初中一元二次方程习题.doc

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第三讲 一元二次方程及其应用
【例题精讲】
例1 求证：当m取任何实数时，一元二次方程有两个不相等的实数根．

例2 解方程:（1)； （2）.

例3 判断下列方程有无实数解：
（1）；（2)；（3）．
A
B
C
D

例4如图，在矩形ABCD中，已知3AB=2BC,并且AB、BC
的长是方程的两个根，求k的值．

例5关于的方程的两个实数根为、,且,求的值.

【试题精选】
一、 填空题
1．若二次三项式x2＋4x＋k在实数范围内可以分解为两个一次式的积，则k的取值范围是______．
2．如果关于x的二次三项式x2＋kx＋k＋3是一个完全平方式，那么k的值为__________。
3．如果抛物线y=－x2－3x＋ｃ的顶点在x轴的上方，那么c的取值范围是___________.
4．如果关于x的方程kx2－2（k－1）x＋k－1= 0有实数根，那么k的取值范围_________．
5．方程组(x＜y)的解是__________．
6．将方程化为整式方程是___________________.
7．方程的解是________。
8．将方程化为两个二元一次方程是_____________________.
9．若方程无实数根，则m的取值范围是_________.
10．若2x2-5x＋-5＝0,则2x2-5x-1的值为_________．
11．已知是方程组的解，那么m的值是________。
12．如果关于x的一元二次方程2x2＋3x＋5m＝0的两个实数根都小于1，那么实数m的取值范围是______．
二、选择题
13．下列方程中，有实数解的方程是（ ）
(A); (B)； （C）； （D）．
14．若一元二次方程2x2-6x＋3＝0的两根为a 、b ,则（a -b ）2的值为(　）
（A）24 (B)18 （C）6 （D）3
15．下列判断中正确的是( ）
（A）方程有无数个解；
（B）方程是无理方程;
(C）方程组的解是方程组的解；
(D）是分式方程．
16．已知：关于x的一元二次方程x2—(R＋r）x＋d2＝0无实数根，其中R、r分别是
⊙O1、⊙O2的半径,d为此两圆的圆心距,则⊙O1，⊙O2的位置关系为（ 　）
　(A）外离 (B）相切　 　（C）相交 （D）内含
三、解答题
17．若关于的方程的一个根为，且，求的值.

18．已知方程的两个实根的平方和为13，求的值．

19．若方程没有实数根，求证方程一定有两个不相等的实数根．
20． 已知方程2x2＋3x－4 = 0，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的平方．

21． 关于x的方程的两根分别为a、b，如果点C（a，b)在直线上。 求的值.

22．关于x的一元二次方程（2m—1)x2—4mx＋m＋3＝0的两个实数根绝对值相等，求m的值．

22． 已知:关于x的方程的两个实数根为、，关于y的方程的两个实数根为、．求、m的值．

23． 关于x的方程 (a+c）x2＋bx－（a+2c）=0的两根之和为1，两根的平方和为2．求a:b：c．

24．已知方程x2＋ax＋ｂ= 0的两个根的比是3：4，方程根的判别式的值等于2，求这个方程的两个根．

25． 如果、是一元二次方程的两个根,且二次函数的图象经过点（，）、(，）、（1，1），求、、的值．

26． 已知关于的方程,且.证明:这个方程有两个不相等的实数根;证明:这个方程的两根中，有一个比大,另一个比小．

27．如图所示，某小区居民筹集资金1600元，计划在一块上下底分别为10米,20米的梯形空地上种植花木．
（1）他们在ΔAMD和ΔBMC地带上种植太阳花，单价为8元，当ΔAMD地带种满花后，共花160元，请计算ΔBMC地带种花所需费用；
(2）若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择,单价分别为12元和10元，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？

（第32题）

28．A、B两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行,2小时相遇;相遇后，各以原来速度继续行驶，甲车到达B地立即原路返回，返回时的速度是原来的2倍，结果甲乙两车同时到达A地，求甲车的原速度和乙车的速度．

29．某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收获，收获时，先随意采摘了5株果树上的脐橙称的每株果树上的脐橙重量如下：（单位：千克）　35，35，34，39，37．
　　（1)根据样本平均数估计这年脐橙的总产量约是多少?
　　(2）各市场上脐橙售价为每千克5元，则这年该农户脐橙收入是多少元？
（3）已知该农户第一年卖脐橙收入为5500元，估计第二年、第三年卖脐橙收入的平均增长率是多少？

30．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元．设矩形一边为x米，面积为S平方米．
　　(1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围;
　　（2）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形,请你按要求设计，并计算出可获得的设计费约是多少元？(精确到元）
　　（参考资料:若矩形的长为a，宽为b，且满足a2＝b(a＋b)，则称这样的矩形为黄金矩形；≈2。2）)

参考答案：
1．解：（1)设矩形的另一边长为y，则由2x＋2y＝12，得y＝6—x，
　　∴　S＝xy＝x（6—x）＝—x2＋6x ，（0＜x＜6)．
　　(3)设计此矩形的长为x米,宽为y米，则有解得
　　(x＝-3—3不合题意，舍去)
　　∴　当矩形的长为x＝3-3时，此矩形为黄金矩形．
　　此时S＝xy＝(3—3)（9-3）＝36（—2），
　　∴　可获得设计费为：36（-2)1000＝7200（元）．
2．设甲车的原速度为x千米/时，乙车的原速度为y千米/时,则
　　解得
3．解:∵　方程有两个不相等的实数根，∴　Δ＞0，
　　Δ＝4—4(2-m）＝4m—4＞0，∴　m＞1．
　　例如：取m＝2,则有x2＋2x＝0，配方，得（x＋1）2＝1，解得x1＝—2，x2＝0
4．(1）1584千克　（2)7920元　(3)20%
5．由a＝2m-1≠0，∴　m≠　　　　　　　　　 ①
　　Δ＝16m2—4(2m-1)（m＋3）＝8m2-20m＋12≥0，
　　∴　1≥m或m≥ ②
　　∵　｜x1｜＝|x2｜，分两种情况：
（1）若两根同号，则x1＝x2，
∴　Δ＝0，得m1＝1,m2＝ ③
　　(2)若两根异号，则x1＋x2＝0，x1·x2＜0，
　　即
　　∴　m＝0 ④
　　由①②③④得：m＝0，1,