第五章一元一次方程.doc
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1、七上第五章一元一次方程本章知识点梳理:(7-12次课)知识点1:方程的相关概念(0.5-1次课) 知识点2:解方程(1-2课时) 知识点3:特殊方程的解法(12课时) 知识点4: 等量关系认识及基础应用题(1课时) 知识点5:打折销售问题 (12课时) 知识点6:方案问题(1课时)知识点7:行程问题(12课时) 知识点8:其他应用题(0.5-1课时) 第一节 方程及一元一次方程的相关概念知识要点1:1。 方程:含有未知数的等式就叫做方程.注意未知数的理解,等,都可以作为未知数2一元一次方程:只含有一个未知数(元),并且未知数的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程。例如: 8+5x=18
2、, 2(y+1.5)=5等都是一元一次方程。3.判断一元一次方程的条件是方程。 只含有一个未知数未知数的指数是1 注意:1、分母中含有未知数的方程不是一元一次方程,是分式方程2、对于复杂方程必须经过化简,化简后符合一般形式的才是一元一次方程3、是字母,但不是未知数,是一个常数。典型例题例1:基本概念填空 方程:含有未知数的 叫做方程; 一元一次方程:在整式方程中,只含有 个未知数,并且未知数的次数是 ,系数不等于0的方程叫做一元一次方程;它的一般形式为 .例2:判定下列那些是方程,那些是一元一次方程?, , 练习: 下列方程 2(x+1)+3= 3(2x+5)-2(x1)=4x+6.一元一次方
3、程共有( )个。A.1B。2C。3D.4例2、 如果(m-1)xm +5=0是一元一次方程,那么m练习:1、若(a1)xa|36是关于x的一元一次方程,则a;x。拓展练习:若关于x的方程3(x-1)+a=b(x+1)是一元一次方程,则( ).Aa,b为任意有理数Ba0Cb0Db3知识要点2:1、方程的解:使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解2、解方程:求方程解的 叫做解方程。 注: 方程的解和解方程是两个不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。 方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右
4、两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论。3、一元一次方程解的情况:方程ax=b在不同条件下解的各种情况 时,方程有唯一解;时,方程有无穷解; 时,方程无解。典型例题例1、若x=1是方程k(x2)=2的解,则k= 例2、一个一元一次方程的解为2,请写出这个一元一次方程 。练习:1、已知3是关于x的方程mx+1=0的根,那么m= 2、已知方程3-9x+m=0的一个根是1,则m的值是 。 3、如果方程与方程是同解方程,则k= 。拓展练习:例3、方程的解与关于x的方程的解互为倒数,求k的值。例4、已知关于x的方程无解,则a的值是( ) A。1 B.-1 C.1 D。不等于1的数练习:1
5、、已知x=-1是关于x的方程的一个解,求的值.2、y=1是方程的解,求关于x的方程的解。知识要点3:1、等式定义:用等号“=”来表示 关系的式子叫等式。2、等式的基本性质性质(1):等式两边都加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式.用式子表示为:如果a=b,那么ac=bc。性质(2):等式两边同时乘以同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。 用式子表示为:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c0),那么 = 3、注意区分分数的基本性质要点诠释:分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数,分数的值不变。即:(其中m0)特别注意:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数
6、系数(特别是分母中的小数)化为整数,如方程: 将其化为: 。方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开.典型例题例1、已知等式,则下列等式中不一定成立的是( )(A) (B) (C) (D) 例2、下列说法正确的是()A、在等式ab=ac中,两边都除以a,可得b=c B、在等式a=b两边都除以c2+1可得C、在等式两边都除以a,可得b=c D、在等式2x=2a一b两边都除以2,可得x=a一b例3、将等式4x=2x+8变形为x=4,下列说法正确的是( )A、运用了等式的性质1,没有运用等式的性质2 B、运用了等式的性质2,没有运用等式的性质1C、既运用了等式的性质1,又运用等式的性质2 D、等式
