第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式.doc

24等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用2.掌握等比中项的概念并会应用3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程1等比数列的定义条 件(1)从第2项起(2)每一项与它的前一项的比等于同一个常数结 论这个数列就叫做等比数列有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q0)表示2.等比数列的通项公式ana1qn13等比中项若a、G、b成等比数列，称G为a，b的等比中项且G.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列1，1，1，1，是等比数列()(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(3)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(4)常数列一定为等比数列()(5)任何两个数都有等比中项()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2等比数列an中，a12，q3，则an等于()A6B32n1C23n1 D6n答案：C34与9的等比中项为()A6 B6C6 D36答案：C4等比数列，的公比为_答案：5在等比数列an中，已知an4n3，则a1_，q_答案：4探究点一等比数列的通项公式在等比数列an中，(1)a42，a78，求an.(2)a2a518，a3a69，an1，求n.解(1)因为所以由，得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.(2)因为由，得q，从而a132.又an1，所以321，即26n20，故n6.等比数列通项公式的求法a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算1.在等比数列an中，(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an；(3)已知a1，an，q，求n.解：(1)由等比数列的通项公式，得a63(2)6196.(2)设等比数列的公比为q，由已知可得解得所以ana1qn152n1.(3)由ana1qn1，得，即，得n4.探究点二等比数列的判定在数列an中，若an0，且an12an3(nN*)证明：数列an3是等比数列证明法一：因为an0，所以an30.又因为an12an3，所以2.所以数列an3是首项为a13，公比为2的等比数列法二：因为an0，所以an30.又因为an12an3，所以an24an9.所以(an23)(an3)(4an12)(an3)(2an6)2(an13)2.即an3，an13，an23成等比数列，所以数列an3是等比数列本例的条件不变，若a12，求数列an的通项公式解：由数列an3是等比数列，当a12时，a135，所以数列an3是首项为5，公比q2的等比数列，所以an352n1，即an52n13.等比数列的三种判定方法(1)定义法q(q为常数且q0)等价于an是等比数列(2)等比中项法aanan2(nN*且an0)等价于an是等比数列(3)通项公式法ana1qn1(a10且q0)等价于an是等比数列2.已知数列an是首项为2，公差为1的等差数列，令bn，求证数列bn是等比数列，并求其通项公式解：由已知得，an2(n1)(1)3n，故2，所以数列bn是等比数列因为b1，所以bn2n12n3.探究点三等比中项及其应用已知a，b，c这五个数成等比数列，求a，b，c的值解由题意知b2，所以b.当b时，ab，解得a；bc，解得c.同理，当b时，a，c.综上所述，a，b，c的值分别为，或，.已知等比数列中的相邻三项an1，an，an1，则an是an1与an1的等比中项，即aan1an1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程，同时等比中项常起到桥梁作用，要认真感悟和领会3.(1)如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9Bb3，ac9Cb3，ac9 Db3，ac9(2)已知等比数列an的前三项依次为a1，a1，a4，则an_解析：(1)因为b2(1)(9)9，且b与首项1同号，所以b3，且a，c必同号所以acb29.(2)由已知可得(a1)2(a1)(a4)，解得a5，所以a14，a26，所以q，所以an4.答案：(1)B(2)41等比数列定义的再认识(1)每一项与它的前一项的比是同一个常数，是具有任意性的，但须注意是从“第2项”起(2)从“第2项”起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是“同一个”(3)对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，次序不能颠倒，q不为零(4)各项不为零的常数列既是等差数列，又是等比数列2等比数列的通项公式(1)已知首项a1和公比q，可以确定一个等比数列(2)在公式ana1qn1中有an，a1，q，n四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量(3)等比数列an的通项公式的推导法一：(迭代法)根据等比数列的定义，有anan1qan2q2a2qn2a1qn1.