一元二次方程的解法(三)--公式法-因式分解法—知识讲解(基础).doc

(完整版)一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(基础)
一元二次方程的解法（三)--公式法，因式分解法
—知识讲解（基础）
【学习目标】
1。 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程;
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程,当时,。
2。一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时,原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根;
　　　 ③当时,原方程没有实数根。
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c的值（要注意符号）;
　　　 ③求出的值;
　　　 ④若，则利用公式求出原方程的解；
　　　 　若,则原方程无实根.
要点诠释:
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.
（2）一元二次方程,用配方法将其变形为：.
①当时,右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：。
② 当时，右端是零．因此,方程有两个相等的实根：。
③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　(1)将方程右边化为0;
　　(2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程;
　　（4）解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法,公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等。
要点诠释：
(1)能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
1.用公式法解下列方程．
（1) x2+3x+1=0; （2）; (3） 2x2+3x-1=0．
【答案与解析】
(1） a=1，b=3,c=1
∴x==．
∴x1=，x2=．
（2）原方程化为一般形式，得．
∵，，,
∴．
∴，即，．
(3) ∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=，x2=．
【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是:(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；（2）确定a，b,c的值并计算的值;(3)若是非负数，用公式法求解．
举一反三：
【变式】用公式法解方程:（2014•武汉模拟)x2﹣3x﹣2=0．
【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；
∴b2﹣4ac=(﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；
∴x=
=，
∴x1=,x2=．
2．用公式法解下列方程：
(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2； (2） (2014秋•开县期末）3x2﹣6x﹣2=0 ；
（3）（2015•黄陂区校级模拟)x2﹣3x﹣7=0．
【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b，c的值,代入求值即可。
【答案与解析】
解：（1)∵2x2+x﹣2=0，
∴a=2，b=1，c=﹣2，
∴x===，
∴x1=，x2=．
(2） ∵a=3,b=﹣6,c=﹣2，
∴b2﹣4ac=36+24=60＞0,
∴x=，
∴x1=，x2=
（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．
∴b2﹣4ac=9+28=37。
x= = ，
解得 x1=，x2=．
【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在的前提下，代入求根公式可求出方程的根．
举一反三:
【变式】用公式法解下列方程： ；
【答案】解：移项，得．
∵ ，，，,
∴ ，
∴ ，．
类型二、因式分解法解一元二次方程
3．用因式分解法解下列方程：
（1)3(x+2）2＝2（x+2）； （2)（2x+3)2—25＝0； (3）x（2x+1）=8x﹣3．
【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以,用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后,再运用分解因式法解方程.
【答案与解析】
（1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，（x+2)（3x+6—2）＝0．
∴ x+2＝0或3x+4＝0，
∴ x1＝—2，．
（2）（2x+3—5)（2x+3+5)＝0，
∴ 2x—2＝0或2x+8＝0，
∴ x1＝1，x2＝-4．
（3）去括号，得：2x2+x=8x﹣3，
移项，得：2x2+x﹣8x+3=0
合并同类项，得:2x2﹣7x+3=0，
∴（2x﹣1）(x﹣3）=0，
∴2x﹣1=0或 x﹣3=0，
∴，x2=3．
【总结升华】(1）中方程求解时,不能两边同时除以（x+2），否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．（2）可用平方差公式分解．
4．解下列一元二次方程：
(1）（2x+1）2+4(2x+1)+4＝0； （2）．
【答案与解析】
（1）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0,
（2x+1+2)2＝0．
即，
∴ ．
（2) 移项，得（3x-1)(x-1）-（4x+1）(x-1)＝0，
即(x-1）(x+2)＝0，
所以，．
【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 （1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根,(2）容易丢掉x＝1这个根．
举一反三:
【变式】（1）（x+8)2—5(x+8）+6=0 （2）
【答案】（1）（x+8—2）（x+8-3）=0
（x+6）(x+5)=0
X1=-6，x2=—5.
（2）3x(2x+1)-2(2x+1)=0
(2x+1）(3x—2)=0
.
5．探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程
两个根
二次三项式因式分解
x2﹣2x+1=0
x1=1,x2=1
x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）
x2﹣3x+2=0
x1=1，x2=2
x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
3x2+x﹣2=0
x1=,x2=﹣1
3x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1)
2x2+5x+2=0
x1=﹣,x2=﹣2
2x2+5x+2=2（x+）（x+2)
4x2+13x+3=0
x1=　　,x2=　　
4x2+13x+3=4（x+　　）（x+　　）
将你发现的结论一般化,并写出来．
【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．
【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．
发现的一般结论为:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则
ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2)．
【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．