数据结构优秀课程设计最短路径问题实验报告.doc

目 录

一、概述 1
二、系统分析 1
三、概要设计 2
四、具体设计 5
4.1建立图存放结构 5
4.2单源最短路径 6
4.3任意一对顶点之间最短路径 7
五、运行和测试 8
参考文件 11
附录 12

交通咨询系统设计（最短路径问题）
一、概述
在交通网络日益发达今天，针对大家关心多种问题，利用计算机建立一个交通咨询系统。在系统中采取图来结构各个城市之间联络，图中顶点表示城市，边表示各个城市之间交通关系，所带权值为两个城市间花费。这个交通咨询系统能够回复旅客提出多种问题，比如：怎样选择一条路径使得从A城到B城途中中转次数最少；怎样选择一条路径使得从A城到B城里程最短；怎样选择一条路径使得从A城到B城花费最低等等一系列问题。
二、系统分析
设计一个交通咨询系统，能咨询从任何一个城市顶点到另一城市顶点之间最短路径(里程)、最低花费或是最少时间等问题。对于不一样咨询要求，可输入城市间旅程、所需时间或是所需费用等信息。
针对最短路径问题，在本系统中采取图相关知识，以处理在实际情况中最短路径问题，本系统中包含了建立图存放结构、单源最短问题、对任意一对顶点间最短路径问题三个问题，这对以上多个问题采取了迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。并未本系统设置一人性化系统提醒菜单，方便使用者使用。
三、概要设计
能够将该系统大致分为三个部分：
①　 建立交通网络图存放结构；
②　 处理单源最短路径问题；
③　 实现两个城市顶点之间最短路径问题。

交通咨询系统

迪杰斯特拉算法（单源最短路径）
费洛依德算法（任意顶点对间最短路径）

建立图存放结构义

迪杰斯特拉算法流图：

弗洛伊德算法流图：

四、具体设计
4.1建立图存放结构
定义交通图存放结构。邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系矩阵。设G=(V,E)是含有n个顶点图，则G邻接矩阵是含有以下定义n阶方阵。

注：一个图邻接矩阵表示是唯一！其表示需要用一个二维数组存放顶点之间相邻关系邻接矩阵而且还需要用一个含有n个元素一维数组来存放顶点信息（下标为i元素存放顶点信息）。
邻接矩阵存放结构：
#define MVNum 100 //最大顶点数
typedef struct
{
VertexType vexs[MVNum];//顶点数组，类型假定为char型
Adjmatrix arcs[MVNum][MVNum];//邻接矩阵，假定为int型
}MGraph;
注：因为有向图邻接矩阵是不对称，故程序运行时只需要输入全部有向边及其权值即可。

4.2单源最短路径
单源最短路径问题：已知有向图(带权)，期望找出从某个源点S∈V到G中其它各顶点最短路径。
迪杰斯特拉算法即按路径长度递增产生诸顶点最短路径算法。
算法思想：设有向图G=(V,E)，其中V={1,2，……n}，cost是表示G邻接矩阵，
cost[i][j]表示有向边<i,j>权。若不存在有向边<i,j>，则cost[i][j] 权为无穷大（这里取值为32767）。设S是一个集合，集合中一个元素表示一个顶点，从源点到这些顶点最短距离已经求出。设顶点V1为源点，集合S初态只包含顶点V1。数组dist统计从源点到其它各顶点目前最短距离，其初值为dist[i]= cost[i][j]，i=2，……n。从S之外顶点集合V-S中选出一个顶点w，使dist[w] 值最小。于是从源点抵达w只经过S中顶点，把w加入集合S中，调整dist中统计从源点到V-S中每个顶点v距离：从原来dist[v]和dist[w]+cost[w][v]中选择较小值作为新dist[v]。反复上述过程，直到S中包含V中其它顶点最短路径。
最终止果是：S统计了从源点到该顶点存在最短路径顶点集合，数组dist统计了从源点到V中其它各顶点之间最短路径，path是最短路径路径数组，其中path[i]表示从源点到顶点i之间最短路径前驱顶点。
4.3任意一对顶点之间最短路径
任意顶点对之间最短路径问题，是对于给定有向网络图G=(V,E),要对G中任意一对顶点有序对，“V,W(V≠W)”，找出V到W最短路径。而要处理这个问题，能够依次把有向网络图中每个顶点作为源点，反复实施前面迪杰斯特拉算法n次，即可求得每对之间最短路径。
费洛伊德算法基础思想：假设求从Vi到Vj最短路径。假如存在一条长度为arcs[i][j]路径，该路径不一定是最短路径，还需要进行n次试探。首先考虑路径<vi,v1>和<v1,vj>是否存在。假如存在，则比较路径<vi.vj>和<vi,v1,vj>路径长度，取长度较短者为目前所求得。该路径是中间顶点序号小于1最短路径。其次，考虑从vi到vj是否包含有顶点v2为中间顶点路径< vi,…,v2,…,vj>，若没有，则说明从vi到vj目前最短路径就是前一步求出；若有，那么<vi,…,v2,…,vj>可分解为<vi,…,v2>和<v2,…,vj>，而这两条路径是前一次找到中间点序号小于1最短路径，将这两条路径长度相加就得到路径<vi,…,v2,…vj>长度。将该长度和前一次中求得从vi到vj中间顶点序号小于1最短路径比较，取其长度较短者作为目前求得从vi到vj中间顶点序号小于2最短路径。依这类推……直至顶点vn加入目前从vi到vj最短路径后，选出从vi到vj中间顶点序号小于n最短路径为止。因为图G中顶点序号小于n，所以vi到vj中间顶点序号小于n最短路径，已考虑了全部顶点作为中间顶点可能性，所以，它就是vi到vj最短路径。
五、运行和测试
3
测试实例1：利用以下图所表示有向图来测试
13
17
7
1

