公式法解一元二次方程.doc

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7。3。5 用公式法解一元二次方程
教学目标
(一）教学知识点
1．一元二次方程的求根公式的推导
2．会用求根公式解一元二次方程
（二）能力训练要求
1．通过公式推导,加强推理技能训练,进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
（三）情感与价值观要求
1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
教学重点
一元二次方程的求根公式．
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac≥0
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张
第一张：复习练习（记作投影片§2．3 A)
第二张：试一试（记作投影片§2．3B)
第三张:小亮的推导过程（记作投影片§2．3 C)
第四张：求根公式(记作投影片§2．3 D)
第五张：例题（记作投影片§2．3 E）
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入课题
[师］我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片§2．3 A）
1．用配方法解方程2x2—7x+3＝0．
[生甲]解：2x2—7x+3＝0，

两边都除以2,得x2-x+＝0．
移项，得；x2—x=—．
配方,得x2—x+（-)2＝—+（—)2．
两边分别开平方，得
x—＝±
即x—=或x-=—．
∴x1=3，x2=．
[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．（出示投影片§2．3 B）试一试，肯定行:
1．用配方法解下列关于x的方程：
（1)x2+ax＝1；(2)x2+2bx+4ac＝0．
[生乙］(1）解x2+ax＝1，
配方得x2+ax+()2＝1+（)2，
(x+）2=．
两边都开平方，得
x+＝±,
即x+＝，x+=—.
∴x1=， x2＝
[生丙](2)解x2—2bx+4ac＝0，
移项，得x2+2bx＝-4ac．
配方，得x2-2bx+b2＝-4ac+b2，
（x+b）2=b2-4ac．
两边同时开平方，得
x+b＝±,
即 x+b＝，x+b＝-
∴x1=—b+，x2＝-b—
[生丁]老师,我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b）2＝b2-4ac．根据平方根
的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b2—4ac≥0时，才可以用开平方法解出x来．所以，在这里应该加一个条件：b2—4ac≥0．
[师］噢，同学们来想一想,讨论讨论，戊同学说得有道理吗？
［生齐声]戊同学说得正确．因为负数没
有平方根，所以，解方程x2+2bx+4ac＝0
时,必须有条件：b2-4ac≥0，才有丁同学求
出的解．否则，这个方程就没有实数解．
［师]同学们理解得很正确,那解方程x2+ax＝1时用不用加条件呢?
［生齐声]不用．
［师］那为什么呢?
［生齐声］因为把方程x2+ax＝1配方变形为（x+）2= ，右边就是一个正数，所以就不必加条件了．
［师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0）,得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多．
这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．
Ⅱ．讲授新课
[师]刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax2+bx+c＝0(a≠0)呢？
大家可参照解方程2x2—7x+3＝0的步骤进行．
[生甲]因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程两边都除以二次项系数a，得
x2+ =0．
[生乙]因为这里的二次项系数不为0,所以，方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以a时，需要说明a≠0．
［师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到:二次项系数不为0，所以无需特殊说明，而方程ax2+bx+c＝0(a≠0）的两边都除以a时，必须说明a≠0．
好,接下来该如何呢?
［生丙］移项，得x2+
配方，得x2+，
(x+。
［师］这时，可以直接开平方求解吗？
［生丁］不，还需要讨论．
因为a≠0,所以4a2>0．当b2-4ac≥0时,就可以开平方．
［师］对，在进行开方运算时,被开方数必须是非负数，即要求≥0．因为4a2>0恒成立，所以只需b2—4ac是非负数即可．
因此，方程(x+)2＝的两边同时开方，得x+=±.
大家来想一想，讨论讨论:
±=±吗？
……
［师］当b2—4ac≥0时，
x+=±=±
因为式子前面有双重符号“±"，所以无论a〉0还是a〈0，都不影响最终的结果：±
所以x+=±，
x=-±
=