7、的两条性质都没有运用练习:1、下列说法错误的是( ).A若,则x=y;B若x2=y2,则-4x2=4y2; C若x=6,则x=-;D若6=x,则x=6。2、下列说法正确的是( )A等式两边都加上一个数或一个整式,所得结果仍是等式;B等式两边都乘以一个数,所得结果仍是等式;C等式两边都除以同一个数,所以结果仍是等式;D一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加,所得结果仍是等式;3、已知等式ax=ay,下列变形不正确的是( ).Ax=yBax+1= ay+1 Cay=ax D3-ax=3-ay第二节 一元一次方程解法知识要点1:解一元一次方程的一般步骤常用步骤具体做法依据注意事项去
8、分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2防止漏乘(尤其整数项),注意添括号;去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号去括号法则、分配律注意变号,防止漏乘;移项把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边等式基本性质1移项要变号,不移不变号;合并同类项把方程化成axb(a0)的形式合并同类项法则计算要仔细,不要出差错;系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a, 等式基本性质2分子分母勿颠倒典型例题例1、系数化为1(1)解方程4x12;解:系数化为1,得x124,即x3。(2)解方程 6x36;解:系数化为1,得x36(-6) 即x6.练习:1.填空:(1)根据等式的性
9、质2,方程3x6两边除以3,得x;(2)根据等式的性质2,方程3x6两边除以3,得x;(3)根据等式的性质2,方程x6两边除以,得x;(4)根据等式的性质2,方程x6两边除以,得x;2。完成下面的解题过程:(1)解方程4x12;解:系数化为1,得x,即x。(2)解方程6x36;解:系数化为1,得x,即x.(3)解方程x2;解:系数化为1,得x,即x。(4)解方程x0;解:系数化为1,得x,即x。例2 合并同类项解方程(1)3x0。5x10。解:合并同类项,得.系数化为1,得。 (2)解方程3x4x2520.解:合并同类项,得.系数化为1,得.练习:解方程3x4x2520.解:合并同类项,得。
10、系数化为1,得.例3 移项解方程2x5258x.解:移项,得。合并同类项,得。系数化为1,得.练习:(1)x713移项得;(2)x713移项得;(3)5x7移项得;(4)5x7移项得;(5)4x3x2移项得;(6)4x23x移项得;(7)2x3x2移项得;(8)2x23x移项得;(9)4x30移项得;(10)04x3移项得.例4 去括号(1)解方程4x3(2x3)12(x4)。 解:去括号,得。移项,得。合并同类项,得。系数化为1,得. (2)解方程5x4(2x5)7(x5)4(2x1)。解:去括号,得 。移项,得.合并同类项,得.系数化为1,得.练习:(1)式子(x2)(4x1)去括号,得;
11、(2)式子(x2)(4x1)去括号,得;(3)式子(x2)3(4x1)去括号,得;(4)式子(x2)3(4x1)去括号,得.(5)完成下面的解题过程:解方程4x3(2x3)12(x4). 解:去括号,得.移项,得。合并同类项,得.系数化为1,得.(6)完成下列解题过程:解方程5x4(2x5)7(x5)4(2x1)。解:去括号,得.移项,得.合并同类项,得.系数化为1,得.(7)解方程6(x4)2x7(x1)。 例5 去分母1。填空:(1)6与3的最小公倍数是;(2)2与3的最小公倍数是; (3)6与4的最小公倍数是; (4)6与8的最小公倍数是。(5)2,10,5的最小公倍数是;(6)4,2,
12、3的最小公倍数是; (7)2,4,5的最小公倍数是; (8)3,6,4的最小公倍数是。2、解方程。解:去分母(方程两边同乘)得 .去括号,得。移项,得。合并同类项,得.系数化为1,得。3、解方程 2。解:去分母(方程两边同乘)得: 。去括号,得 .移项,得 。合并同类项,得。系数化为1,得。练习:1、(1)去分母,得;(2) 去分母,得;(3)去分母,得 ;(4) 去分母,得。(5)去分母,得;(6) 去分母,得;(7) 去分母,得;(8) 去分母,得.(9)2去分母,得;(10) x去分母,得;(11) x2去分母,得 .(12)去分母,得;(13)2去分母,得;(14) 1去分母,得。2、
