高等数学课后习题答案第六章.doc

习题六
1. 指出下列各微分方程的阶数：
(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶
2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
;
解：由得代入方程得

故是方程的解.
;
解：
代入方程得 .
故是方程的解.
;
解：
代入方程得 .
故不是方程的解.

解：
代入方程得

故是方程的解.
3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：

证：方程两端对x求导：

得
代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.

证：方程两端对x求导：
(*)
得.
(*)式两端对x再求导得

将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.
4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：

解：当时，y=5.故C=-25
故所求曲线为：

解：
当x=0时，y=0故有.
又当x=0时，.故有.
故所求曲线为：.
5. 求下列各微分方程的通解：
;
解：分离变量,得
积分得

得 .

解：分离变量，得
积分得
得通解：
;
解：分离变量，得
积分得
得通解为 .
;
解：分离变量，得
积分得
得通解为
;
解：分离变量，得
积分得
得通解为
;
解：
积分得
得通解为 .
;
解：分离变量，得
积分得
即为通解.
.
解：分离变量，得
积分得
得通解为： .
6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
;
解：分离变量，得
积分得 .
以代入上式得
故方程特解为 .
.
解：分离变量，得
积分得
将代入上式得
故所求特解为 .
7. 求下列齐次方程的通解：
;
解：
令
原方程变为
两端积分得

即通解为：
;
解：
令， 则
原方程变为
积分得

即方程通解为

解：
令， 则
原方程变为
即
积分得

故方程通解为
;
解：
令, 则
原方程变为
即
积分得
以代替u，并整理得方程通解为 .
;
解：
令， 则
原方程变为
分离变量,得
积分得
以代替u，并整理得方程通解为到

解：
即
令， 则,
原方程可变为

即
分离变量，得
积分得 .
即

以代入上式，得
即方程通解为 .
8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：
;
解：
令，则得
分离变量，得
积分得
即
得方程通解为
以x=0，y=1代入上式得c=1.
故所求特解为 .
.
解：设， 则
原方程可变为
积分得 .
得方程通解为
以x=1，y=2代入上式得c=e2.
故所求特解为 .
9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：

解：设，则原方程化为

令

代回并整理得
.

解：
作变量替换，令
原方程化为
令,则得

分离变量，得
积分得

即

代回并整理得
;
解：作变量替换 则
原方程化为

代回并整理得
.
解：令则
原方程可化为
分离变量，得
积分得

故原方程通解为
10. 求下列线性微分方程的通解：
;
解：由通解公式

；
解：方程可化为
由通解公式得

解：
;
解：
.
;
解：方程可化为

解：方程可化为

11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：
;
解：
以代入上式得，
故所求特解为 .
.
解：

以x=1,y=0代入上式，得.
故所求特解为 .
12. 求下列伯努利方程的通解：

解：令，则有

即为原方程通解.
.
解：令.

即为原方程通解.
13. 求下列各微分方程的通解：
;
解：方程两边连续积分两次得

;
解：积分得

;
解：令,则原方程变为

故 .
;
解：设， 则
原方程可化为
即
由p=0知y=c，这是原方程的一个解.
当时，

解：

;
解：

;
解：令,则得

得
故 .
.
解：令，则.
原方程可化为

14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
;
解：令，则,
原方程可化为

由知，，从而有

由,得
故 或 .
;
解：令，则.
原方程可化为

则
以代入上式得
则

当x=1时，y=0代入得
故所求特解为 .
;
解：
当，得

以x=0,y=0代入上式得
故所求特解为 .
;
解：令，则.
原方程可化为

以代入上式得.

以x=0,y=1代入上式得
故所求特解为

;
解：令，则.
原方程可化为
即
积分得

以代入上式得,
则

以x=0,y=0代入得，
故所求特解为
即. 即.
.
解：令
原方程可化为

以代入得
故
由于. 故，即
积分得
以x=0,y=1代入得
故所求特解为 .
15. 求下列微分方程的通解：
;
解：特征方程为
解得
故原方程通解为
;
解：特征方程为
解得
故原方程通解为
;
解：特征方程为
解得
故原方程通解为 .
;
解：特征方程为
解得
故原方程通解为 .
;
解：特征方程为
解得
故原方程通解为
.
解：特征方程为
解得
故原方程通解为 .
16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：
;
解：特征方程为
解得
通解为

由初始条件得
故方程所求特解为 .

解：特征方程为
解得
通解为

由初始条件得
故方程所求特解为 .

解：特征方程为
解得
通解为

由初始条件得
故方程所求特解为 .
.
解：特征方程为
解得
通解为

由初始条件得
故方程所求特解为 .
17. 求下各微分方程的通解：
;
解：

得相应齐次方程的通解为

令特解为,代入原方程得
,
解得, 故,
故原方程通解为 .
;
解：

对应齐次方程通解为
令, 代入原方程得

比较等式两边系数得

则
故方程所求通解为 .
;
解：
,
对应齐次方程通解为
令代入原方程得

解得
则
故所求通解为 .
;
解：

相应齐次方程的通解为

令，代入原方程并整理得

得
则
故所求通解为 .
;
解：

相应齐次方程通解为
令代入原方程得

得
则
故所求通解为
.
解：

对应齐次方程通解为
令代入原方程得

故原方程通解为 .
18. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解：
;
解：特征方程为
得
对应齐次方程通解为
令代入原方程并整理得

得
故通解为 .
将初始条件代入上式得
故所求特解为 .
.
解：

对应齐次方程通解为
令,代入原方程求得
则原方程通解为
由初始条件可求得
故所求特解为 .
*19. 求下列欧拉方程的通解：

解：作变换，即t=lnx,
原方程变为
即
特征方程为

故 .
.
解：设，则原方程化为

①
特征方程为

故①所对应齐次方程的通解为

又设为①的特解，代入①化简得

,
故