新北师大版数学八年级下第一章三角形的证明导学案.doc

第一章　三角形的证明
第一节 等腰三角形（一）
模块一 预习反馈（P2—P6）
一．知识点
1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。（论证）
2、全等三角形的对应边相等,对应角相等。
3、等腰三角形性质定理： （等边对等角）。（论证）
4、推论（三线合一）： 。（论证）
5、等边三角形性质定理： 。（论证）
论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）
模块二 基础训练
1.如图，已知∠D =∠C，∠A =∠B，且AE = BF。求证：AD = BC。

2．如图，在△ABC中，AB = AC，AD⊥AC∠BAC = 100°。
求∠1、∠3、∠B的度数。

3．如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°，
求∠A。

模块三 能力提升
1． 填空：
（1）如图，在△ABC中，AB = AC，点D在AC上，且BD = BC = AD。
请找出所有的等腰三角形 。
（2）等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为 。
（3）等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为 。
（4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

2． 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。
求证：∠1 =∠2。

模块四：课下练习
☆能力提升
1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，P是△ABC 内一点，且∠PBC＝∠ACP，求∠BPC的度数
_________．
2． 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线. 求证：BD＝CE.
A
E
D
B
C
1
2

3．如图，A、B、F、D在同一直线上，AB=DF， AE=BC，且AE∥BC.
A
B
F
D
E
C

求证：⑴△AEF≌△BCD， ⑵EF∥CD.

第一节 等腰三角形（二）
模块一 预习反馈（P5例1—P9）
一．知识点
1、等腰三角形两个底角的平分线相等；
2、等腰三角形腰上的高相等；
3、等腰三角形腰上的中线相等；
4、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等；
（以上定理画图、写出已知、求证、证明过程）
5．等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。
6、两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
7、反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、
已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法
称为反证法。
模块二 基础训练
1. 在如图的等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?

(2)如果AD=AC，AE=AB，那么BD=CE吗?如果AD=AC，AE=AB呢?由此你得到
什么结论?

2．想想出反证法证明问题的一般步骤。把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。
a) 三角形中必有一个内角不少于60度；
b) 一个三角形中不能有两个角是钝角；
c) 垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、如图，中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD = CE。求证：是等腰三角形。

模块三 能力提升
1、如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。

2、如图，E是△ABC内的一点，AB = AC，连接AE、BE、CE，且BE = CE，延长AE，
交BC边于点D。求证：AD⊥BC。

模块四：课下练习

1、 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，
∠B等于________度．

2、 如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于E，过E作DF∥BC交AB于D，交AC于F．
若BD＋CF＝8，则线段DF的长（　　 ）.
A．9 B．7 C．8 D．6

3.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB于D，AB＝a，则DB等于（　 ）.
A. B. C. D.

第一节 等腰三角形（三）
模块一 预习反馈（P10—P11）
一．知识点
1、等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质。
2、等边三角形的判定
1） 三个角都相等的三角形是等边三角形 。
2） 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。（证明）
3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（证明）
模块二 基础训练
1、 已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E。
求证：△ADE 是等边三角形。

2、如图，△ABC是等边三角形，BD = CE，∠1 =∠2。求证：△ADE是等边三角形。

3、如图，在Rt中，∠B = 30°，BD = AD，BD = 12，求DC的长。

模块三 能力提升
1、 填空：
（1）如图1，BC = AC，若 ，则△ABC是等边三角形。
（2）如图2，AB = AC，BC⊥AD，BD = 4，若AB = ，则△ABC是等边三角形。
（3）如图3，在Rt中，∠B = 30°，AC = 6cm，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。

图1 图2 图3
2、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD。

模块四：课下练习
1、填空：
（1）如图1，AB = AC，AD是△ABC的一条中线，AB = 5，若BD = ，
则△ABC是等边三角形。
（2）如图2，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB＝14，则AD = 。

图1 图2

2、已知：中，，，，AB = 40，
求DB的长。

B
A
C
D
3、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求：AB的长

第二节 直角三角形（一）
模块一 预习反馈（P14—P16）
一．知识点
1、直角三角形的两个锐角互余。（性质）
2、有两个角互余的三角形是直角三角形。（判定）
3、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。（性质）
4、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（判定）
5、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
6、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

模块二 基础训练
1、如图，BA⊥DA于A，AD = 12，DC = 9，CA = 15，求证：BA∥DC。

2、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a，则a =__________。

3、已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=。
（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；
（4）求证：△ABC是直角三角形.

