用代入消元法解二元一次方程组.doc

二元一次方程组的解法----代入法
教学目标:
知识与技能：1．使学生通过探索，逐步发现解方程组的基本思想是“消元”，化二元—次方程组为一元一次方程。
2．使学生了解“代人消元法”，并掌握用代入法解二元一次方程组的步骤．
过程与方法：3．通过代入消元，使学生初步理解把“未知”转化为“已知”，和复杂问题转化为简单问题的思想方法。
4. 培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形。
情感与态度：5. 训练学生的运算技巧，养成检验的习惯。
6. 通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美。
教学重点：使学生会用代入法解二元一次方程组。
教学难点：灵活运用代入法的技巧。
教学工具：电脑媒体，尺子。
教学过程：　1．创设情境，复习导入
提出一个实际问题：市场上1斤苹果售价3元，1斤梨售价2元，李明和妈妈买了苹果x斤，买梨y斤，共用了18元钱，问苹果和梨之间的等量关系是什么？
学生
找出等量关系：苹果的总价+梨的总价=18元
列出方程为： 3x+2y=18

（1）教师提问：但到底李明和妈妈买了多少斤苹果，多少斤梨呢？ (学生会发现缺少条件) 所以要增加一个条件：已知妈妈买了苹果2斤（还可以改为3斤、4斤等）
学生可以列方程组为： x=2
3x+2y=18
【教法说明】 这题说明要想求出两个未知数的值，必须先知道其中一个未知数的值。这为用代入法解二元一次方程组打下基础：即消去一个未知数的值，转化为一元一次方程去解。这样导入，可以激发学生的求知欲．
（2）再提出问题：如果不知道其中一个未知数的值，而只知道两个未知数的一种关系式时，
即如果增加的条件为：妈妈买的苹果比梨多1斤
可以列方程组为： x=y+1 ①
那又怎么解呢？
3x+2y=18 ②

(引导学生把二元一次方程组转化为一元一次方程)
学生：就是把方程①代入方程②，就可以得到3（ y+1 ）+2 y =18 ．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出y了．
∴3(y+1 )+2y=18
3y+3+2y=18
5y=15
∴y=3
教师再问：求出 后代入哪个方程中求比较简单？为什么？
学生经过比较得出：求出 后代入方程①中求比较简单？
将y=3代入①　 ∴ x=4
∴ x=4
y=3
【教法说明】解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．
2.讲解习题
教师：你从上面的学习中体会到解二元一次方程组的基本思路是什么吗？主要步骤有那些？
学生先讨论，教师小结。
教师归纳: 上面解方程组的基本思路是“消元”----把“二元”变为“一元”。
主要步骤是：⑴将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，
⑵并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为“代入消元法”，简称“代入法”
教师：我们用代入法来解一个方程组。
例题： 解方程组 2x+3y=16 ①
　　 x+4y=13 ②
学生分析：方程②中x的系数是1，比较简单．因此，可以先将方程②变形，用含y的代数式表示x，再代入方程①消元求解．
教师提问：如果用含x的代数式表示y，又会如何呢？
学生分析：可以先将方程②变形，用含x的代数式表示y，即y=，再代入方程①消元求解，会出现方程2x+3()=16，需要去分母，这就太繁琐了。
学生活动：独立尝试完成例题．
教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化．找一个学生上台板书。
　　解：由②，得x=13-4y ③
　　把③代入①，得2(13-4y)+3y=16
　　　　　　 26-8y+3y=16
　　 　　　　　　　-5y=-10
　　 　　　　　　　　∴　y=2
把y=2代入③，得x=13-4×2 ∴　x=5
∴　 　x=5
y=2
教师提问：如何检验得到的结果是否正确？ 学生活动：口答检验．
教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中．
检验后，师生共同讨论：由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？
（得到的是恒等式，不能求解）
3.学生编题活动
学生将设计一个二元一次方程组，要求：⑴最后结果为 x=-1
　 y=-4
⑵系数不要太大；⑶至少有一个方程中含有x、y两个未知数；

说明：你所要设计的题目要求最后结果为 x=-1 y=-4
注意：若你所编的题目被其他小组做对了，奖品归他们所有。
　　　反之，归你们。怎么样，挑战一下吧？
所设计的题目

