因式分解练习题加标准答案-200道.doc

因式分解3a3b2c－6a2b2c2＋9ab2c3＝3ab^2 c(a^2-2ac+3c^2)
3.因式分解xy＋6－2x－3y＝(x-3)(y-2)
4.因式分解x2(x－y)＋y2(y－x)＝(x+y)(x-y)^2
5.因式分解2x2－(a－2b)x－ab＝(2x-a)(x+b)
6.因式分解a4－9a2b2＝a^2(a+3b)(a-3b)
7.若已知x3＋3x2－4含有x－1的因式，试分解x3＋3x2－4＝(x-1)(x+2)^2
8.因式分解ab(x2－y2)＋xy(a2－b2)＝(ay+bx)(ax-by)
9.因式分解(x＋y)(a－b－c)＋(x－y)(b＋c－a)＝2y(a-b-c)
10.因式分解a2－a－b2－b＝(a+b)(a-b-1)
11.因式分解(3a－b)2－4(3a－b)(a＋3b)＋4(a＋3b)2＝[3a-b-2(a+3b)]^2=(a-7b)^2
12.因式分解(a＋3)2－6(a＋3)＝(a+3)(a-3)
13.因式分解(x＋1)2(x＋2)－(x＋1)(x＋2)2＝-(x+1)(x+2)
abc＋ab－4a＝a(bc+b-4)
(2)16x2－81＝(4x+9)(4x-9)
(3)9x2－30x＋25＝(3x-5)^2
(4)x2－7x－30＝(x-10)(x+3)
35.因式分解x2－25＝(x+5)(x-5)
36.因式分解x2－20x＋100＝(x-10)^2
37.因式分解x2＋4x＋3＝(x+1)(x+3)
38.因式分解4x2－12x＋5＝(2x-1)(2x-5)
39.因式分解下列各式：
(1)3ax2－6ax＝3ax(x-2)
(2)x(x＋2)－x＝x(x+1)
(3)x2－4x－ax＋4a＝(x-4)(x-a)
(4)25x2－49＝(5x-9)(5x+9)
(5)36x2－60x＋25＝(6x-5)^2
(6)4x2＋12x＋9＝(2x+3)^2
(7)x2－9x＋18＝(x-3)(x-6)
(8)2x2－5x－3＝(x-3)(2x+1)
(9)12x2－50x＋8＝2(6x-1)(x-4)
40.因式分解(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4)＝(x+2)(2x-1)
41.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝ (x+1)(2ax-3)
42.因式分解9x2－66x＋121＝(3x-11)^2
43.因式分解8－2x2＝2(2+x)(2-x)
44.因式分解x2－x＋14 ＝整数内无法分解
45.因式分解9x2－30x＋25＝(3x-5)^2
46.因式分解－20x2＋9x＋20＝(-4x+5)(5x+4)
47.因式分解12x2－29x＋15＝(4x-3)(3x-5)
48.因式分解36x2＋39x＋9＝3(3x+1)(4x+3)
49.因式分解21x2－31x－22＝(21x+11)(x-2)
50.因式分解9x4－35x2－4＝(9x^2+1)(x+2)(x-2)
51.因式分解(2x＋1)(x＋1)＋(2x＋1)(x－3)＝2(x-1)(2x+1)
52.因式分解2ax2－3x＋2ax－3＝(x+1)(2ax-3)
53.因式分解x(y＋2)－x－y－1＝(x-1)(y+1)
54.因式分解(x2－3x)＋(x－3)2＝(x-3)(2x-3)
55.因式分解9x2－66x＋121＝(3x-11)^2
56.因式分解8－2x2＝2(2-x)(2+x)
57.因式分解x4－1＝(x-1)(x+1)(x^2+1)
58.因式分解x2＋4x－xy－2y＋4＝(x+2)(x-y+2)
59.因式分解4x2－12x＋5＝(2x-1)(2x-5)
60.因式分解21x2－31x－22＝(21x+11)(x-2)
61.因式分解4x2＋4xy＋y2－4x－2y－3＝(2x+y-3)(2x+y+1)
62.因式分解9x5－35x3－4x＝x(9x^2+1)(x+2)(x-2)
63.因式分解下列各式：
(1)3x2－6x＝3x(x-2)
(2)49x2－25＝(7x+5)(7x-5)
(3)6x2－13x＋5＝(2x-1)(3x-5)
(4)x2＋2－3x＝(x-1)(x-2)
(5)12x2－23x－24＝(3x-8)(4x+3)
(6)(x＋6)(x－6)－(x－6)＝(x-6)(x+5)
(7)3(x＋2)(x－5)－(x＋2)(x－3)＝2(x-6)(x+2)
(8)9x2＋42x＋49＝(3x+7)^2 。
1．若(2x)n−81 = (4x2+9)(2x+3)(2x−3)，那么n的值是( B )
A．2 B． 4 C．6 D．8
2．若9x2−12xy+m是两数和的平方式，那么m的值是( B )
A．2y2 B．4y 2 C．±4y2 D．±16y2
3．把多项式a4− 2a2b2+b4因式分解的结果为( D )
A．a2(a2−2b2)+b4 B．(a2−b2)2
C．(a−b)4 D．(a+b)2(a−b)2
4．把(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2分解因式为( C )
A．( 3a−b)2 B．(3b+a)2
C．(3b−a)2 D．( 3a+b)2
6．已知x，y为任意有理数，记M = x2+y2，N = 2xy，则M与N的大小关系为( B )
A．M>N B．M≥N C．M≤N D．不能确定
7．对于任何整数m，多项式( 4m+5)2−9都能( A )
