值为1，最小值为；
【解析】(1)简化原函数，结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.
试题解析：
；
（1）的定义域：，最小正周期 ；
（2），即最大值为1，最小值为，单调递增：，单调递减：，
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由定义证明即可；
（2）求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围
小问1详解】
任取，且，

因为，所以，
所以，即.所以在上为单调递增
【小问2详解】
任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数的取值范围是.
22、（1）可用③来描述x，y之间的关系，
（2）该企业要考虑转型.
【解析】（1）由年利润是随着投资成本的递增而递增，可知①不符合，把，分别代入②③，求出函数解析式，再把代入所求的解析式中，若，则选择此模型；
（2）由题知，则x>65，再由与比较，可作出判断.
【小问1详解】
由表格中的数据可知，年利润是随着投资成本的递增而递增，而①是单调递减，所以不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，，不符合题意；
将，代入（，且），
得，解得，∴.
当时，；当时，.
故可用③来描述x，y之间的关系.
【小问2详解】
由题知，解得
∵年利润，∴该企业要考虑转型.