高等数学(上)重要知识点归纳.doc
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11 高等数学(上)重要知识点归纳 第一章 函数、极限与连续 一、 极限的定义与性质 1、 定义(以数列为例) 当时, 2、 性质 (1) ,其中为某一个无穷小。 (2)(保号性)若,则当时,。 (3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。 二、 求极限的主要方法与工具 1、 *两个重要极限公式 (1) (2) 2、 两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、 *等价无穷小替换法 常用替换:当时 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4、 分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义 三、 无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价 四、 连续与间断点的分类 1、 连续的定义* 在点连续 2、 间断点的分类 3、 曲线的渐近线* 五、 闭区间连续函数性质 1、 最大值与最小值定理 2、 介值定理和零点定理 第二章 导数与微分 一、 导数的概念 1、 导数的定义* 2、左右导数 左导数 右导数 3、 导数的几何意义* 4、 导数的物理意义 5、 可导与连续的关系: 二、 导数的运算 1、 四则运算 2、 复合函数求导 设,一定条件下 3、 反函数求导 设互为反函数,一定条件下: 4、 求导基本公式*(要熟记) 5、 隐函数求导* 方法:在两端同时对求导,其中要注意到:是中间变量,然后再解出 6、 参数方程确定函数的求导* ,一定条件下(可以不记) 7、 常用的高阶导数公式 (1) (2) (3) (4) (5) (莱布尼茨公式) 三、 微分的概念与运算 1、 微分定义 * 若,则可微,记 2、 公式: 3、 可微与可导的关系* 两者等价 4、 近似计算 当, 第三章 导数的应用 一、 微分中值定理* 1、柯西中值定理* 当取时,定理演变成: 2、拉格朗日中值定理* 当加上条件则演变成: 3、罗尔定理* 4、泰勒中值定理 在一定条件下: 其中介于之间. 当公式中n=0时,定理演变成拉格朗日定理. 当时,公式变成: 5、 麦克劳林公式 6、常用麦克劳林展开式 (1) (2) (3) (4) 二、 罗比达法则* 记住:法则仅能对型直接用,对于转化后用. 幂指函数恒等式* 三、 单调性判别* 1、 2、 单调区间分界点:驻点和不可导点. 四、 极值求法* 1、 极值点来自:驻点或不可导点(可疑点). 2、 求出可疑点后再加以判别. 3、 第一判别法:左右导数要异号,由正变负为极大,由负变正为极小. 4、 第二判别法:一阶导等于0,二阶导不为0时,是极值点.正为极小,负为极大. 五、 闭区间最值求法* 找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点,比较大小. 六、 凹凸性与拐点* 1、 2、 拐点:曲线上凹凸分界点. 横坐标不外乎,找到后再加以判别附近的二阶导数是否变号. 七、 曲率与曲率半径 1、 曲率公式 2、 曲率半径 第四章 不定积分 一、 不定积分的概念* 若在区间上,, 则称 称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分,记为. 二、 微分与积分的互逆关系 1、 2、 三、 积分法* 1、 凑微分法* 2、 第二类换元法 3、 分部积分法* 4、 常用的基本积分公式(要熟记). 第五章 定积分 一、 定积分的定义 二、 可积的必要条件 有界. 三、 可积的充分条件 连续或只有有限个第一类间断点或单调. 四、 几何意义 定积分等于面积的代数和. 五、 主要性质* 1、 可加性 2、 估值 在[a,b]上, 3、 积分中值定理* 当f(x)在[a,b]上连续时: 4、 函数平均值: 六、 变上限积分函数* 1、 2、 七、 牛-莱公式* 八、 定积分的积分法* 1、 换元法 牢记:换元同时要换限 2、 分部积分法 3、 特殊积分 (1) (2) 当f(x)为周期为T的周期函数时: (3) 一定条件下: (4) (5) 九、 反常积分* 1、 无穷区间上 其他类似 2、 p积分: 3、 瑕积分:若a为瑕点: 则 其他类似处理 第六章 定积分应用 一、 几何应用 1、 面积 (1) (2) 则 (3) 2、 体积* (1)旋转体体积* 或 (2)截面面积为的立体体积为 3、弧长 (1) (2) (3) 二、物理应用 1、变力作功 一般地:先求功元素:,再积分 克服重力作功的功元素dw=体积位移 2、水压力 dP=水深面积 第七章 微分方程 一、 可分离变量的微分方程 形式: 二、一阶线性微分方程* 1、线性齐次: 通解公式*: 2、 线性非齐次 通解公式*:- 配套讲稿:
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