模块三 能力提升
1、 填空：
（1）直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的斜边为13，
其中一条直角边为5，则另一条直角边为 。
（2）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是 三角形。
2、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
1）等边对等角；
2）对顶角相等；
3）平行四边形的两组对边相等；
4）正方形的四条边都相等；
3、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，
AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价
为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
图5

模块四：课下练习
1、 找出下列定理有哪些存在逆定理，并判断每对命题的真假。
（1）矩形是平行四边形 。
（2）内错角相等，两直线平行。
（3）如果，则 。
（4）全等三角形对应角相等。
（5）对顶角相等
（6）如果ab=0,那么a=0,b=0；
2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，
则AD等于 。

3 、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，
求这块地的面积。

第二节 直角三角形（二）
模块一 预习反馈（P18—P20）
一．知识点
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（“斜边、直角边”或“HL”）
（证明）
模块二 基础训练
1、在Rt△ABC中，∠C = 90°，且DE⊥AB，CD = ED，求证：AD是∠BAC的角平分线。

2、如图，∠ACB = ∠ADB = 90°，AC = AD，E是AB上的一点。求证：CE = DE。

3、在△ABC≌△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．

模块三 能力提升
1、填空：.如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°。
（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.
（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是__________.

2、如下图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB。

模块四：课下练习
1.已知x、y为正数，且，如果以x、y的长为直角边作一个
直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）. A.5 B.25 C.7 D.15

2.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD边与对角线BD重合，
得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1，求AG的长.

第三节 线段的垂直平分线（一）
模块一 预习反馈（P22——P23）
一、知识点
1、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。（性质）
2、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。（判定）
论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）

模块二 基础训练
1、如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线。
1）则BD = ；
2）若∠B = 40°，则∠BAC = °，∠DAB = °，∠DAC = °，∠CDA = °；
3）若AC= 4， BC = 5，则DA + DC = ，△ACD的周长为 。

2、如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，
BC = 8，求△AEC的周长。

3、在△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB、BC。

模块三 能力提升
1、如图，已知AB = AC = 14cm，AB的垂直平分线交AC于D。
1）若△DBC的周长为24cm，则BC = cm；
2）若BC = 8cm，则△BCD的周长是 cm。

2、已知在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm，△ABD的周长是13cm，
求△ABC的周长。

模块四：课下练习
1、如图，△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，DE为AB的中垂线，则∠1 = °，
∠C = °，∠3 = °，∠2 = °；若△ABC的周长为16cm，BC = 4cm，
则AC = ，△BCE的周长为 。

2、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC= 5cm，BC= 4cm，
AE = 2cm，求△CDB的周长。

第三节 线段的垂直平分线（二）
模块一 预习反馈
一．知识点
1、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
2、尺规作图：已知直线外一点作直线的垂线。
证明1

模块二 基础训练
1、用尺规作线段的垂直平分线。

2、已知直线和上一点P，利用尺规作的垂线，使它经过点P。

3、已知：线段、，求作：△ABC，使AB = AC，且BC = ，高AD =
作法：

模块三 能力提升
1、△ABC的三条边的垂直平分线相交于点P，若PA = 10，则PB = ，PC = 。
2、已知：线段=4cm、=6cm求作：△ABC，使AB = AC，且BC = ，高AD =
作法：

模块四：课下练习
1、 如果的边的垂直平分线经过顶点，与相交于点，且，
则 中必有一个内角的度数为（ ）.
A. B. C. D.

