特殊的一元二次方程的解法—知识讲解(基础)+巩固练习.doc

一元二次方程及其解法（一）
特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（基础）

【学习目标】
1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；
2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；
3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.

【要点梳理】
要点一、一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念：
　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
要点诠释：
识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.
2．一元二次方程的一般形式：
　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
要点诠释：
　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程；
　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：
　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4.一元二次方程根的重要结论
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.
（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.

要点二、特殊的一元二次方程的解法
1．直接开方法解一元二次方程：
　　(1)直接开方法解一元二次方程：
　　　 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.
　　(2)直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
　　(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 .
要点诠释：
用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.

2.因式分解法解一元二次方程
（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤
①将方程右边化为0；
　 　②将方程左边分解为两个一次式的积；
　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
（2）常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【典型例题】
类型一、关于一元二次方程的判定
1．判定下列方程是不是一元二次方程:
　　(1)； 　(2)．

举一反三：
【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．

类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定
2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：
　　(1)-3x2-4x+2=0； (2)．

举一反三：
【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）； （2）．

类型三、一元二次方程的解（根）
3. （2016•平顶山一模）若0是关于的方程的解，求实数的值，并讨论此方程解的情况．

类型四、用直接开平方法解一元二次方程
4.解方程（1）3x2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．

举一反三：
【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：
　　 (1)x2=361； 　　　(2)2y2-72=0； 　(3)5a2-1=0；　　　(4)-8m2+36=0．

【变式2】（2015•铜陵县模拟）解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．　

类型五、因式分解法解一元二次方程
5．用因式分解法解下列方程：
(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．

6．解下列一元二次方程：
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)．

举一反三：
【变式】 （2）

【巩固练习】
一、选择题
1. 若是关于x的一元二次方程，则( )
A．p≠1 B．p≠0且p≠1 C．p≠0 D．p≠0且p≠1
2．（2016·重庆模拟）关于的方程的解与的解相同，则的值为( )
A．2 B．3 C．1 D．4
3. （2015•科左中旗校级一模）下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1③x2++5=0；④x2﹣2+5x3﹣6=0；⑤3x2=3（x﹣2）2；⑥12x﹣10=0是一元二次方程的个数是（　　）
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

4．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )
A．x＝5 B．x＝5或x＝6 C．x＝7 D．x＝5或x＝7
5．若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?( )
A．5 B．6 C． D．
6．已知方程有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( )
A．ab B． C．a+b D．a-b

二、填空题
7.（2016秋·曲阜市校级月考）方程化为一元二次方程得一般形式是　 　，它的一次项系数是　 　．
8．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m ；
（2）关于x的方程是一元一次方程，则m .
9．下列关于x的方程中是一元二次方程的是____ ____(只填序号)．
(1)x2+1＝0； (2)； (3)；
(4)； (5) ； (6)(x-2)(x-3)＝5.
10．下列哪些数是方程的根?答案： .
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．

11．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．
12．方程的解为___ _____．

三、解答题
13．方程．
(1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项；
(2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值．

14.（2015•泗洪县校级模拟）用恰当的方法解下列方程：
（1）x2﹣10x+25=7
（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．

15．教材或资料会出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
(1)下列式子中，有哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)______ __．
①； ②； ③；
④； ⑤.
(2)方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系?