2019年湖南省普通高等学校对口招生考试数学.doc

湖南省2019年普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时量120分钟，满分120分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A=1,3，B=0,a，且A∪B=0,1,2,3，则a=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解：a=2。选C。
2．“x>4”是“x>2”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：“x>4”时必有“x>2”，反之不然。选A。
3．过点P(1,1)且与直线3x-4y=0平行的直线的方程是
A. 4x+3y-7=0 B. 3x-4y-1=0 C. 4x+3y-1=0 D. 3x-4y+1=0
解：3×1-4×1=-1，故3x-4y=-1，即3x-4y+1=0。选D。
4．函数fx=log2x (x∈1,8)的值域为
A. 0,4 B. 0,3 C. 1,4 D. 1,3
解：∵单调，又1≤x≤8，∴log21≤log2x≤log28，即0≤fx≤3，选B。
5．不等式xx+1<0的解集是
A. x|x<-1 B. x|x>0 C. x|-1<x<0 D. x|x<-1或x>0
解：方程xx+1=0两根为-1,0，开口向上，小于0取中间，选C。
6．已知tanα=-34，且α为第二象限角，则sinα=
A. -45 B. 45 C. -35 D. 35
解：α为第二象限角，cosα=-11+tan2α=-45，sinα=cosα∙tanα=35。选D。
7．已知A,B为圆x2+y2=1上两点，O为坐标原点，若AB=2，则OA∙OB=
A. -32 B. 0 C. 12 D. 2
解：如图，OA=OB=1，AB=2，勾股定理，OA⊥OB，OA∙OB=0。选B。
8．函数f(x)=Asinx+2（A为常数）的部分图象如下图所示，则A=

A. 1 B. 2 C. 3 D. -1
解：最大值为A+2=3，最小值为-A+2=1，故A=1，选A。
9．下列命题中，正确的是 解：不多讲，选D。
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 垂直于同一个平面的两个平面平行
C. 若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则该直线与平面平行
D. 一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直
10．已知直线l：x+y=1（a,b为常数）经过点cosπ3,sinπ3，则下列不等式一定成立的是
A. a2+b2≥1 B. a2+b2≤1 C. a+b≥1 D. a+b≤1
解：∵过点cosπ3,sinπ3，∴acosπ3+bsinπ3=1，即a2+b2sinπ3+φ=1.
又sinπ3+φ=1a2+b2∈-1,1，即0<1a2+b2≤1，∴a2+b2≥1，a2+b2≥1。选A。

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．在一次射击比赛中，某运动员射击20次的成绩如下表所示：
单次成绩（环）
7
8
9
10
次数
4
6
6
4
则该运动员成绩的平均数是__________（环）。
解：7×4+8×6+9×6+10×44+6+6+4=8.5
12．已知向量a=1,0，b=0,1，c=13,14，且c=xa+yb，则x+y=___________。
解：∵c=xa+yb，∴13,14=x1,0+y0,1=x,y，∴x=13,y=14,x+y=27.
13．已知ax+15的展开式中x的系数为10，则a=________________。
解：∵Tk+1=C5kax5-k=C5ka5-kx5-k。令5-k=1得k=4.∴T4+1=C54a5-4x5-4=5ax。
∴5a=10，a=2.
14．将2,5,11三个数分别加上相同的常数m，使这三个数依次成等比数列，由m=__________。
解：∵5+m2=2+m11+m，25+10m+m2=22+13m+m2，∴m=1.
15．已知函数f(x)x∈R为奇函数，g(x)x∈R为偶函数，且fx+gx=x2-4x+1，则f2-g2= ________________。
解：∵f-2+g-2=-22-4×-2+1=13，又由奇偶性得：f-2+g-2=-f2+g2。
∴f2-g2=--f2+g2=-f-2+g-2=-13.
三、解答题（本大题共7个小题，其中第21、22小题为选做题。满分60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、（本小题满分10分）
已知数列an为等差数列，a1=1，a3=3。
（Ⅰ）求数列an的通项公式；
（Ⅱ）设bn=-1nan，数列bn的前n项和为Tn，求T100。
解：（Ⅰ）设公差为d，则a3=a1+2d=1+2d=3，∴d=1.
∴数列an的通项公式为an=a1+n-1d=n.
（Ⅱ）∵bn=-1nan=-1n×n，
∴T100=-1+2-3+4-…-99+100=-1+2+-3+4-…+-99+100=50.

