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正方形背景下的等腰直角三角形问题.pdf
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1、2024 年第 2 期(下)中学数学研究43正方形背景下的等腰直角三角形问题广东省中山市横栏中学(528478)齐彩霞摘要在期末综合复习课中,教师常会因为知识点的简单枯燥的讲解让学生厌烦,也会因为盲目让学生刷基础题忽略了学生探索思考问题的积极性,总是“讲练结合”,导致课程主体在老师而非学生,学生没有学习的内驱力,依旧是“知识不明,思路不清,错题照错,勤而不精”,所以到底该怎样调动学生去发现,探索,思考,归纳,总结呢?笔者以正方形为背景下的等腰直角三角形问题为例,通过一题一课的教学方法与学生共同学习正方形有关的等腰三角形问题.关键词 正方形;等腰直角三角形;一题一课1 教学设计过程1.1 题目设
2、计如图 1,已知,正方形 ABCD 中,E 为线段 AD 上一动点,F 为 DC 延长线上一动点,若 AE=CF,BEF 为等腰直角三角形吗?1.1.1 主题设计意图此题图形简洁,正方形与等腰直角三角形以及全等相融合,通过转角可形成等腰直角三角形,在这种基本图形背景下还可发散学生思维,生成更多有效学习经验.问题 1同学们通过证明 AEB=BCF,再转边转角得证原题 1,你还能由此题联想到其他问题吗?比如,条件结论是否可以互换,在原题的基础上还可以引发哪些新问题?1.2 变式 1,变式 2 题目呈现变式 1如图 2,已知,正方形 ABCD 中,E 为线段 AD上一动点,F 为 DC 延长线上一动
3、点,若 EBF=90,请问 AE=CF 吗?设计意图在问题 1 的思考下,学生应该可以顺其自然想到变式 1,或者其他类似变式,这种连贯的思考,更能引发学生潜在的动力,提高学习的兴趣,当然也为进一步的探索变形做准备.问题 2同学们在变式 1 与原题 1 证明中其实都是采用全等,两题其实“换汤不换药”,有了前面的经验,变式 2 还可以有哪些改编?比如 E,F 点一定要在正方形边上吗?如果在其他位置,结论是否成立?变式 2如图 3,正方形 ABCD 中,以点 B 为直角定点作等腰直角三角形 BEF,请问 AE=CF 吗?设计意图对比变式 1,弱化了“在正方形边上”的条件,强化了“等腰”条件,这样的变
4、形学生们可以接受,也能领会深层的举一反三,更容易激发学生的内驱力,学生也会觉得利用上题的知识可以反馈到这道题中,但又不会像单纯的“无脑换数”变式那样无趣.1.3 变式 3,变式 4 题目呈现变式3 如图4,点E 为正方形ABCD外一点,BEC=45,连接 AE,(1)求 AEB 的度数.(2)求证:AE+CE=2BE设计意图变式 3 其实是变式 2 的拔高,前面 3 题还是学生能思考,能突破,变式 3 的条件更少,但仍然与前 3 题保持紧密联系,学生可以敏锐的发现“45”的特别之处,至于该如何处理,会引发学生的“头脑风暴”,充分调动学生的求知欲,再通过小组讨论,上台展示的方法会更好地引起学生的
5、共鸣,从而把此题的思考方法真正由学生教给学生.解法补充 法一:根据变式 3 于 2 的共性 45,学生可猜测通过以 BE 为直角边构造等腰直角三角形(如图 5),再由全等证明 AEB=BFA=45.法二:BEC=45,相当于“定弦定角问题”,如图 6,以正方形中心 O 为圆心,OA 为半径构造圆,BEC 即为圆周角,由同弧所对的圆周角相等,故 AEB=BEC=45变式 4如图 7,在原题 1 的条件下,正如果方形的边长为 4,连接 BD,取 EF 的中点 M,连接 CM.(1)是否有 EBD=EFD?44中学数学研究2024 年第 2 期(下)(2)CM 是否为线段 BD 的垂直平分线?(3)
6、点 M 的轨迹是?点 M 的轨迹长是多少?(4)若 DE=2,则 CM=?设计意图变式 1-3,层层深入,学生们会有一种意犹未尽的快感,这种求知欲会让学生自觉对原题进一步探索,因此变式 4 是笔者在原题 1 的基础上引申出其他的思考,关键在于“对角线 BD”的出现,对角线有很多很好的特征,利用对角线的“平分对角,对角线互相垂直”,可以引发变式 4 的4 小问思考,也可以突破学生的思维.解法补充学生讲解中:第(1)问可把图中的所证角抽离出(如图 8),通过图中的等角,可得出所求角相等.第(2)问:部分学生遗忘了“垂直平分线的判定”从而难以解题,因此可通过回顾垂直平分线的判定,找到所证垂直平分线上
7、两点,去证明两点都在垂直平分线上:即求证 CB=CD,MD=MB,即可得证.第(3)问,即在第(2)问的基础上拔高,其实已经知道 M 在 BD 的垂直平分线上,故关键在于M 的起始位置,即可得证.第(4)问,学生主要想把 DE 的长度进行转移,通过转化已知长度把 CM 与已知长度联系起来,由于“M”中点的特殊性,可联系“直角三角形斜边中线或中位线”转移,这里“中位线”比较适合(如图 9).2 作业设计变式 5(如图 10)正方形 ABCD 中,以 B 为直角顶点作等腰直角三角形 BEF,其中 BE=BA,M 为线段 EF 的中点,连接 CM;(1)点 M 的轨迹是?CM 长度的最小值?设计意图
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