初二数学勾股定理复习训练题--4月2日.doc

初二数学勾股定理复习题训练----作业
1．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）

1 2 3 4
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为1，之间的距离为2，则AC的长是（ ）。A. B. C. D. 5
3．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A. (3+8)cm B.10cm C. 14cm D.无法确定
4．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝4，则△A6B6A7的边长为( )
A．16 B．32 C．64 D．128
5．如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ）
5 6 7 8 9
A．14 B．16 C．20 D．28
6．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G.则△BDG的面积的值是（ ）
A. 18.75cm2 B. 19.15 cm2 C. 20 cm2 D. 21.35 cm2
7．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（ ）A．2 B．3 C． D．+1
8．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（ ）A．6 B．6 C．2 D．3
9．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（ ）
A． B．4 C．2 D．5
10．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）A. 13 B. 19 C. 25 D. 169

12．如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_______.

12 13 14 15
13．如图，有一个棱长为2cm的正方体，点P为中点，在A点的一只蚂蚁想吃到P点的食物，则它爬行的最短路程为 cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是 ．
15．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=．则AE= ．（提示：可过点A作BD的垂线）
16．如图，一束光线从y轴上的点A（0，1）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线长度为 ．

16 18 19
18．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 ．
19．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为 ．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．

21．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．
已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．
（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．

22．如图，在公路AB旁有一座山，现C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，CD⊥AB，为了安全起见，爆破点C周围半径250m范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁？

23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2．

24．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．

25．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm。
（1）若P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从A沿A→B方向运动，速度为每秒1cm，点Q从B沿B→C方向运动，速度为每秒2cm，两点同时出发，设出发时间为t秒．(1)、当t=1秒时，求PQ的长；(2)、从出发几秒钟后，△PQB是等腰三角形？(3)、若M在△ABC边上沿B→A→C方向以每秒3cm的速度运动，则当点M在边CA上运动时，求△BCM成为等腰三角形时M运动的时间．

26．如图所示，△ ABC和△ AEF 为等边三角形，点 E 在△ ABC 内部，且 E 到点 A、B、C 的距离分别为 3、4、5，求∠AEB的度数．

27．如图，在一次夏令营活动中，小玲从营地A出发，沿北偏东60°方向走了m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点．（1）求A，C两点之间的距离．（2）确定目的地C在营地A什么方向．

28．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．[来源:学&科&
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC=2，求AD的长．

29．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还
可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形
较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以
表示为4×ab+由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，
则．
(1)、图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

(2)、如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为 cm.
图③
C
A
D
B

(3)、试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在下面的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．

30．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
31．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴．
∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时．
所以小明的猜想是正确的．
（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时， 与的大小关系．
（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．
（3）证明你猜想的结论是否正确．

32．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．

（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD．
33．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高．

（1）求AB的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）求CD的长．
34．如图：在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC上的中点，点E、F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF。（1）若设，，满足.

（1）求BE及CF的长。
（2）求证：。
（3）在（1）的条件下，求△DEF的面积。

试卷第7页，总7页
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参考答案
1．C
【解析】
试题分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，
∵D是BC的中点， ∴BD=3， 在Rt△NBD中，x2+32=（9﹣x）2， 解得x=4． 即BN=4．
考点：翻折变换（折叠问题）．
2．C
【解析】
试题分析：过点C做CD垂直l3，则BC=，然后根据等腰直角△ABC的勾股定理可得：AC=.
考点：勾股定理的应用.
3．B
【解析】
试题分析：将右面的面向前展开，根据勾股定理可得最短距离为10.
考点：(1)、立体图形的展开；(2)、勾股定理
4．D
【解析】
试题分析：根据等边三角形的性质可得：第一个三角形的边长为4，第二个三角形的边长为8，第三个三角形的边长为16，然后得出一般规律得出答案.
考点：等边三角形的性质
5．D
【解析】
试题分析：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：
∵AC=10，BC=8，∴AB===6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．
故选D．
考点：平移的性质；勾股定理．
6．A
【解析】
试题分析：设DG=x，则AG=8－x，根据折叠图形可得∠CBD=∠GBD，根据AD∥BC可得∠GDB=∠CBD，则△BGD为等腰三角形，根据Rt△ABG的勾股定理可得：，解得：x=，则S=×6÷2=18.75
考点：（1）、折叠图形的性质；（2）、勾股定理.
7．A.
【解析】
试题解析：延长BC至F点，使得CF=BD，

∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠EDB=∠ECF，
在△EBD和△EFC中

∴△EBD≌△EFC（SAS），
∴∠B=∠F
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠F，
∴AC∥EF，
∴，
∵BA=BC，
∴AE=CF=2，
∴BD=AE=CF=2
故选A．
考点：1.平行线分线段成比例；2.等腰三角形的性质；3.等边三角形的性质．
8．D.
【解析】
试题分析：由题意可知：CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，
在Rt△BDE中，∠BDE=90°，∴，故选D．
考点：1折叠；2等腰直角三角形.
9．B．
【解析】
试题解析：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴AD=BD，∠ADC=∠BDH，
∵∠AHE+∠DAC=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠BHD=∠C，
∴△ADC≌△BDH，
∴BH=AC=4．
故选B．
考点：全等三角形的判定与性质．
10．C
【解析】试题分析：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．
故选C．
考点： 勾股定理．
11．C
【解析】试题分析：①∠A=∠B-∠C，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=90°，故①是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，故②不是直角三角形；
③∵a2=（b+c）（b-c），∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，故③是直角三角形；
④∵a：b：c=5：12：13，∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，故④是直角三角形．
能判断△ABC是直角三角形的个数有3个；
故选C．
考点：1.勾股定理的逆定理；2.三角形内角和定理．
12．
【解析】试题分析：本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案.根据题意可得：=4，=2，=1，=，=，则=，根据规律得出答案.
点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的发现与整理.在解决这个问题的时候我们首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律，从而得出答案.
13．.
【解析】
试题分析：正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长. 有两种情况：当展成的长方形：长为2+1=3，宽为2时，最短路径为：．当展成的长方形：长为2+2=4，宽为1时，最短路径为：．故蚂蚁爬行的最短路径长为cm．
故答案为：．
考点：平面展开——最短路径问题．
14．

【解析】
试题分析：根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP， ∴EF，AP的交点就是M点， ∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小． ∵AP×BC=AB×AC， ∴AP×BC=AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC==10， ∵AB=6，AC=8， ∴10AP=6×8， ∴AP=
∴AM=，
考点：(1)、矩形的性质的运用；(2)、勾股定理的运用；(3)、三角形的面积公式
15．2．
【解析】
试题分析：过点A作AF⊥BD于点F，∵∠CDB=90°，∠1=30°，∴∠2=∠3=60°，在△AFB中，∠AFB=90°，∵∠4=45°，AB=，∴AF=BF=，在Rt△AEF中，∠AFE=90°，∴EF=1，AE=2．故答案为：2．

考点：勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
16．3
【解析】
试题分析：A关于x轴的对称点A'坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C，作DB∥A'A，A'D∥OC，交DB于D，故光线从点A到点B所经过的路程A'B==3．

考点：（1）、相似三角形的应用；（2）、坐标与图形性质
17．－6.
【解析】
试题分析：首先以CD为边作等边△CDE，连接AE，利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ACE，进而求出DE的长，即得出CD的长度，然后过点A作CD的垂线，根据∠ADC=30°求出△ADC的高，从而将四边形的面积转化成△ABC和△ADC的面积之和.
考点：（1）、直角三角形的性质；（2）、等边三角形.
18．20 cm
【解析】
试题分析：如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离．根据勾股定理，得A′B==20（cm）．

考点：（1）、平面展开（最短路径问题）；（2）、轴对称的应用（最短路径问题）；（3）、线段的性质；（4）、勾股定理．
19．7.
【解析】
试题解析：∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC=，
∵△ADE是△CDE翻折而成，
∴AE=CE，
∴AE+BE=BC=4，
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7．
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理．
20．(1)、BH=AC，理由见解析；(2)、证明过程见解析
【解析】
试题分析：(1)、根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据ASA证出△DBH≌△DCA即可；(2)、根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．
试题解析：(1)、BH=AC，理由如下： ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°， ∵∠ABC=45°，
∴∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC ∴DB=DC， ∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°， ∴∠HBD=∠ACD， ∵在△DBH和△DCA中
， ∴△DBH≌△DCA（ASA）， ∴BH=AC．
(2)、连接CG， 由(1)知，DB=CD， ∵F为BC的中点， ∴DF垂直平分BC， ∴BG=CG，
∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC， ∴EC=EA， 在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2﹣GE2=CE2，
∵CE=AE，BG=CG， ∴BG2﹣GE2=EA2．

