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(完整版)一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合
一元二次方程的有理根总结
求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论.
1、 如果是完全平方式，求的值
2、 若是整数，求所有满足条件的正整数的值
3、关于,的方程有整数解，求满足条件的的值
4、设k为整数，且，方程有有理根，求k的值。
5、当是什么实数时,对于任意有理数，方程有有理根？
6、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有_________个。
7、已知是正整数，且使得关于方程至少有一个整数根.求的值.
8、试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根。
9、试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2)x+r—1=0有根且只有整数根．
10、已知为质数，使一元二次方程的两根都是整数，求出的所有可能值。
11、已知,求方程的整数根.
12、设关于的二次方程的两根都是整数。求满足条件的所有实数的值。
13、已知关于的方程的两个根都是正整数，求的值.
一元二次方程的公共根与整数根
一、公共根问题
二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程（两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．
二、整数根问题
对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解.其转化途径:或直接分解因式；或利用根与系数的关系；或利用求根公式.
求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析.
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件:
⑴ 为完全平方数；
⑵ 或，其中为整数．
以上两个条件必须同时满足,缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数）
三、方程根的取值范围问题
先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．
例题
一、一元二次方程的公共根

例1求的值，使得一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的根．
例2设为的三边，且二次三项式与有一次公因式，证明:一定是直角三角形．
例3三个二次方程，，有公共根．
⑴ 求证：;
⑵ 求的值．
例4试求满足方程与有公共根的所有的值及所有公共根和所有相异根．
例5二次项系数不相等的两个二次方程和
（其中，为正整数)有一个公共根，求的值．
二、一元二次方程的整数根

例6：为什么实数时，关于的方程的解都是整数?
例7：若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个．
例8：已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数,求的值及方程的整数根．
练习1、若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．
练/2、关于的二次方程的两根都是整数．求满足条件的所有实数的值．
练/3、当为何整数时，方程有整数解．
练习/4已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在,请求出这样的值；若不存在,请说明理由．
练习/5求所有有理数，使得方程的所有根是整数．
练习6/已知关于的方程的两根都是整数,求的值．
练习7、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值．
练/8、已知为质数,二次方程的两根都是整数，请求出的所有可能的值．
练/9已知,且关于的二次方程有两个整数根，求整数．
练习10、若一直角三角形两直角边的长,、均为整数，且满足．试求这个直角三角形的三边长．
练习11、关于的方程至少有一个整数解,且是整数，求的/1．
练习12、已知方程（是非负整数)至少有一个整数根,那么 ．
练/13、当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．
练/14、设为整数，且,方程有两个整数根,求的值及方程的根．
练/15、当为何整数时，方程有整数解．
练/16、已知方程（是非负整数)至少有一个整数根,那么 ．
练/17、若关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的值有_______个．
/18设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解．
19已知是正整数，且使得关于的一元二次方程至少有一个整数根，求的值．
20已知关于的方程 (其中是非负整数)至少有一个整数根,求的值．
21已知，为整数，方程的两根都大于且小于，求和的值．
22已知，都是正整数，试问关于的方程是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．
23已知方程及分别各有两个整数根及，且，．
⑴ 求证：，,，；
⑵ 求证:；
⑶ 求所有可能的值．
24设是两个奇整数，试证方程不可能有有理根．
25试证不论是什么整数,方程没有整数解，方程中的是任何正的奇数．
26求方程的所有整数解．
27已知为整数,关于的方程组的所有解均为整数解，求的值．
28求方程的所有正整数解．
29求所有的整数对，使．
30设是不为零的整数，关于的二次方程有有理根,求的值．
31当是什么整数时，关于的一元二次方程与的根都是整数．
32是正整数，关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．
33已知是实数，关于的方程组
有整数解，求满足的关系式．
34已知为质数，使二次方程的两根都是整数，求出所有可能的的值．
35设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值．
36为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？
37已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有___________个．
38求所有正实数,使得方程仅有整数根．
39方程有两个整数根，求a的值．
40求所有的正整数，，使得关于的方程
的所有的根都是正整数．
41为正整数，方程有一个整数根,则__________．
42求出所有正整数，使方程至少有一个整数根．
43已知方程有两个不等的负整数根，则整数的值是__________．
44不解方程，证明方程无整数根
45已知方程有两个质数根，则常数________．
46已知方程有两个不相等的正整数根，求m的值．
47当是什么整数时，关于x的方程的两根都是整数？
48设方程有整数解，试确定整数的值，并求出这时方程所有的整数解．
49已知是正整数,如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根．
50若为正整数，且关于的方程有两个相异正整数根，求的值．
51设为质数，为正整数，且满足
求的值．
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