第七章多元函数微分【高等数学】.doc

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第七章 多元函数微分学

一、内容分析与教学建议
（一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数,一方
面充实微分学,另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。
在教学方法上,在一元函数微分学基础上,通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。
（二） 多元函数、极限、连续
先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数,并引入多元函数极限,讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点方式的异同,可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则,运用连续性等.在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。
（三） 偏导数与全微分
1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数,通过例题说明,偏导与连续之关系,在偏导数的计算中,注意讲清分段函数分界点处的偏导数.
2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分,引入全微分的定义，并指出用定义判断可微，即求极限是否为。
3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。
（四） 复合函数求偏导
1、可先证明简单情形的全导数公式,画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形，,从中让学生理解口诀的含义.
2、通过例题说明各种公式,具体方法及符号正确运用；
3、通过教材中典型例题,细致讲解复合函数高阶偏导数的求法,这是个难点，并注意① 求导时，注意分析函数的各种关系；② 讲透符号，等之涵义.
（五） 隐函数求偏导
1、结合简单例子,讲解方程与函数之关系；
2、对于确定的隐函数存在定理，讲清三个条件和三个结论，再拓广介绍其它两种常见情形，其偏导数公式的证明，可只证部分结论；
3、用例题说明隐函数求偏导数之三种方法，公式法、复合函数法（直接法）、微分法，要让学生理解三种方法中各种变量之相互关系。
（六） 方向导数与梯度
从偏导数的概念拓广到方向导数概念,并指出与偏导数之关系，其次可通过具体应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。
（七） 多元函数微分学应用
1、几何应用：
（a） 通过割线及到切线概念,从而得到切线方程；
（b） 曲面上任一点处的任何曲线，若处切线均在一个平面上,从而引入切平面与法线概念，并导出切平面与法线方程，举例说明它们的应用;
（c） 可让学生复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。
2、极值
① 与一元函数类比，讲述二元函数极值的必要和充分条件；
② 求极值问题一般分为两种情况：a无条件条件; b条件极值。
从无条件极值到条件极值，自然地引入到“拉格朗日乘数法”，讲解时注意此方法的基本思想、方法及步骤，另外还可优化结合起来讲解.

二、补充例题
例1. 设,，,其中都具有一阶连续偏导数,且,求.
解： 分别求偏导数得：

(3)代入（2）
(3）代入（1）

例2. 设是由方程，确定的隐函数,其中有二阶连续偏导数，求.
解： 方程两边对求偏导
，

代入上式并整理得：

例3. 设直线: 在平面上，而平面与曲面相切于点，求，的值.
解： 在点处曲面法向量，于是切平面方程为：

即
由:

因而有：

例4. 已知椭球面，，①求椭球面上坐标为最大与最小点；②求椭球面的面上投影区域的边界曲线.
解: 由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上坐标最大与最小点一定存在，且此二点处值就是椭球面方程所确定隐函数的最大值与最小值。
椭球面方程两边分别对及求偏导:

令，，
解得：，,代入椭球的方程得到
故得两点 ，
由于椭球面确定存在坐标最大与最小的点,因此点与为所求。
② 设是椭球面对于面投影柱面与椭球面切于曲线，则在上，两曲面的法向量相同都为
由，，即
因此曲线满足
消去即的方程
故投影区域的边界曲线为：
例5. 设生产某种产品必须投入两种要素和分别为两要素的投入量，为产出量，若生产函数为,其中，为正常数,假设两种要素的价格分别为,，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少要可以使得投入总费用最小?
解: 需要在产出量的条件下，求总费用的最小值，为此作拉格
朗日函数

由（1）,（2）得：
故，代入（3），
因此
由于此实际问题存在最小值,且驻点唯一,故当， 时，投入总费用最少.
例6. 设，其中具有二阶连续偏导数，求，.
解：

例7. 设，是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求。
解: 分别在方程的两边对求导得：

即 ,
例8 求下列极限
① ②
③ ④
解： ① 原式
② 令，当,
原式
③ 原式
④ ，，不妨设，，则
得:,由于
所以原式
例9 设，都是有连续的二阶偏导数

试求:。
解：

例10 设函数在点处可微，且，，, ,求。
解：

三、补充练习
1、证明不存在。
2、设而，求，及.

3、设，其中是具有二阶连续偏导数,求。

4、设，其中是具有二阶连续偏导数,求。

5、设,求.
6、设，,求和.

7、求曲面上平行于平面的切平面方程.

8、考察函数在点处是否连续？偏导数是否存在？是否可微?
(连续，，,不可微)
9、求函数的极值。
（极大值点）
10、求内接于半径为的球且有最大体积的长方体。