北师大数学七年级下册第一章《整式的乘除》全章复习与巩固(基础).doc

《整式的乘除》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】
1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
【知识网络】

【要点梳理】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
6.负指数幂：（≠0，是正整数）.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：
要点三、乘法公式
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
【典型例题】
类型一、幂的运算
1、计算下列各题：
（1） （2）
（3） （4）
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.
【答案与解析】
解：（1）．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别．
举一反三：
【变式】当，＝4时，求代数式的值．
【答案】
解：.
2、已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm3，一个体积是480m3的房间内的空气质量是多少？（保留3个有效数字）
【答案与解析】
解： ∵ ，
∴
≈．
【总结升华】当数据太大或太小时，可逐步计算，力求使计算准确无误．
举一反三：
【变式】计算：（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
类型二、整式的乘除法运算
3、解下列方程．
（1）
（2）
【答案与解析】
解：（1），
，
．
（2），

．
【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次方程的方法求解．
4、（2015春•扬州）“若（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n”．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！
（1）如果，求x的值；
（2）如果，求x的值；
（3）如果，求x的值．
【思路点拨】（1）把等号左边的式子利用幂的乘方转化为以3为底数的幂，根据等式的左边=右边，即可求解．
（2）把等号左边的式子利用幂的乘方以及同底数的幂的乘法法则转化为以2为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解；
（3）把等号左边的式子利用积的乘方的逆运用转化为以15为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解．
【答案与解析】
解：（1），
∴=9，
解得：=3．
（2），
∴1﹣+=5，
解得：=4．
（3），
∴+2=3﹣8，
解得：=5．
【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．
举一反三：
【变式】（1）已知，求的值．
（2）已知，，求的值．
（3）已知，，求的值．
【答案】
解：（1）由题意，知．∴ ．
∴ ，解得．
（2）由已知，得，即．由已知，得．
∴ ，即．∴
∴ ．
（3）由已知，得．由已知，得．
∴ ．
类型三、乘法公式
5、对任意整数，整式是否是10的倍数？为什么？
【答案与解析】
解：∵
，
是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．
【总结升华】要判断整式是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．
举一反三：
【变式】（2015秋•泰州）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）

6、已知，，求： (1)；(2)
【思路点拨】在公式中能找到的关系.
【答案与解析】
解：(1) 　

　∵，，
　∴
(2)　

　∵，，
∴.
【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.

【巩固练习】
一.选择题
1. 下列运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2．（2015•包头）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3.若是完全平方式，则的值是（ ）
A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—10
4. （ ）
A. B.1 C.0 D.1997
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 计算的正确结果是 ( )
A. B. C. D.
7. 一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边长为（ ）
A.6 B.5 C.8 D.7
8. ( )
A.12 B.24 C.－24 D.－12

二.填空题
9．化简＝______．
10．如果是一个完全平方式，那么＝______．
11.计算：＝________ ＝________.
12. 若，＝__________.
13. ＝ _______.
14.（2015春•陕西）　 　．
15.已知，那么＝_______.
16.下列运算中，结果正确的是___________
①，②， ③，④，⑤，⑥，⑦，
⑧ ，⑨
三.解答题
17. 先化简，再求值：
18.（2015•北京）已知．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
19．已知：，，试用表示下列各式：
（1）；(2)；(3)．

20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D；
2. 【答案】C；
【解析】解：A、，故错误；B、，故错误；
C、正确；D、（﹣2）0=1，故错误；故选：C．
3. 【答案】D；
【解析】
4. 【答案】B；
【解析】.
5. 【答案】B；
【解析】；；
.
6. 【答案】B；
7. 【答案】D；
【解析】设正方形边长为，则面积为，由题意得，解得.
8. 【答案】C；

二.填空题
9. 【答案】.
10.【答案】±3；
【解析】.
11.【答案】；；
12.【答案】0；
【解析】.
13.【答案】；
【解析】.
14.【答案】；
【解析】解：=
==，故答案为：.
15.【答案】23；
【解析】.
16.【答案】③⑤⑥⑨；
【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.
三.解答题
17.【解析】
解：原式

当=时,原式=.
18.【解析】
解：∵，即，
∴原式=
19.【解析】
解：（1）；
(2)；
(3)．
20．【解析】
解：设为原来的价格
(1) 由题意得：
（2）由题意得：
（3）由题意得：.
所以前两种调价方案一样.