　解答过程
（其他组答）

成绩评价

这里要给予学生充分的时间讨论交流，并且归纳出编题技巧。
4.小结：（学生发言，教师归纳）
老师概述：（1）利用代入消元法解方程组时，选取方程组中的哪个方程、采用一个未知数的代数式表示另一个未知数，其解体过程繁简不一样，但结果是一样的，这就是要求我们加以选择了，一般地，用代入法求解时，常优先选取未知数的绝对值为1的方程进行变形，这样可使变形后的方程比较简单和将之代入后化简比较容易，从而提高解题速度和正确率。
（2）由方程组的一个方程变形后，必须代入另一方程，而不能代回原方程，若代回原方程，就得到一个恒等式（同学们可以试一试），那么就无法求出x、y的值，因此在解题过程中要防止循环代入的错误。
（3）代入后，原二元一次方程转化为我们熟悉的一元二次方程，这种化“未知（陌生）”为“已知（熟悉）”的思维方法我们称之为“转化”的思想方法，解二元（或多元）一次方程组的关键是如何实现这一“转化”。
作业：　P41练习：1，2，3，4
板书设计：
代入消元法
引例： 例题：
解答：1. 2.

代入法2
测验：（1） x=1-y (2) 2x+y=5 (3) 3s+2t=8
3x+y=5 3x+4y=2 2s-t=3
例1、解方程组 14x+3y=57 ①
7x-4y=1 ②
分析：本题方程组的任一方程都不具有未知数的系数的绝对值为1的方程，也不具有常数项为0的方程，那么我们只能选取其中某一方程，用其中一个未知数的代数式，表示另一未知数，在选取的过程中，要注意选取系数的绝对值比较小的方程进行变形，这样得到的方程就比较简单，代入后化简也比较容易，这一点我们在解题前必须要作好选择。另外，本题的系数有潜在的特点，即是未知数x的系数或整数倍数关系，那么我们就可以把方程②中的“7x”当作一个整体，代入到方程①中，消去x,求出y来。
解法1 由②，得 y= ③
③代入①得，14x+3×=57
x=3
把x=3代入③得 y==5
∴原方程组的解为 x=3

y=5
方法2：由②，得 7x=1+4y ③
把③代入①, 得2(1+4y)+3y=57
y=5
把y=5③得,x=3

∴原方程组的解为 x=3

y=5

分析：①用代入法消元求方程组的解时，在选择方程中哪一个方程进行变形时，通常优先选择：a、某一未知数的系数的绝对值为1的方程；b、常数项为0的方程；c、未知数系数的绝对值较小的方程来变形消元。
②若方程组中某一未知数的系数成整数倍数关系时，我们可采取“整体代入”的方法来求解。
③在解方程组前，我们一定要认真仔细分析方程组的特征，选择最恰当的方法，一要变形后方程简单：（方法二中变形后方程7x=1+4y 较方法一中变形后的方程y= 简单）；二要代入后化简（化简方法二中2(1+4y)+3y=57比化简方法一中14x+3×=57来得简单）。

通过例题让学生尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤，讨论后选代表发言．之后，看课本第41页，用几个字概括每个步骤．
练习：
(1) 5x+12y=17 3x+2y=1 3x-5y=11
13x+3y=16 (2) 2x-8y=10 (3) 9x+2y=16
(4)问：当k,m为何值时，方程组 y=kx+m ①
y=(2k-1)x+4 ② 至少有一个解？
四、小结：　　1．解二元一次方程组的思想：．
　　 2．用代入法解二元一次方程组的步骤．
　　 3．用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．
通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确．
五、作业：第47页1（1）（2）（3）（4）
六、课后反思：本节主要研究了用代入消元法解二元一次方程组，通过本节的学习，我们要有“解二元一次方程组的关键是设法消去方程组中的一个未知数，把二元一次方程组转化为一个一元二次方程，解这个一元二次方程，得到一个未知数的值，然后进一步求出方程组的解”这个意识，在这个过程中既有“消元”的思想（消去未知数），又有转化的思想（方程组转化对方程来解）。
要掌握代入消元法，首先应清楚两点：（1）根据方程组的特点，可把方程组中的某个方程变形为“用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式；（2）根据“方程组的解”的概念，解方程组就是求方程组的公共解，方程组中的两个方程是紧密联系的，来年各个方程中的任何一个未知数应取相同的值，这样，我们才能循序渐进以达到消元的目的，把二元一次方程组转化为一元一次方程；（3）在代入消元时，应根据方程组中每一个方程的特征，灵活选用“整体代入法”与“分类讨论法”来求解。