《高等代数》:学习笔记.doc
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1、高等代数(上):学习笔记这是我自学的笔记做成的电子档,其中有许多注释,尽量深入浅出,以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同,但意思是一样的,祝大家都能通过考试。第一章 行列式1.1 定义D=2314=24-31=5 A=23142314这是行列式(或写为|D|) 这是矩阵,注意区别a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3这是三元线性方程组D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a11a23a32-a12a
2、21a33-a13a22a31代数和右下斜线为正左下斜线为负3阶行列式偶排列,正号奇排列,负号1.2 逆序数逆序数 j1,j2, ,jnn阶排列,有n!个n阶排列判断逆序数的奇偶性1.3 n阶行列式的代数和D=a11a12a1na21a22a2n an1an2ann=j1,j2, ,jn-1j1,j2, ,jna1j1a2j2anjn1.4 行列式性质1、行列式转置值不变:DT=D2、k可以乘上某行(列):kDrowi3、加法:某行之和 展开为两行列式之和:Drow(a+b)=Drow(a)+Drow(b)4、互换两行(列):负号Drowirowk=-D5、两行相同(成比例):零值 Drowi
3、=krowk=06、某行乘以k加到另一行:值不变 Dkrowi+rowk=D所在行列的和(同等于逆序数)1.5 代数余子式余子式:删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式 Aij=(-1)i+jMij代数余子式n阶行列式 |D|=ak1Ak1+ak2Ak2+aknAkn k=1, 2, , n即展开第k行(列)表示所有可能的差 ij如:(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)1.6 范德蒙行列式|D|=1111a1a2a3ana12a22a32an2a1n-1a2n-1a3n-1ann-1=1jin(ai-aj)第二章 线性方程组2.1 克莱姆法则系数行列式 (b在1
4、列)D1=b1a12a13b2a22a23b3a32a33 D2、D3 类似左边 解集:xi=DiD (D0)该解法适用于n阶当D0时,方程组有唯一解:x1=D1D, x2=D2D, x3=D3D.(D0)只有当常数项b不全为零时,且s=n时才可用克莱姆法则2.2 消元法初等变换:反复对方程进行row变换,最后剩下一个上三角矩阵。如果线性方程组D0,则初等变换后的上三角矩阵,元首都不为0。2.3 数域 P:包含0、1且任意两个数的基本运算仍属于P。如实数R,有理数Q,复数Cn维基本向量组2.4 n维向量 =(a1, a2, a3, , an ) (1, 2, 3, 4, )=100001000
5、0100001数量乘积:k零向量:0负向量:-行向量与列向量:row(column)2.5 线性相关rank=n,有唯一解rankn,有无穷多解线性组合 =k11+k22+kss由向量组 线性表出线性相关充要k有解充要可线性表出充要系数矩阵r=增广矩阵r向量组等价:(1,2,n)互相线性表出(1,2,n)常数项为0的充要条件 k11+k22+kss=0线性相关有待更进一步补充线性无关K有解,且不全0K只有零解D0 D0 sns=n时不一定i都可被(1,2,n)线性表出i不能被(1,2,n)线性表出不可逆,因为分母不能为0可逆r0(半)负定矩阵:全()or02、其规范形的正惯性指数p=r3、有可
6、逆矩阵C,使二次型A=CTC4、二次型的特征值 i0 注:这和第1点是同一个概念5、所有的主子式 |M|0 注: 有的书称为顺序主子式,即从a11aii所构成的行列式值正定矩阵:即i0所有的主子式|M|0负定矩阵:即i0所有的奇阶主子式|M|0半正定矩阵:即i0半负定矩阵:即i0不定矩阵:即iort,则1,2,s线性相关如果1,2,s是线性无关,那么st10、在1,2,s中,部分向量组线性无关,但添加其余向量后线性相关,称极大线性无关组11、1,2,s都可由部分向量组(线性无关)线性表出,后者称极大线性无关组12、1,2,s中,每个i不能被1,2,i-1(即i前面向量组)线性表出,线性无关(i
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