考点：(1)、全等三角形的判定与性质；(2)、线段垂直平分线的性质；(3)、勾股定理．
21．(1)、13；(2)、6；(3)、等腰三角形
【解析】
试题分析：(1)、根据两点间的距离公式来求A、B两点间的距离；
(2)、根据两点间的距离公式|y2﹣y1|来求A、B两点间的距离．(3)、先将A、B、C三点置于平面直角坐标系中，然后根据两点间的距离公式分别求得AB、BC、AC的长度；最后根据三角形的三条边长来判断该三角形的形状．

试题解析：(1)、∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），
∴|AB|==13，即A、B两点间的距离是13；
(2)、∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，
∴|AB|=|﹣1﹣5|=6，即A、B两点间的距离是6；
(3)、∵一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），
∴AB=5，BC=6，AC=5， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形．
考点：两点间的距离公式．
22．AB段公路需要暂时封锁．
【解析】
试题分析：本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有危险．根据勾股定理在直角三角形ABC中即可求出AB的长度，然后利用三角形的公式即可求出CD，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁．
试题解析：∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
∵BC=400米，AC=300米
∴根据勾股定理得AB==500米，
∵CD⊥AB，
∴AC•BC=AB•CD，
∴CD=240米．
∵240米＜250米，故有危险，
因此AB段公路需要暂时封锁．
考点：勾股定理的应用．
23．证明过程见解析
【解析】
试题分析：作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2，ED=BD﹣BE=CE﹣CD，代入求出三者之间的关系即可得证．
试题解析：作AE⊥BC于E，如上图所示： 由题意得：ED=BD﹣BE=CE﹣CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴BE=CE=BC， 由勾股定理可得：
AB2+AC2=BC2， AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2， AD2=AE2+ED2，
∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2﹣BE2+（BD﹣BE）2+AC2﹣CE2+（CE﹣CD）2
=AB2+AC2+BD2+CD2﹣2BD×BE﹣2CD×CE =AB2+AC2+BD2+CD2﹣2×BC×BC
=BD2+CD2， 即：BD2+CD2=2AD2．
考点：勾股定理．
24．24
【解析】
试题分析：阴影部分的面积等于以AC、BC为直径的半圆的面积加上△ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积.
试题解析：根据Rt△ABC的勾股定理可得：AB=10，则S==24
考点：勾股定理
25．(1)、PQ=；(2)、t=；(3)、t=2、t=、t=4
【解析】
试题分析：(1)、根据t=1，求出AP，BP和BQ的长度，然后求出PQ的长度；(2)、首先得出BP=8-t，BQ=2t，然后根据等腰三角形的性质得出t的值；(2)、首先将动点所产生的线段用含t的代数式来表示，然后根据等腰三角形的性质分三种情况分别求出t的值.
试题解析：(1)、∵当t=1时，AP=1，BP=7，BQ=2 ∴PQ=
(2)、∵△PQB是等腰三角形,∠B=90° ∴BP=BQ BP=8-t， BQ=2t
∴8-t=2t 解得t=
(3)、当BC=BM时，t=2 当MC=MB时，t= 当CB=CM时，t=4
考点：(1)、动点问题；(2)、等腰三角形的性质.
26．150°
【解析】
试题分析：连接FC，可证△AEB≌△AFC（SAS），然后根据勾股定理的逆定理可求的∠EFC=90°，然后根据全等的性质可求解.
试题解析：连接FC，

则△AEB≌△AFC（SAS）。
在△EFC中，EF=3，FC=4，EC=5，
所以是直角三角形，则∠EFC=90°，
∠AEB=∠AFC=90°+60°=150°
考点：勾股定理的逆定理
27．北偏东30°的方向
【解析】
试题分析：（1）根据直角三角形的勾股定理性质可求解；
（2）根据30°角的直角三角形的性质可求解.
试题解析：（1）如图，
A
B
C
北
北
（第21题）

