数形结合思想在整式乘法中的应用.doc

数形结合思想在整式乘法中的应用
山东 于秀坤
把整式的乘法运算和图形相结合，出现了一些和图形相关的整式乘法数形结合题，充分体现了数形结合思想在整式乘法中作用.
例1 阅读材料并解答问题：我们已经知道，公式(a+b)2=a2+2ab+b2可以用平面图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用图1或图2的面积表示.
(1)请写出图3中所表示的代数恒等式:_______________.
(2)试画一个几何图形,使它的面积能表示: (a+b)(a+3b)=(a2+4ab+3b2)
(3)请仿照上述另写一个含有a、b的代数式恒等式,并画出与之对应的几何图形.

图1 图2 图3
解析：本题是一道和整式乘法有关的创新图形题，体现了数形结合思想.
（1）观察图形可知这个长方形的长为（2a+b），宽为（a+2b），根据长方形的面积为长乘以宽,得左边为(2a+b)(a+2b).又长方形的面积等于各部分的面积的和,所以右边为2a2+5ab+2b2.从而得恒等式为(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.
(2)根据已知等式可画如图4.图形的画法不止一种.请你在试一试.

图4
(3)按题目要求写一个与上述不同的代数式恒等式,画出与代数式恒等式对应的平面图形即可.(相信你一定能试着完成).
例2 已知，如图5，现有、的正方形纸片和的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个长方形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的长方形面积为，并标出此长方形的长和宽.

图5
析解:本题是一道和整式乘法有关的拼图探索题,要拼一个长方形的面积是2a2+5ab+2b2,只要找到长方形的长和宽即可,因为(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2,因为从已知可以看出b>a,所以长方形的长为a+2b,宽为2a+b.知道了长方形的边长就可以拼出长方形了.本题的解法不惟一,下面给出两种拼法,如图6所示.

图6