这样的角存在吗.pdf
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1、这样的角存在吗?北京中学(100018)谭明潇摘要高中三角函数学习中,利用两角和与差的三角函数公式,有一道“流行的”“经典”错题,频繁出现在教辅书及互联网上.实际上:这样的角不存在.本文期望能“正本清源”,以正视听.抛砖引玉,期待更多的研究命题中的存在性问题.关键词 三角函数;角;存在性1 问题呈现某出版物1上有一习题:例 1 已知 cos(4)=45,(2,),求 cos.解法 1 由已知可得 cos(4)=45,又2 ,故4 434,所以 sin(4)=35(35舍),故cos=cos(4)+4=22cos(4)sin(4)=22(4535)=7210.解法 2由已知可得12(cos+si
2、n)=45,所以 sin+cos=452,故 sin=452 cos,又sin2+cos2=1,即 50cos2+402cos+7=0,所以cos=7210或 210.解法 3由已知可得12(cos+sin)=45,所以 cos+sin=452,故 cos=452 sin,又sin2+cos2=1,即 50sin2+402sin+7=0,所以sin=7210或 210.又2 0,故无解.同一个题目,为何会因解法的不同,而出现无解、一解、两解的情况呢?三种解法看似均无“破绽”,均无“疏漏之处”,均符合题意.实际上,符合已知条件的角并不存在!这是一道错题!2 错误原因因为2 ,所以4 434,所以
3、22 cos(4)22,而 45/(22,22),所以符合已知条件的角不存在.命制此类题目时,不能仅考虑勾股数及 所在的范围,还要考虑 与已知特殊角(如:6,4,3等)运算后,带来三角函数取值范围的变化.命制此类题目时,务必考虑存在性问题.比如:由于当 (2,)时,cos(4)的已知值务必在(22,22)内.例 2 已知 cos(4)=513,(2,),求 cos.就是一道正确的题目,用上述 3 种方法均可得答案为 17226.3 相关链接若将例 1 中的条件“(2,)”削弱为“R”,就成为下面:例 3已知 cos(4)=45,求 cos.则也是一道正确的题目,且有两解.简解 由已知可得 co
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