湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案.doc

湖南省2016年普通高等学校对口招生考试数学试题及参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
（ ）1．设全集U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={5},则∪B=
A．{5} B．{3,4,5} C．{3,4} D．{1,2,5}
【解析】∵，∴∪B={3,4,5}．故选B
（ ）2． 的最大值为
A．4 B．3 C． D．
【解析】∵函数是减函数，∴为该函数在区间[-1,2]上的最大值．故选A
（ ）3．“或”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】∵前者后者,后者亦前者．故选D
（ ）4．不等式的解集为
A． B．
C． D．
【解析】由或,
解得或．故选D
（ ）5．已知向量，，且，则m=
A． B． C． D．
【解析】由．故选A
（ ）6．已知,,则
A． B． C． D．
【解析】由,，
∴．故选C
（ ）7．已知定义在R上的奇函数当时,则
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【解析】依题意，知-．故选D
（ ）8．设，，，则
A． B． C． D．
【解析】由指数及对数函数性质知﹤0，0﹤﹤1,﹥1．故选D
（ ）9．已知点,点在圆上移动,则的取值范围为
A．[1,7] B．[1,9] C．[3,7] D．[3,9]
【解析】∵．故选C
（ ）10．已知为三条不重合的直线，给出下面三个命题：
①若；②若；
③若，其中正确的命题为
A．③ B．①② C．①③ D．②③
【解析】由于①②都错，只有③才是对的．故选A
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．袋中有6个红色球，3个黄色球，4个黑色球，从袋中任取一个球，则取到的球不是黑球的概率为 ．
【解析】
12．已知数列的前项和，则 ．
【解析】
13．若不等式的解集为则c= ．
【解析】由
14．6位同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，共有 种不同的排法（用数字作答）．
【解析】用捆绑法
15．已知A,B为圆上的两点，为坐标原点，则 ．
【解析】依题意，有，即，
∴，故
三、解答题(本大题共7小题，每小题都为10分，其中第21、22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知函数．(Ⅰ)求的定义域；(Ⅱ)若，求m的值．
【解析】(Ⅰ)由，即的定义域为；
(Ⅱ) 依题意，有，解得．
17.在中,内角的对边分别为.已知．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的值．
【解析】(Ⅰ)由正弦定理得；
(Ⅱ)∵∴，故，
∴．
18．已知各项都为正数的等比数列中，．(Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)设的前项和为，且，求的值．
【解析】(Ⅰ)设公比为依题意有，解得，
∴的通项公式为；
(Ⅱ)∵,
而,
∴,即，解得．
19．如图1，在三棱柱中，⊥底面，
C

B

A
图1
．(Ⅰ)证明：平面；(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】
(Ⅰ)证：∵⊥底面，∴，
由平面；

(Ⅱ)连，则即为直线与平面所成的角，
在中,
∴,即直线与平面所成角的正弦值为．
20．已知椭圆的离心率．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆C相交于两点，且中点的横坐标为1，求k的值．
【解析】
(Ⅰ)依题意,知椭圆的焦点在轴上,由,
∴椭圆C的方程为；
(Ⅱ)联合及,
依题意,有,解得或．

选做题：请考生在第21、22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时请写清题号．
21．已知复数，且．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若且，求的所有值．
【解析】(Ⅰ) 依题意,有，解得；
(Ⅱ)∵，∴，
由于，∴，故．
22．某厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品的销售收入为1500元，每件乙产品的销售收入为1000元．这两种产品都需要经过两种设备加工，在设备上加工1件甲产品所需工作时数为2h,4h, 加工1件乙产品所需工作时数为4h,2h．若两种设备每月工作时数分别不超过200h,250h，则每月生产甲、乙两种产品各多少件，才能使销售收入最大？
【解析】设每月生产甲、乙两种产品分别为、件，销售收入为，则
目标函数
约束条件为
由，此时，
即该厂每月生产甲、乙两种产品的数量分别为50、25件时，销售收入可以达到最大值，最大值为十万元．
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