试卷、试题—--2013年中考二次函数试题专题汇编全集.doc
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1、2013年中考二次函数试题专题汇编2013河北省24,9分)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在550之间,每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例,在营销过程中得到了表格中的数据,薄板的边长(cm)2030出厂价(元/张)5070(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得利润是26元(利润=出厂价-成本价)。求一张薄板的利润与边长这之间满足的函
2、数关系式。当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?(2013山东省滨州中考,24,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,4),O(0,0),B(2,0)三点(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值(2013贵州遵义,27, 分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,)(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;(2)在抛物线上求点P,使SPOA=2SAOB;(3)在抛物线上是否存在点Q,使AQO与AOB相似?如果存在,请求出
3、Q点的坐标;如果不存在,请说明理由解析:(1)根据函数经过原点,可得c=0,然后根据函数的对称轴,及函数图象经过点(3,)可得出函数解析式,根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标(2)根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2,代入函数解析式可得出点P的横坐标;(3)先求出BOA的度数,然后可确定Q1OA=的度数,继而利用解直角三角形的知识求出x,得出Q1的坐标,利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标答案:解:(1)由函数图象经过原点得,函数解析式为y=ax2+bx(a0),又函数的顶点坐标为(3,),解得:,故函数解析式为:y=x2x,由二次函数图象的对称
4、性可得点A的坐标为(6,0);(2)SPOA=2SAOB,点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2,代入函数解析式得:2=x2x,解得:x1=3+,x2=3,即可得满足条件的有两个,P1(3+,2),P2(3,2)(3)存在过点B作BPOA,则tanBAP=,故可得BOA=60,设Q1坐标为(x,x2x),过点Q1作Q1Fx轴,OABOQ1A,Q1OA=30,故可得OF=Q1F,即x=(x2x),解得:x=9或x=0(舍去),即可得Q1坐标为(9,3),根据函数的对称性可得Q2坐标为(3,3)点评:此题属于二次函数的综合题目,涉及了相似三角形的判定与性质,三角形的面积及一元二
5、次方程的解,综合性较强(2013呼和浩特,25,12分)(12分)如图,抛物线(a0)代入双曲线解析式得m=1抛物线过点A(2,2)、B(1,4)、O(0,0) 解得抛物线的解析式为y= x23x(2)抛物线的解析式为y= x23x顶点E,对称轴为x=B(1,4)x23x=4解得x1=1,x2= 4C(4,4)SABC=56=15由A、B两点坐标为(2,2),(1,4)可求得直线AB的解析式为:y= 2x2设抛物线对称轴与AB交于点F,则F点坐标为(,1)EF=SABE=SAEF+SBEF=3= (3)SABE=8 SABE=15当点D与点C重合时,显然满足条件。当点D与点C不重合时,过点C作
6、AB的平行线CD,其对应的一次函数解析式为y= 2x12令2x12=x23x解得x1=3,x2= 4(舍)当x=3时,y= 18存在另一点D(3,18)满足条件。【点评】(1)利用反比例函数求点的坐标,并求出抛物线的解析式。(2)中利用解析式求出各个点的坐标,再求三角形的面积。(3)利用同底等高的原理作出平行线,找出另一点并求坐标。(2013湖北武汉,23,10分)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED16米,AE8米,抛物线的顶点C到ED距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴y轴建立平面直角
7、坐标系,(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离(单位:米)随时间(单位:时)的变化满足函数关系(40)且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?解析:1、根据题意可得A,B,C,三点坐标分别为(-8,8)(,11)(8,8),利用待定系数法,设抛物线解析式为y=ax2+c,有,解方程组即可2、水面到顶点C的距离不大于5米,即函数值不小大于115,解方程即可解:1、依题有顶点的坐标为(,11),点的坐标为(8,8),设抛物线解析式为y=ax2+c有,解得抛物线解析式为y=x2+112、令11