13、解方程 .解:去分母(方程两边同乘)得。去括号,得。移项,得。合并同类项,得。系数化为1,得。3、 7; 。 第三节 特殊一元一次方程的解法例1、巧解含有绝对值的方程x2|30思路点拨:解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号,转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程,依据绝对值的意义,直接去绝对值符号,化为两个一元一次方程分别解之,即若xm,则xm或xm;也可以根据绝对值的几何意义进行去括号,如解法二。解法一:移项,得x23 当x20时,原方程可化为x23,解得x5 当x20时,原方程可化为(x2)3,解得x1。 所以方程|x2|30的解有两个:x5或x1。解法二:移项,
14、得|x2|3. 因为绝对值等于3的数有两个:3和3,所以x23或x23。 分别解这两个一元一次方程,得解为x5或x1.练习:=5 例2、运用拆项法解方程:思路点拨:注意到,在解有分母的一元一次方程时,可以不直接去分母,而是逆用分数加减法法则,拆项后再合并,有时可以使运算简便.解:原方程逆用分数加减法法则,得移项、合并同类项,得。得练习:解方程例3、利用整体思想解方程: 思路点拨:因为含有的项均在“”中,所以我们可以将作为一个整体,先求出整体的值,进而再求的值.解:移项通分,得:化简,得:移项,系数化1得:练习:例4:与其他知识结合的解方程1、已知,若,求的值;当取何值时,小;当取何值时,互为相
15、反数?2、已知A=2x5,B=3x+3,求A比B大7时的x的值.3、若(1-3x)2+=0,,则6+m2= .4、若与互为相反数,则a等于 5、若与是同类项,则x= 。6、 7、8、k取什么整数时,方程2kx-4=(k+2)x的解是正整数?9、小张在解方程(x为未知数)时,误将 - 2x 看成 2x 得到的解为 ,请你求出原来方程的解第四节 一元一次方程应用题(一)知识要点1:1、列一元一次方程解应用题的一般步骤1。 审:审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系2. 设:设未知数(可分直接设法,间接设法)3. 列:根据题意列方程4. 解:解出所列方程5. 检:检验所求的解是否符合题
16、意6. 答:写出答案(有单位要注明答案)2、常见的一些等量关系类型基本数量关系等量关系(1)和、差、倍、分问题较大量较小量多余量总量倍数倍量抓住关键性词语(2)等积变形问题变形前后体积相等(3)行程问题相遇问题路程速度时间甲走的路程乙走的路程两地距离追及问题同地不同时出发:前者走的路程追者走的路程同时不同地出发:前者走的路程两地距离追者所走的路程顺逆流问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度顺流的距离逆流的距离火车过桥(隧道)路程=桥长+火车车长路程=速度时间(4)打折销售问题售价=标价(原价)折数/10商品利润商品售价商品进价利润率100售价进价(1利润率)抓住价格升降对利润率的
17、影响来考虑(5)工程问题工作总量工作效率工作时间各部分工作量之和1(6)数字问题设十位上的数字、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10ab抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系(7)储蓄问题利息本金利率时间本息和本金利息本息和=本金本金利率时间(1利息税率)(8)按比例分配问题甲乙丙abc全部数量各种成分的数量之和(设一份为x)(9)日历中的问题每一行相邻两数,相差为1;每一列相邻的两数,相差为7日历中的数a的取值范围是1a31,且都是正整数典型例题:一、和、差、倍、分问题:例1:兄弟二人今年分别为15岁和9岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍? 解:设x年后,兄的年龄是弟的年龄
18、的2倍, 则x年后兄的年龄是15+x,弟的年龄是9+x 由题意,得2(9+x)=15+x 18+2x=15+x,移向得:2x-x=1518 x=3 答:3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍(点拨:3年的意义,并不是没有意义,而是指以今年为起点前的3年,是与3年后具有相反意义的量)练习:1、一个数的3倍比它的2倍多10,若设这个数为x,可得到方程_.2、 用一根长80厘米的绳子围成一个长方形,且这个长方形的长比宽多10厘米,则这个长方形的长和宽各是_、_。面积是_.3、某班学生为希望工程共捐款131元,比每人平均2 元还多35元,设这个班的学生有x人,根据题意列方程为_。二、等积变形题型1、用长7。2
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