61

74
76
32

64
6
4

56
26
2

45
5

测试实例2：利用下图求交通网络图（无向图）最短路径。
2553
北京
西安
704
1

695
2

349
徐州
成全部
511
812
3
4

郑州
5

1579
651

2368

上海
1385
7

广州
6

实例1运行结果：

实例2运行结果：

六、总结和心得
该课程设计关键是从日常生活中常常碰到交通网络问题入手，进而利用计算机去建立一个交通咨询系统，以处理和处理旅客们关心多种问题（当然此次试验最终关键处理问题是：最短路径问题）。
这次试验中我深刻了解到了树在计算机中应用是怎样神奇和灵活，对于很多问题我们能够经过树相关知识来处理，尤其是在处理最短路径问题中，显得尤为关键。
经过着次试验，我了解到了相关树相关算法，如：迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等，对树学习有了一个更深了解。
参考文件
【1】《数据结构》严蔚敏.清华大学出版社.
【2】《数据结构课程设计》苏仕华.极械工业出版社.
附录

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MVNum 100
#define Maxint 32767
enum boolean{FALSE,TRUE};
typedef char VertexType;
typedef int Adjmatrix;
typedef struct{
VertexType vexs[MVNum];
Adjmatrix arcs[MVNum][MVNum];
}MGraph;
int D1[MVNum],p1[MVNum];
int D[MVNum][MVNum],p[MVNum][MVNum];
void CreateMGraph(MGraph * G,int n,int e)
{
int i,j,k,w;
for(i=1;i<=n;i++)
G->vexs[i]=(char)i;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
G->arcs[i][j]=Maxint;
printf("输入%d条边i.j及w:\n",e);
for(k=1;k<=e;k++){
scanf("%d,%d,%d",&i,&j,&w);
G->arcs[i][j]=w;
}
printf("有向图存放结构建立完成！\n");
}
void Dijkstra(MGraph *G,int v1,int n)
{
int D2[MVNum],p2[MVNum];
int v,i,w,min;
enum boolean S[MVNum];
for(v=1;v<=n;v++){
S[v]=FALSE;
D2[v]=G->arcs[v1][v];
if(D2[v]<Maxint)
p2[v]=v1;
else
p2[v]=0;
}
D2[v1]=0; S[v1]=TRUE;
for(i=2;i<n;i++){
min=Maxint;
for(w=1;w<=n;w++)
if(!S[w] && D2[w]<min)
{v=w;min=D2[w];}
S[v]=TRUE;
for(w=1;w<=n;w++)
if(!S[w] && (D2[v]+G->arcs[v][w]<D2[w])){
D2[w]=D2[v]+G->arcs[v][w];
p2[w]=v;
}
}
printf("路径长度 路径\n");
for(i=1;i<=n;i++){
printf("%5d",D2[i]);
printf("%5d",i);v=p2[i];
while(v!=0){
printf("<-%d",v);
v=p2[v];
}
printf("\n");
}
}
void Floyd(MGraph *G,int n)
{
int i,j,k,v,w;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if( G->arcs[i][j]!=Maxint)
p[i][j]=j;
else
p[i][j]=0;
D[i][j]=G->arcs[i][j];
}
for(k=1;k<=n;k++)
{
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(D[i][k]+D[k][j]<D[i][j]) {
D[i][j]=D[i][k]+D[k][j];
p[i][j]=p[i][k];
}
}
}
}
void main()
{
MGraph *G;
int m,n,e,v,w,k;
int xz=1;
G=(MGraph *)malloc(sizeof(MGraph));
printf("输入图中顶点个数和边数n,e:");
scanf("%d,%d",&n,&e);
CreateMGraph(G,n,e);
while(xz!=0){
printf("************求城市之间最短路径************\n");
printf("=========================================\n");
printf("1.求一个城市到全部城市最短路径\n");
printf("2.求任意两个城市之间最短路径\n");
printf("=========================================\n");
printf("请选择 :1或2，选择0退出:\n");
scanf("%d",&xz);
if (xz==2){
Floyd(G,n);
printf("输入源点（或起点）和终点:v,w:");
scanf("%d,%d",&v,&w);
k=p[v][w];
if (k==0)
printf("顶点%d 到 %d 无路径!\n",v,w);
else
{
printf("从顶点%d 到 %d 最短路径路径是:%d",v,w,v);
while (k!=w){
printf("--%d",k);
k=p[k][w];
}
printf("--%d",w);
printf("径路长度:%d\n",D[v][w]);
}
}
else
if(xz==1)
printf("求单源路径，输入源点v :");
scanf("%d",&v);
Dijkstra(G,v,n);

}
printf("结束求最短路径，再见!\n");
}