17、（本小题满分10分）
10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回地取三次。用ξ表示取到不合格品的次数。求：
（Ⅰ）随机变量ξ的分布列；
（Ⅱ）三次中至少有一次取到不合格品的概率。
解：（Ⅰ）有放回，每次取得不合格品的概率为210=15，为伯努利概型。取三次，
∴随机变量ξ服从二项分布，即ξ~B3,15。ξ的所有可能取值为0,1,2,3。
∴Pξ=0=C301501-153=64125，Pξ=1=C311511-152=48125，
Pξ=2=C321521-151=12125，Pξ=3=C331531-150=1125。
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
64125
48125
12125
1125
（Ⅱ）三次中至少有一次取到不合格品的概率为
Pξ≥1=1-Pξ=0=1-64125=61125。

18、（本小题满分10分）
已知函数f(x)=x2, 0≤x≤26-x, 2<x≤4.
（Ⅰ）画出f(x)的图象；
（Ⅱ）若f(m)≥2，求m的取值范围。
解：（Ⅰ）分别画出抛物线y=x2和一次函数y=6-x的图象，
然后保留x对应取值的部分图象即得。如右图实线部分。
（Ⅱ）∵f(m)≥2，∴0≤m≤2m2≥2 或2<m≤46-m≥2，
即0≤m≤2 m≥2或m≤-2或2<m≤4m≤4 。
∴2≤m≤2或2<m≤4，即2≤m≤4.
∴m的取值范围为2,4.

19、（本小题满分10分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=1，∠ABC=90°，D为AC的中点。
（Ⅰ）证明：BD⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）若直线BA1与平面ACC1A1所成角为30°，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积。
（Ⅰ）证：∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC。
又AA1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，∴BD⊥AA1。
∵AC和AA1是平面ACC1A1内两相交直线；
∴BD⊥平面ACC1A1。
（Ⅱ）解：连A1D. ∵BD⊥平面ACC1A1，
∴BD⊥A1D，且A1D是BA1在平面ACC1A1的射影，
∴∠BA1D=30°.
在Rt∆ABC中，BD=12AC=12AB2+BC2=22.
在Rt∆ABC中，∠BA1D=30°，∠BDA1=90°，∴BA1=2BD=2.
在Rt∆ABA1中，∠BAA1=90°，AB=1，∴AA1=BA12-AB2=1.
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S∆ABC×AA1=12×BA×BC×AA1=12.

20、（本小题满分10分）
已知椭圆C：x22+y2=1.
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知点M(-1,0)，直线y=x-1与椭圆C交于A,B两点。求∆ABM的面积。
解：（Ⅰ）∵a2=2，b2=1，∴c2=a2-b2=1，∴a=2，c=1，
∴椭圆C的离心率e=ca=22.
（Ⅱ）由x2+2y2=2y=x-1 消去y并整理得：3x2-4x=0.
设A,B两点的坐标分别为Ax1,y1,Bx2,y2，则由韦达定理可得：
x1+x2=43，x1x2=0，∴AB=1+12∙x1+x22-4x1x2=432.
又点M(-1,0)到直线y=x-1即x-y-1=0的距离d=-1-0-12=2。
∴∆ABM的面积S∆ABM=12AB∙d=43。

选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答。如果两题都做，则按所做的第21题计分。作答时，请写清题号。
21、（本小题满分10分）
如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，M为∆ABC内一点，∠BMC=90°，且MC=1。
（Ⅰ）求AM的长；
（Ⅱ）求sin∠AMB的值。
解：（Ⅰ）∵∆ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，
∴AB=4，BC=23。
∵∆BMC中，∠BMC=90°，MC=1，BC=2，
∴BM=3，∠MBC=30°。
∴∆ABM中，∠ABM=∠ABC-∠MBC=30°，
由余弦定理有：AM2=AB2+BM2-2AB∙BM∙cos∠ABM，
即AM2=16+3-12=7，AM=7。
（Ⅱ）∆ABM中，由正弦定理有：sin∠AMB=AB∙sin∠ABMAM=277。

22、（本小题满分10分）
某企业拟生产产品A和产品B。生产一件产品A需要新型材料2千克，用3个工时；生产一件产品B需要新型材料1千克，用2个工时。生产一件产品A的利润为1600元，生产一件产品B的利润为1000元。现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值。
解：设生产x件产品A和y件产品B时，企业获得的总利润为z元，则：
约束条件为：2x+y≤200 3x+2y≤360x,y∈N ；
目标函数为：z=1600x+1000y=2008x+5y，求zmax。
作出可行域，如图。
解2x+y=200 3x+2y=360得x=40 y=120，
此时zmax=2008×40+5×120=184000（元）。
答：生产40件产品A和120件产品B时，企业可获得最大总利润，总利润的最大值为184000元。

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