8、5,解得t35,t2=3画出(40)的图像,由图像变化趋势可知,当335时,水面到顶点C的距离不大于5米,需禁止船只通行, 禁止船只通行时间为35332(时)答:禁止船只通行时间为32小时。点评:难度中等(2013湖北武汉,25,12分)如图1、点A为抛物线C1:y =的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C,(1)求点C的坐标;(2)如图1,平行于y轴的直线x3交直线AB于点D,交抛物线C于点E,平行于y轴的直线xa交直线AB于F,交抛物线C1于G,若FG:DE4:3,求a的值。(3)如图2将抛物线C向下平移m(m0)个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负
9、半轴于点M,交射线BC于点N,NQx轴于点Q,当NP平分MNQ时,求m的值。解析:1、求C点的坐标,可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式,联立直线与抛物线得到方程组,求解方程组即可;2、根据题意,DE的长度可求又FG:DE4:3,故可求FG=2即yF-yG=2,把xa代人两个函数解析式,用a表示F、G、纵坐标,得到关于a的方程即可;3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系,可设点M坐标为(t,0),根据待定系数法得抛物线C2解析式为y =,即P点坐标为(0,),又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为(2-t,2-2t ),从而有NMO=450,进而MN与y轴交点为T(0,-t),由特殊角三角
10、函数和线段和差有NT=(2-t),PT=-t+t2,又PN平分MNQ, NQTP 故MNP=PNQ=TPN ,PT=NT,即-t+t2=(2-t),从而求得t值,进而求得m.解:(1)当x=0时,y=, A(0,)设直线AB的解析式为y=kx+b,有,解得. 直线AB的 解析式为y=2x-2.由C点为直线与抛物线y =的交点,则点C的横、纵坐标满足解得 (舍) 点C的坐标为(4,6)(2)直线x3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。yD=4, yE=, DE= FG:DE4:3FG直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。yF=2a-2, yG=a2-2, FG=|2a-a2|=2解得a
11、1=2,a2=2+2,a3=2-2(3)解法一:设直线MN交y轴于T,过点N作NHy轴于点H。设点M坐标为(t,0),抛物线C2 的解析式为y =0= , y =点P坐标为(0,),点N是直线AB与抛物线y=x2-t2的交点,则点N的横,纵坐标满足解得 (舍去) 点N坐标为(2-t,2-2t )NQ=2-2t ,MQ=NQ, MOT, NHT均为等腰直角三角形,MO=NO,HT=HN,OT=t,NT=NH=(2-t),PT=-t+t2PN平分MNQ, NQTP MNP=PNQ=TPN PT=NT, -t+t2=(2-t), t1=-2,t2=2(舍去)-2-m=-t2=-(-2)2,m=2解法
12、二,设N坐标为(t,2t-2),抛物线C2的解析式为y=x2-2-m, 2t-2=t2-2-m点P坐标为(0,+2t-2)同解法一可得MNQ=450,PNQ=MNQ=22.50,过点P作PFNQ于点F,在FN上截取FJ=FP,连线JP,NJJPPFFJNF()PF,即(t-2)-(-t2+2t-2)=( +1)tt1=2+2,t2=0(舍去), m=t2-2t=2 m=2点评:本题以二次函数为背景,考察了待定系数法,函数与方程组,抛物线与直线所截线段长度的计算,特殊角的三角函数,平行线、角平分线的性质等相关知识,以及数形结合的数学思想,1、2问难度不大,2问学生需注意分类讨论,也可以对线段的长
13、度加绝对值达到分类讨论的效果;3问难度较大,学生不容易找到问题的突破口,学生可以先进行必要的计算,边算边找,只要找到NMQ=450,问题就较为明晰了。(2013湖南衡阳市,27,10)如图,A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q由A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O作匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ,若设运动时间为t(0t)秒答案如下问题:(1)当t为何值时,PQBO?(2)设AQP的面积为S,求S与t之间的函数关系式,并求出S的最大值;若我们规定:点P、Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2
14、),则新坐标(x2x1,y2y1)称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时,求“向量PQ”的坐标解析:(1)如图所示,当PQBO时,利用平分线分线段成比例定理,列线段比例式,求出t的值;(2)求S关系式的要点是求得AQP的高,如图所示,过点P作过点P作PDx轴于点D,构造平行线PDBO,由线段比例关系求得PD,从而S可求出S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数,利用二次函数求极值的方法求出S的最大值;本问关键是求出点P、Q的坐标当S取最大值时,可推出此时PD为OAB的中位线,从而可求出点P的纵横坐标,又易求Q点坐标,从而求得点P、Q的坐标;求得P、Q的坐标之后,代入“向量PQ”坐标的定义(x
