初二竞赛辅导专题一：一元二次方程整数根问题.doc

个人收集整理 勿做商业用途专题一：一元二次方程整数根问题一. 利用判别式例1。当m是什么整数时,关于x的一元二次方程与的根都是整数。解：方程有整数根, =16-16m0，得m1又方程有整数根 得 综上所述，m1x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为x4x+4=0 没有整数解，舍去。而m0 m=1二. 利用求根公式例3（2000年全国联赛）设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解： 由求根公式得即 由于x1，则有两式相减，得即 由于x，x是整数,故可求得或或分别代入，易得k=，6,3.三. 利用方程根的定义例4。b为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b）x=（2b)(1+b） 当b2时,x=1+b，代入第一个方程,得 解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根。 b=1,相同的整数根是2四。利用因式分解(考试重点）例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数,那么符合条件的整数a有_个。解： 当a=1时,x=1 当a1时，原方程左边因式分解,得 （x-1）（a1)x+（a+1）=0即得 x是整数 1a=1，2, a=-1，0,2，3 由上可知符合条件的整数有5个.练习： 已知方程有两个不等的负整数根，则整数a的值是? m是什么整数时，方程(m2-1）x2-6(3m-1)x720有两个不相等的正整数根已知关于x的方程a2x2(3a28a)x2a213a15=0(其中a是非负整数）至少有一个整数根,求a的值六.构造等式例9。(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a，b，c,使得关于x的方程的所有的根都是正整数。解：设三个方程的正整数解分别为,则有 令x=1，并将三式相加，注意到x1（i=1，2,6），有 但 a1，b1,c1，又有 3-(a+b+c）0， 3(a+b+c）=0 故 a=b=c=1七.分析等式例10.(1993年安徽竞赛题） n为正整数，方程有一个整数根,则n=_。解：不妨设已知方程的整数根为，则整理.得因为为整数,所以为整数也一定是整数，要使为整数,必有由此得,即解得n=3或2（舍去） n=3.