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数学试题一元二次方程
一。选择题(每小题3分,共30分)1。(2012•兰州市)某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m,设花圃的宽为xm,则可列方程为【 】
A．x(x－10）＝200 B．2x＋2(x－10)＝200 C．x(x＋10)＝200 D．2x＋2(x＋10）＝200
2。（2012•桂林)关于x的方程x2－2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【 】
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜－1 D．k＞－1
3。(2012•常德市）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 ( ）
A. B. C. D。
4.（2012娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ）
A． 289（1﹣x)2=256 B． 256（1﹣x）2=289 C． 289(1﹣2x)=256 D． 256(1﹣2x）=289
5。（2012荆门)用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是（ )
A．(x－1)2＝4 B．(x＋1）2＝4 C．（x－1)2＝16 D．（x＋1)2＝16
6.(2012•株洲）已知关于x一元二次方程两根分别为，b与c值分别为（ ） A. B. C。 D．
7。(2012•烟台市）下列一元二次方程两实数根和为-4的是（ ）
A.x2+2x—4=0 B。x2-4x+4=0 C。x2+4x+10=0 D。x2+4x-5=0
8.（2012•成都）一件商品原价是100元,经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是，根据题意,下面列出的方程正确的是（ )
A． B． C． D．
9.（2012•南充）方程x(x—2)+x-2=0的解是（ ) A。2　 B-2,1　C.－1 D。2，－1
10.(2012台湾)若一元二次方程式x2－2x－3599＝0的两根为a、b，且a＞b，则2a－b之值为（ ）
(A) －57 （B) 63 (C） 179 (D） 181
二、填空题（每小题3分,共24分)
11。(2012•资阳）关于方程有两个不相等实数根，则k取值范围是 ．
12.（2012滨州）方程x（x﹣2）=x的根是 ．
13。（2012•德州）若关于x方程有实数解，那么实数a取值范围____．
14。(2012•广州)已知关于x一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等实数根，则k值为　．
15.(2012•上海)关于方程（是常数）没有实根,那么取值范围是 ．
16.(2012•铜仁）一元二次方程的解为____________;
17。(2012张家界市）已知的两根，则 .
18.（2012湖北随州)设,且，则=____。
三、解答题：（共66分)19．（7分） （2012•兰州）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．

20. (8分)(2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m）,现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

21. （8分）（2012，湖北孝感)已知关于x的一元二次方程x2+（m+3)x+m+1=0．（1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2）若x1,x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．

22。 （9分）（2012南京市）某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0。1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0。5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万。(1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元;（2）如果汽车的售价为28万元/辆,该公司计划当月盈利12万元,那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）

23．(10分）（2012绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定"中的一道思考题,进行了认真的探索。【思考题】如图，一架2。5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0。7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么点B将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米,即BB1=x，则B1C=x+0。7，A1C=AC,AA1=
而A1B1=2.5,在Rt△A1B1C中,由得方程 ，解方程得x1= ，x2= ，∴点B将向外移动 米。（2)解完“思考题”后,小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0。4米”改为“下滑0.9米”,那么该题的答案会是0.9米吗?为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离,有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题.

24. (12分)（2012四川内江）如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2,那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 （n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；(2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；（3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．

25. （2012•临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．(1）如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2,当b＞2a时,点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；(提示：若∠BMC=90°，。）（3)如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．(12分）

参考答案
一。选择题（每小题3分，共30分)
CABAA DDCDD

二、填空题(每小题3分，共24分）
11、 且 12、x1=0,x2=3． 13、 14、3 15、

16、 17、- 18、－32

19、解：∵x2－2x＋1＝0，
∴x1＝x2＝1,
原式＝÷＝•＝，
∴当x＝1时，原式＝．

20、解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25,
故x1=10（不合题意舍去)，
答：可以围成AB的长为15米,BC为20米的矩形

21、【解析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根,只要证明判别式△=b2﹣4ac的值大于0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是—(m+3),两根的积是(m+1），结合即可求出m的值，进而可求得方程的两个根．
【答案】解：（1)证明:因为△=（m+3）2—4（m—1)=（m+1)2+4．
∵无论m取何值时，（m+1)2+4的值恒大于0,
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=-(m+3),x1x2=m+1，∵；∴，
∴（x1+x2)2-4x1x2=8，∴［-（m+3）］2-4(m+1）=8,∴m2+2m—3=0，
解得：m1=—3，m2=1．
当m=-3时,原方程化为：x2-2=0，解得：．
当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别、求根以及根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1x2的值，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和,把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

22、解析:用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.
答案：（1）27—(3-1)×0。1=26.8.
（2)设销售汽车x辆，则汽车的进价为27-（x—1）×0。1=27.1-0.1x万元，
若x≤10，则（28-27。1+0。1x）x+0.5x=12
解得x1=6,x2=-20(不合题意，舍去)
若x>10,则(28-27.1+0。1x）x+x=12
解得x3=5（与x>10舍去),x4=—24(不合题意，舍去）
公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.
23、考点：勾股定理的应用；一元二次方程的应用.
解答：解：（1)，故答案为；0。8，﹣2.2（舍去），0。8。
（2）①不会是0。9米，若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4﹣0。9=1。5,B1C=0。7+0。9=1。6，
1。52+1。62=4.81，2.52=6。25∵，
∴该题的答案不会是0。9米。②有可能.
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，
则有，解得：x=1.7或x=0(舍）
∴当梯子顶端从A处下滑1。7米时，点B向外也移动1。7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等。
24、【解析】（1）首先由材料知道如果一个一元二次方程的两根是x1,x2，那么这个方程可以表达为x2－（x1＋x2)x＋x1x2＝0，然后根据条件用含m，n的式子表示出x1＋x2，x1x2代入即可．(2）观察发现a，b可能相等，也可能不相等．当它们相等时,，的值都等于1；当它们不相等时，a,b可以理解为是关于x的方程x2－15x－5＝0的两个根，然后对＋通分，利用完全平方公式变形，再整体代入求解．（3)由a＋b＋c＝0，abc＝16，得a＋b＝－c，ab＝，构造以a，b为根的一元二次方程,然后利用根的判别式△≥0构造不等关系求解．
【答案】解:（1）设x2＋mx＋n＝0 (n≠0）的两根为x1,x2．
∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴＋＝＝－，·＝．
∴所求一元二次方程为x2＋＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0．
（2）当a≠b时,由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，
∴a＋b＝15，ab＝－5．
∴＋＝＝＝＝－47．
②当a＝b时，＋＝1＋1＝2．∴＋＝－47或2．
（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c,ab＝．
∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的两根．∴△＝c2－≥0．
∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4．
【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式,难度较大．数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求，此题在这种情况下以阅读题的形式命制，为学生铺设好解决问题所需要的知识和方法,可以有效考查学生的学习能力，灵活应用能力,具有一定的区分度．

25、(1)证明：∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°,∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．
（2）解：存在,理由：若∠BMC=90° ,设AM=x，则，整理得:x2－bx＋a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2－4a2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意,
∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°.
（3）解:不成立．理由：
若∠BMC=90°，由(2)可知x2－bx＋a2=0，∵b＜2a，a＞0，b＞0,
∴△=b2－4a2＜0，∴方程没有实数根，
∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立