E

D

∴∠DAB=∠ABE=60°．
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°，∴∠CBA=90°．
在Rt△ABC中，∵BC=500m，AB=m，
由勾股定理可得：AC2=BC2+AB2，
所以AC=1000（m）；
（2）在Rt△ABC中，∵BC=500m，AC=1000m，
∴∠CAB=30°，
∵∠DAB=60°，
∴∠DAC=30°．
即点C在点A的北偏东30°的方向
考点：勾股定理
28．（1）75°（2）

【解析】
试题分析：（1）根据三角形的内角和可求解；
（2）根据勾股定理的性质求解.
试题解析：（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°；
（2）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
又∵∠C=45°，
∴AD=DC，
∴根据勾股定理，得2AD2=AC2，
即2AD2=4，AD=
考点：勾股定理
29．(1)、答案见解析；(2)、；(3)、答案见解析.
【解析】
试题分析：(1)、根据梯形面积的两种计算方法得出答案；(2)、根据三角形的等面积法求出高线；(3)、根据题意画出矩形的长和宽分别为a+b和a+2b.
试题解析：(1)、梯形ABCD的面积可以表示为(a+b)(a+b)=
也可以表示为
∴= 即
（2）、
（3）、
考点：整式乘法的几何意义.
30．（1）见解析（2）2+．
【解析】
试题分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．
（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=，
在Rt△CDF中，CF===2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2，
∴AD=AF+DF=2+．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
31．（1）；（2）作图见解析；（3）正确．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：；
（2）根据题意可作辅助线：过点A作AD⊥BC于点D；
（3）然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD2，即可证得结论．
试题解析：（1）当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：；
（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D；
（3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴．∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为钝角三角形时，．

考点：三角形综合题；勾股定理．
32．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，进而得出AB=BC；
（2）首先证明CDEF是矩形，再根据△BAE≌△CBF，得出AE=BF，进而证明结论．
试题解析：（1）连接AC．

∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，
∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，
∴AB2+BC2=2AB2，
∴BC2=AB2，
∵AB＞0，BC＞0，
∴AB=BC．
（2）过C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四边形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE与△CBF中
∴，
∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．
考点：1.勾股定理；2.全等三角形的判定与性质．
33．（1）AB的长是25；（2）△ABC的面积是150；（3） CD的长是12．
【解析】
试题分析：（1）根据勾股定理可求得AB的长；
（2）根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）根据三角形的面积相等即可求得CD的长．
试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，
∴AB2=AC2+BC2，
解得AB=25．
答：AB的长是25；
（2）AC•BC=×20×15=150．
答：△ABC的面积是150；
（3）∵CD是边AB上的高，
∴AC•BC=AB•CD，
解得：CD=12．
答：CD的长是12．
考点：勾股定理．
34．（1）BE=12，CF=5；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）先根据二次根式的非负性求出m=2，再由非负数的性质求出a、b的值，进而得到BE及CF的长；
（2）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，利用SAS得到三角形BED与三角形CPD全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CP，再利用SAS得到△EDF和△PDF全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP为直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可得证；
（3）连接AD，由AB=AC，且D为BC的中点，利用三线合一得到AD垂直于BC，AD为角平分线，再由三角形ABC为等腰直角三角形，得到一对角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等得到AE=CF=5，DE=DF，由AE+EB求出AB的长，即为AC的长，再由AC-CF求出AF的长，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的长，再根据三角形DEF为等腰直角三角形求出DE与DF的长，即可确定出三角形DEF的面积．
试题解析：（1）由题意得，
解得m=2，
则+|b-5|=0，
所以a-12=0，b-5=0，
a=12，b=5，
即BE=12，CF=5；
（2）延长ED到P，使DP=DE，连接FP，CP，

在△BED和△CPD中，
，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE=CP，∠B=∠CDP，
在△EDF和△PDF中，
，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根据勾股定理得：CF2+CP2=PF2，
∵BE=CP，PF=EF，
∴BE2+CF2=EF2；
（3）连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，
∴AB=AE+EB=5+12=17，
∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12，
在Rt△EAF中，根据勾股定理得：EF==13，
设DE=DF=x，
根据勾股定理得：x2+x2=132，
解得：x=，即DE=DF=，
则S△DEF=DE•DF=××=．
考点：等腰直角三角形．
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