A．被8整除 B．被m整除
C．被(m−1)整除 D．被(2n−1)整除
9．下列变形中，是正确的因式分解的是( D )
A． 0.09m2− n2 = ( 0.03m+ n )( 0.03m−n)
B．x2−10 = x2−9−1 = (x+3)(x−3)−1
C．x4−x2 = (x2+x)(x2−x)
D．(x+a)2−(x−a)2 = 4ax
10．多项式(x+y−z)(x−y+z)−(y+z−x)(z−x−y)的公因式是( A )
A．x+y−z B．x−y+z C．y+z−x D．不存在
11．已知x为任意有理数，则多项式x−1−x2的值( )
A．一定为负数
B．不可能为正数
C．一定为正数
D．可能为正数或负数或零
二、解答题：
分解因式：
(1)(ab+b)2−(a+b)2
(2)(a2−x2)2−4ax(x−a)2
(3)7xn+1−14xn+7xn−1(n为不小于1的整数)
答案：
一、选择题：
1．B 说明：右边进行整式乘法后得16x4−81 = (2x)4−81，所以n应为4，答案为B．
2．B 说明：因为9x2−12xy+m是两数和的平方式，所以可设9x2−12xy+m = (ax+by)2，则有9x2−12xy+m = a2x2+2abxy+b2y2，即a2 = 9，2ab = −12，b2y2 = m；得到a = 3，b = −2；或a = −3，b = 2；此时b2 = 4，因此，m = b2y2 = 4y2，答案为B．
3．D 说明：先运用完全平方公式，a4− 2a2b2+b4 = (a2−b2)2，再运用两数和的平方公式，两数分别是a2、−b2，则有(a2−b2)2 = (a+b)2(a−b)2，在这里，注意因式分解要分解到不能分解为止；答案为D．
4．C 说明：(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2 = (a+b)2−2(a+b)[2(a−b)]+[2(a−b)]2 = [a+b−2(a−b)]2 = (3b−a)2；所以答案为C．
6．B 说明：因为M−N = x2+y2−2xy = (x−y)2≥0，所以M≥N．
7．A 说明：( 4m+5)2−9 = ( 4m+5+3)( 4m+5−3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．
9．D 说明：选项A，0.09 = 0.32，则 0.09m2− n2 = ( 0.3m+n)( 0.3m−n)，所以A错；选项B的右边不是乘积的形式；选项C右边(x2+x)(x2−x)可继续分解为x2(x+1)(x−1)；所以答案为D．
10．A 说明：本题的关键是符号的变化：z−x−y = −(x+y−z)，而x−y+z≠y+z−x，同时x−y+z≠−(y+z−x)，所以公因式为x+y−z．
11．B 说明：x−1−x2 = −(1−x+x2) = −(1−x)2≤0，即多项式x−1−x2的值为非正数，正确答案应该是B．
二、解答题：
(1) 答案：a(b−1)(ab+2b+a)
说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a)．
(2) 答案：(x−a)4
说明：(a2−x2)2−4ax(x−a)2
= [(a+x)(a−x)]2−4ax(x−a)2
= (a+x)2(a−x)2−4ax(x−a)2
= (x−a)2[(a+x)2−4ax]
= (x−a)2(a2+2ax+x2−4ax)
= (x−a)2(x−a)2 = (x−a)4．
(3) 答案：7xn−1(x−1)2
说明：原式 = 7xn−1 •x2−7xn−1 •2x+7xn−1 = 7xn−1(x2−2x+1) = 7xn−1(x−1)2．
因式分解之十字相乘法专项练习题
(1)a2－7a+6； (2)8x2+6x－35；
(3)18x2－21x+5； (4) 20－9y－20y2；
(5)2x2+3x+1； (6)2y2+y－6；
(7)6x2－13x+6； (8)3a2－7a－6；
(9)6x2－11x+3； (10)4m2+8m+3；
(11)10x2－21x+2； (12)8m2－22m+15；
(13)4n2+4n－15； (14)6a2+a－35；
(15)5x2－8x－13； (16)4x2+15x+9；
(17)15x2+x－2； (18)6y2+19y+10；
(19) 2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2； (20)7(x－1) 2+4(x－1)－20；
(1)(a-6)(a-1)， (2)(2x+5)(4x-7)
(3)(3x-1)(6x-5)， (4)-(4y-5)(5y+4)
(5)(x+1)(2x+1)， (6)(y+2)(2y-3)
(7)(2x-3)(3x-2)， (8)(a-3)(3a+2)
(9)(2x-3)(3x-1)， (10)(2m+1)(2m+3)
(11)(x-2)(10x-1)， (12)(2m-3)(4m-5)
(13)(2n+5)(2n-3)， (14)(2a+5)(3a-7)
(15)(x+1)(5x-13)， (16)(x+3)(4x+3)
(17)(3x-1)(5x=2)， (18)(2y+5)(3y+2)
(19)(3a-b)(5b-a)， (20)(x+1)(7x-17)
　例1 分解因式
思路1 因为
所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。
解法1因为所以可设