2、如图，△中，，边上的垂直平分线交于，交于，
分 为两部分．若，则（　　　）.
A.　 B. C.　 D.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
E

9. △ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，两腰AB、AC的垂直平分线交于点P，则（ ）.
A.点P在△ABC 内 B.点P在△ABC 底边上 C.点P在△ABC 外
D.点P的位置与△ABC 的边长有关

第四节 角平分线（一）
模块一 预习反馈（P28—P29）
一．知识点
1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（性质）
2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。（判定）
论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）

模块二 基础训练
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC。

2、如图，AB = AC，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E。
求证：BE + EC = AB。

3、如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
垂足为E。
（1）已知CD = 4cm，求AC的长；
（2）求证：AB = AC + CD。

模块三 能力提升
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。
求证：∠1 =∠2。

2、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。

模块四：课下练习
1、如图，E是线段AC上的一点，AB⊥EB于B，AD⊥ED于D，且∠1 =∠2，CB = CD。
求证：∠3 =∠4。

2、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。
求证：P在∠ACB的角平分线上。

3、如图，E为AB边上的一点，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∠1 =∠C，DE = EC。
求证：DA + CB = AB。

第四节 角平分线（二）
模块一 预习反馈（P30—P31）
一．知识点
1、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程）

模块二 基础训练
1、用尺规作图法作下列各个角的平分线。

2、如图，求作一点P，使PC = PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等。

3、（1）利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点。
（2）在右图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线距离相等的点。

模块三 能力提升
1、填空：
（1）如图1，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.
（2）如图2，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.
（3）如图3，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，
FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=________度，∠3______∠4，CE_______CF.

图1 图2 图3
2、已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，
且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.

模块四：课下练习
☆能力提升
1、如图，Rt△ABC中，∠C=90º，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，A
B
C
D
E
则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______．

2.如图，△ABC中，∠C=90º，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，
DE=BD，且B
C
D
E
A
DE=1.5cm，则AC等于（　　 ）.
A． 3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm

3．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（ ）.
A.18 B.16 C.14 D.12

第一章 回顾与思考
【学习目标】
1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，
证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，
提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固
难点：本章知识的综合性应用。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一．预习要求
1．请同学们阅读教材1页～39的内容，并选做教材41页的复习题。
2．预习过程中请注意：⑴不懂的地方要用红笔标记符号；⑵完成你力所能及的习题；⑶数学小组长认真检查，做好记录，上课前把本组的预习情况向老师汇报。
二．知识点
1、等腰三角形的性质：（边） ；（角） ；“三线合一”的内容 。
2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 。
3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。
4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。
5、线段垂直平分线的性质定理： 。
逆定理： 。
三角形的垂直平分线性质： 。
6、角的性质定理： 。
逆定理： 。
三角形的角平分线性质： 。
7、三角形全等的判定方法有： 。
8、30°锐角的直角三角形的性质： 。
9、方法总结：
（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；
4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。
（3）证明垂直的方法：
1）证邻补角相等；
2）证和已知直角三角形全等；
3）利用等腰三角形的三线合一性质；
4）勾股定理的逆定理。
（4）等腰三角形的证明：主要利用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

模块二 基础训练
2、 已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF。
求证：△ABC是等腰三角形。

2、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，
AC－BC=2. 求AB与BC的长.

模块三 能力提升
1、已知，等腰三角形的一边长为，另一边长为，则此等腰三角形的周长是
2、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____
3、等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是
4、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
△BCE的周长等于50，则BC的长为 。
5、如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，
AC=6，AB=10，则△BDE的周长为_________。
6、.如图3，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，
那么AE+DE等于 。

图2 图3

7、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是______________________.它是一个__________命题。
8、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AF，E、F是垂足，且BC = CD。
求证：（1）△BCE≌△DCF； （2）DF = EB。

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