法二：(累乘法)根据等比数列的定义，可以得到q，q，q，q，把以上n1个等式左右两边分别相乘，得qn1，即qn1，所以ana1qn1.3等比中项的理解(1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列1数列an的通项公式是an53n，则此数列是()A公比为3的等比数列B公比为5的等比数列C首项为5的等比数列 D公差为3的等差数列解析：选A.因为an53n，所以an153n1(n2)，所以当n2时，3.由等比数列的定义知，an是公比为3的等比数列2在首项a11，公比q2的等比数列an中，当an64时，序号n等于()A4B5C6 D7解析：选D.因为ana1qn1，所以12n164，即2n126，得n16，解得n7.3(2015高考广东卷)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a52，c52，则b_解析：因为a，b，c成等比数列，所以b2ac(52)(52)1.又b0，所以b1.答案：14求下列各等比数列的通项公式：(1)a12，a38；(2)a15，且2an13an.解：(1)因为a3a1q2，所以q24，所以q2.当q2时，an(2)2n12n；当q2时，an(2)(2)n1(2)n.(2)因为q，又a15，所以an5.A基础达标1若an为等比数列，且2a4a6a5，则公比是()A0B1或2C1或2 D1或2解析：选C.由已知得2a1q3a1q5a1q4，得2q2q，所以q1或q2.2在等比数列an中，an0，且a1a21，a3a49，则a4a5的值为()A16 B27C36 D81解析：选B.由a3a4q2(a1a2)9，所以q29，又an0，所以q3.a4a5q(a3a4)3927.3.是等比数列4，4，2，的()A第10项 B第11项C第12项 D第13项解析：选B.由题意可知q，令4，所以，故n110，即n11.4在数列an中，a11，点(an，an1)在直线y2x上，则a4的值为()A7 B8C9 D16解析：选B.因为点(an，an1)在直线y2x上，所以an12an.因为a110，所以an0，所以an是首项为1，公比为2的等比数列，所以a41238.5一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为()A. B.C. D.解析：选A.设这个数为x，则(50x)2(20x)(100x)，解得x25，所以这三个数为45，75，125，公比q为.6若1，2，a，b成等比数列，则ab_解析：根据题意有，解得a4，b8，所以ab(4)84.答案：47下面各数列一定是等比数列的是_(填序号)1，2，4，8；1，2，3，4；x，x，x，x；，.解析：根据等比数列的定义，是等比数列，不是等比数列，中x可能为0，故不一定是等比数列答案：8在等比数列an中，若a427，q，则a6_，an_解析：因为a4a1q3a127，所以a136，所以a6a1q536363，an36(1)n37n.答案：3(1)n37n9已知数列an为等比数列，首项a1，a34，且公比为正数(1)写出此等比数列的通项公式an；(2)20是否为an中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由解：(1)设公比为q(q0)，由a3a1q2，得4q2，解得q，所以an.(2)令20，得，解得n7.故20是an中的第7项10已知数列an的前n项和为Sn，对一切正整数n，点(n，Sn)都在函数f(x)2x24的图象上求证：数列an是等比数列证明：由题意得Sn2n24，所以an又a14也符合an2n1(nN*，n2)，所以an2n1(nN*)，因为2，所以数列an是等比数列B能力提升1已知数列an，下列选项正确的是()A若a4n，nN*，则an为等比数列B若anan2a，nN*，则an为等比数列C若aman2mn，m，nN*，则an为等比数列D若anan3an1an2，nN*，则an为等比数列解析：选C.由a4n知|an|2n，则数列an不一定是等比数列；对于B，D选项，满足条件的数列中可以存在为零的项，所以数列an不一定是等比数列；对于C选项，由aman2mn知，aman12mn1，两式相除得2(nN*)，故数列an是等比数列故选C.2已知等比数列an中，a11，且a1，a3，2a2成等比数列，则an_解析：设等比数列an的公比为q，则a2q，a3q2.因为a1，a3，2a2成等比数列，所以q42q，解得q2，所以an2n1.答案：2n13已知数列an的前n项和Sn2an1.(1)求证：an是等比数列，并求出其通项公式；(2)设bnan12an，求证：数列bn是等比数列解：(1)因为Sn2an1，所以Sn12an11，Sn1Snan1(2an11)(2an1)2an12an，所以an12an，由已知及式可知an0.所以由2，知an是等比数列由a1S12a11，得a11，所以an2n1.(2)证明：由(1)知，an2n1，所以bnan12an2n22n122n2n142n1.所以数列bn是等比数列4(选做题)已知等比数列an中，a11，公比为q，且bnan1an.(1)判断数列bn是否为等比数列？说明理由；(2)求数列bn的通项公式解：(1)因为等比数列an中，a11，公比为q，所以an1qn1qn1，若q1，则an1，bnan1an0，所以数列bn是各项均为0的常数列，不是等比数列若q1，由于q，所以数列bn是首项为b1a2a1q1，公比为q的等比数列(2)由(1)可知，当q1时，bn0；当q1时，bn(q1)qn1.