比较系数，得
　　由①、②解得把代入③式也成立。
　　∴
　　思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。
　　解法2 因为所以可设

　　因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得
令得
　　解①、②得或
　　把它们分别代入恒等式检验，得
　　∴
　　说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

例2 分解因式
　　思路 本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。
　　解 设

　　　由恒等式性质有：
　　由①、③解得代入②中，②式成立。
　　∴
　　说明 若设原式
　　由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。
思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可考虑利用恒待式的性质。
解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得
　　　　　　　　　　　　解得
　　故所求的二次三项为
　　思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。
　　解法2 由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
　　把代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为即
　　说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。
例4 已知多项式的系数都是整数。若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
　　思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。
　　证明：设 （m,n,r都是整数）。
　　比较系数，得

　　因为是奇数，则与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。
在①式中令，得②
　　由是奇数，得是奇数。而m为奇数，故是偶数，所以是偶数。这样②的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。
　　因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。
　　说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。
例5 已知能被整除，求证：
　　思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。
　　证明：设展开，比较系数，得

　　由①、②，得，
　　代入③、④得：，
　　∴
例6若a是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。
　　思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。
　　解：由待定系数法可解得

　　由于a是自然数，且 是一个质数，
　　∴
　　解得
　　当时，不是质数。
当 时，是质数。
∴=11 .
1、分解因式_______.
2、若多项式能被 整除，则n=_______
.2、-4。
提示：设原式
　　　　　　=
　　比较系数，得

　　由①、②解得
　　代入③得
3、二次三项式当 时其值为-3，当 时其值为2，当 时其值为5 ，这个二次三项式是_______.
4、m, n是什么数时，多项式能被整除？
5、多项式 能分解为两个一次因式的积，则k=_____.
6、若多项式 能被整除，则_______.
7、若多项式当2 时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。
8、求证：不能分解为两个一次因式的积。
参考答案或提示：
1.
　　提示：设原式

　　比较两边系数，得

　　由①、②解得
　　将 代入③式成立。
　　∴原式

　　3、
　　提示：设二次三项式为
　　把已知条件代入，得

　　　　　　　　　　解得
　　∴所求二次三项式为
　　4.
　　设

　　比较系数，得

　　　　　　　　　 解得
　　∴当m=-11，n=4已知多项式能被整除。
　　5.-2
　　提示：设原式
　　　　　　　　.
　　比较系数，得

　　　　　　　　　 解得
　　6.-7
　　提示：设原式

　　比较系数，得

　　　　　　　　　　解得
　　∴
　　7.3.
　　提示：设原式

　　比较系数，得

　　　　　　　　　　解得c=3.
　　∴当x=3时，多项式的值也是0.
　　8.设原式且展开后比较系数，得

　　由④、⑤得代入③，再由①、③得将上述入②得.而这与③矛盾，即方程组无解。故命题得证。

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