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奥数专题-定义新运算(带答案排版).doc
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1、(完整版)奥数专题_定义新运算(带答案完美排版) 定义新运算 我们学过的常用运算有:、等。如:235 236都是2和3,为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同,实际是对应法则不同。可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法,对应法则不同就是不同的运算.当然,这个对应法则应该是对任意两个数,通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求,不同的法则就是不同的运算.在这一讲中,我们定义了一些新的运算形式,它们与我们常用的“”,“,“”,“”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数,规定ab3a2b,求 32, 23;这个运算“”有交换
2、律吗?求(176)2,17(62);这个运算“”有结合律吗?如果已知4b2,求b.分析:解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质,本题规定的运算的本质是:用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍。 解: 323322945 233223660。由的例子可知“”没有交换律.要计算(176)2,先计算括号内的数,有:1763172639;再计算第二步3923 3922113, 所以(176)2113.对于17(62),同样先计算括号内的数,62362214,其次171431721423,所以17(62)23。由的例子可知“”也没有结合律.因为4b342b122b,那么122b2,解出b5。例
3、2、定义运算为 abab(ab), 求57,75; 求12(34),(123)4;这个运算“”有交换律、结合律吗? 如果3(5x)3,求x.解: 5757(57)351223,7 575(75)351223。要计算12(34),先计算括号内的数,有:3434(34)5,再计算第二步125125(125)43,所以 12(34)43。对于(123)4,同样先计算括号内的数,123123(123)21,其次214214(214)59,所以(12 3)459。由于abab(ab);baba(ba) ab(ab)(普通加法、乘法交换律)所以有abba,因此“”有交换律.由的例子可知,运算“”没有结合律
4、.5x5x(5x)4x5;3(5x)3(4x5) 3(4x5)(34x5) 12x15(4x2) 8x 13那么 8x133 解出x2.例3、定义新的运算a babab. 求6 2,2 6; 求(1 2) 3,1 (2 3); 这个运算有交换律和结合律吗? 解: 6 2626220,2 6262620. (1 2) 3(1212) 3 5 3 5353 23 1 (2 3)1 (2323) 1 11 111111 23。 先看“”是否满足交换律: a babab b ababaabab(普通加法与乘法的交换律) 所以a bb a,因此“”满足交换律. 再看“”是否满足结合律: (a b) c(
5、abab) c (abab)cababc abcacbcababc。 a (b c)a (bcbc) a(bcbc)abcbc abcabacabcbc abcacbcababc。(普通加法的交换律) 所以(a b) ca (b c),因此“”满足结合律. 说明:“”对于普通的加法不满足分配律,看反例: 1 (23)1 5151511; 1 21 3121213135712; 因此1 (23) 1 21 3。例4、有一个数学运算符号“”,使下列算式成立:248,5313,3511,9725,求73? 解:通过对248,5313,3511,9725这几个算式的观察,找到规律: ab2ab,因此7
6、327317。例5、x、y表示两个数,规定新运算“”及“”如下:xy=mx+ny,xy=kxy,其中 m、n、k均为自然数,已知 1*2=5,(2*3)4=64,求(12)3的值。分析:我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求12)3的值,首先我们要计算12,根据“”的定义:12=k12=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值,k值求出后,l2的值也就计算出来了.我们设12=a, (12)*3=a3,按“”的定义: a3=ma+3n,在只有求出m、n时,我们才能计算a3的值.因此要计算(12)3的值,我们就要先求出 k、m、n的值.通过12 =5可以求出m、n的值,通过(23)4=6
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