15、2x1,y2y1),即可求解答案:解:(1)A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,OA=8,AB=10如图,当PQBO时,AQ=2t,BP=3t,则AP=103tPQBO,即,解得t=,当t=秒时,PQBO(2)由(1)知:OA=8,OB=6,AB=10如图所示,过点P作PDx轴于点D,则PDBO,即,解得PD=6tS=AQPD=2t(6t)=6tt2=(t)2+5,S与t之间的函数关系式为:S=(t)2+5(0t),当t=秒时,S取得最大值,最大值为5(平方单位)如图所示,当S取最大值时,t=,PD=6t=3,PD=BO,又PDBO,此时PD为OAB的中位线,则OD=OA
16、=4,P(4,3)又AQ=2t=,OQ=OAAQ=,Q(,0)依题意,“向量PQ”的坐标为(4,03),即(,3)当S取最大值时,“向量PQ”的坐标为(,3)点评:本题是典型的动点型问题,解题过程中,综合利用了平行线分线段成比例定理(或相似三角形的判定与性质)、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点第(2)问中,给出了“向量PQ”的坐标的新定义,为题目增添了新意,不过同学们无须为此迷惑,求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识(2013湖南省张家界市25题12分)如同,抛物线与轴交于C、A两点,与y轴交于点B,OB=4点O关于直线AB的对称点为D,E为线段AB的中点.(1) 分别求出
17、点A、点B的坐标(2) 求直线AB的解析式(3) 若反比例函数的图像过点D,求值.(4)两动点P、Q同时从点A出发,分别沿AB、AO方向向B、O移动,点P每秒移动1个单位,点Q每秒移动个单位,设POQ的面积为S,移动时间为t,问:S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时的t值,若不存在,请说明理由.yxBDPAQOC2【分析】(1)求抛物线与x轴的交点的横坐标,即求函数值为0时,x的值;(2)利用待定系数法可求;(3)求出D点的坐标,再代入反比例函数关系式即可求k值;(4)利用二次函数的最值求解.【解答】解:(1)令y=0,即-x2+x+2=0,解答x1=-,x2=2.C(-,0)
18、,A(2,0)(2)令AB为直线为y=k1x+2,点A(2,0)在直线上,0=K12+2,k1=-.AB的解析式为y=-x+2.(3)D点与O点关于AB对称,OD=OA=2.D点的横坐标为,纵坐标为3,即D(,3).因为y=过点D,3=,k=3.(3)AP=t,AQ=t,OQ=2-t.点P到OQ的距离为t.SOPQ=(2-t)t=-(t-2)2+.依题意,得0t4,当t=2时,S有最大值为.【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数,由函数及满足函数图象的点,求出相关点的坐标,然后用待定系数法,求出抛物线的解析式;再根据二次函数的最值求解问题 ( 2013年四川省巴中市,29,9)某种商
19、品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元),设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?【解析】根据题意,y=(60-50+x)(200-10x),整理得,y=10x2+100x+2000(0x12); 由 得y=-10x2+100x+2000=10(x-5)22250,当x=5时,最大月利润y为2250元。【答案】y=-10x2+100x+2000(0x12
20、) 当x=5时,最大月利润y=2250元【点评】本题是二次函数的应用问题,“最大利润问题”,根据题意准确的确定函数关系式是解决问题的关键.(2013山东日照,22,9分)如图,矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x秒,PBQ的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)求PBQ的面积的最大值.解析:先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式,然后运用公式法或配方法把函数化成顶点式,再根据x的取值范围求所得函
21、数的最大值,进而解决问题.解:(1)SPBQ=PBBQ, PB=ABAP=182x,BQ=x,y=(182x)x,即y=x2+9x(0x4); (2)由(1)知:y=x2+9x,y=(x)2 +,当0x时,y随x的增大而增大, 而0x4,当x=4时,y最大值=20,即PBQ的最大面积是20cm2.点评:本题考查了列函数关系式表示几何关系的能力以及二次函数的最值的求法,解题的关键是用x表示相关线段的长,然后关键三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式,难点是求函数的最大值.(2013广东肇庆,25,10) 已知二次函数图象的顶点横坐标是2,与轴交于A(,0)、B(,0),0,与轴交于点C,为坐标
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