好,我们来看小亮的推导过程．(出示投影片§2．3 C）
ax2+bx+c=0(a≠0）

x2+=0

x2+

x=
这样,我们就得到一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式：
x= （b2—4ac≥0）,
即(出示投影片§2．3 D)
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0
（a≠0）,当b2—4ac≥0时,它的根是
x=
［师］用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(Solving by formular)
由此我们可以看到：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0）的根是由方程的系数a、b、c确定的．因此，在解一元二次方程时,先将方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提条件下,把各项系数a、b、c的值代入，就可以求得方程的根．
注：（1）在运用求根公式求解时，应先计算b2—4ac的值；当b2-4ac≥0时，可以用公式求出两个不相等的实数解;当b2—4ac＜0时，方程没有实数解．就不必再代入公式计算了．
(2)把方程化为一般形式后，在确定a、
b、c时,需注意符号．
接下来，我们来看一例题．(出示投影片§2．3 E）
［例题］解方程x2-7x-18＝0．
分析：要求方程x2-7x—18＝0的解，需先确定a、b、c的值．注意a、b、c带有符号．
解：这里a＝1，b＝—7，c＝—18．
∵b2-4ac=(—7）2-4×1×（—18）
＝121＞0,
∴x=，
却x1＝9，x2＝-2．
[师]好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．
［师生共析]其一般步骤是：
(1）把方程化为一般形式，进而确定a、b,c的值．(注意符号)
（2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根）
(3）在b2—4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出的值，最后写出方程的根．
［师］接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法．
Ⅲ．课堂练习
(一）课本P57随堂练习 1、2
1．用公式法解下列方程：
(1)2x2—9x+8＝0；（2)9x2+6x+1＝0．
解：(1）这里a＝2，b＝—9，c＝8．
∵b2-4ac=(-9)2—4×2×8
＝17>0,
∴x=
目x1= ,x2＝
（2)这里a＝9，b＝6,c＝1．
∵b2—4ac＝62—4×9×1＝0，
∴x=
即x1＝x2=—,
2．一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长．
解:设中间的数为x,则另外两数为
x—2,x+2．根据题意，得
（x+2)2＝（x—2)2+x2．
整理,得x2—8x=0．
解这个方程，得
x1＝0，x2＝8．
因为直角三角形的边长为正数，所以x1＝0应舍去．因此，这个直角三角形的三条边长分别为6,8，10．
(二)看课本P56～P57，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法——公式法．
（1）求根公式的推导，实际上是“配方"与“开平方”的综合应用．对于a≠0,b2—4ac≥0。以及由a≠0，知4a2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理．
（2）应用求根公式解一元二次方程,通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c的数值以及计算b2—4ac的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程．
Ⅴ．课后作业
（一)课本P58习题2．6 1、2
(二)1．预习内容;P59～P61
2．预习提纲
(1)如何利用因式分解法解一元二次方程
Ⅵ．活动与探究
1．阅读材料，解答问题：
阅读材料：
为解方程(x2-1）2—5(x2-1)+4＝0,我们可以将（x2-1）视为一个整体，然后设x2—1＝y,则(x2—1）2＝y2，原方程化为y2-5y+4=0． ①
解得y1=4,y2＝1．
当y1＝4时，x2—1＝4，
∴x2＝5，∴x=±．
当y＝1时，x2-1＝1,
∴x2＝2，∴x=±．
∴原方程的解为x1＝，x2＝-，
x3= ，x4=-。
解答问题：
(1)填空：
在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程x4—x2-6＝0．
［过程］通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解
决问题的能力．
[结果]
解:(1）换元 转化
（2)设x2＝y,则x4=y2，
原方程可以化为y2—y—6＝0．
解得y1=3,y2＝-2．
当y1=3时，x2＝3，∴x＝±．
当y2＝-2时，x2=-2，此方程无实根．
∴原方程的解为x1＝,x2＝-．
板书设计
§ 2．3 公式法
一、解：2x2—7x+3＝0，
两边都除以2，得
x2-=0．
移项，得
x2—。
配方，得
x2-
（x—.
两边分别开平方,得
x—,
即x- 或x—。
∴x1=3，x2=．
二、求根公式的推导
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业