一道椭圆质检试题的拓展探究.pdf
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1、2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究17一道椭圆质检试题的拓展探究甘肃省兰州市第六中学(730060)焦永垚摘要本文将一道椭圆质检试题推广到一般情形,揭示了试题所蕴含的一般规律,并通过类比拓展,得到了双曲线和抛物线中的相关结论.关键词 探究;定值;结论;共轭直径1 试题呈现例 1 已知 F1(c,0),F2(c,0)为椭圆 E 的两个焦点,A为椭圆 E 上异于左、右顶点的任意一点,AF1F2的周长为6,面积的最大值为3.(1)求椭圆 E 的方程;(2)直线 AF1与椭圆 E 的另一个交点为 B,与 y 轴的交点为 M.若 MA=1 AF1,MB=2 BF1,试问:1+2是否为定值?并
2、说明理由.该题为遵义市 2024 届高三第一次质量检测统考第21 题,第(1)问椭圆 E 的方程为x24+y23=1;第(2)问1+2=83为定值.第(2)问的结论在一般的椭圆中还成立吗?若成立,则把左焦点 F1改为 x 轴上的任一定点时,结论还成立吗?如果成立,能否把 x 轴上的定点推广到更一般的情形?结论能否类比推广到双曲线和抛物线中?下面我们进行探究.2 拓展探究经探究,结论在一般的椭圆中仍然成立:结论 1 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0),过椭圆E 的左焦点 F1的直线 l 与 E 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点M.若 MA=1 AF1,MB=2 BF1,则 1
3、+2=2a2b2为定值.还可以将结论 1 中的左焦点 F1推广为 x 轴上异于左、右顶点的任一定点.结论 2已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0),过点 P(m,0)(m=a)的直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 M.若 MA=1 AP,MB=2 BP,则1+2=2a2m2 a2为定值.证明当直线 l 与 x 轴重合时,点 M 与原点重合,设 A(a,0),B(a,0),则 1=am+a,2=am a,则1+2=2a2m2 a2.当直线 l 不与 x 轴重合时,设直线 l 的方程为x=ty+m(t=0),则M(0,mt).联立直线l 与椭圆E 的方程可得(a
4、2+b2t2)y2+2b2tmy+b2(m2 a2)=0,于是1+2=2 mty1mty2=2 m(y1+y2)ty1y2=2 2b2tm2a2+b2ttb2(m2 a2)a2+b2t2=2a2m2 a2.综上所述,1+2=2a2m2 a2为定值.类比结论 2,可得双曲线和抛物线中的类似结论:结论 3已知双曲线 E:x2a2y2b2=1(a 0,b 0),过点 P(m,0)(m=a)的直线 l 与双曲线 E 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 M.若 MA=1 AP,MB=2 BP,则1+2=2a2m2 a2为定值.证明过程与结论 2 类似,略.结论 4已知抛物线 E:y2=2px(p 0)
5、,过点P(m,0)(m=0)的直线 l 与抛物线 E 交于 A,B 两点,与直线x=s(m=s)交于点M.若 MA=1 AP,MB=2 BP,则 1+2=m+sm为定值.点评与总结此类问题其实是前三类问题的综合和深化,例 9 是特殊零点的关系问题,例 10 和案例 11 都是由零点组成的多元函数的最值或取值范围问题.求解的根本策略仍然是数形结合,但在求解的最后一步即多元函数的最值或取值范围问题时,我们需要寻找这些零点的等量关系,从而采取消元技巧化为一元函数来求目标函数的最值或范围.结束语函数零点的个数判断、零点分布及参数范围是高考的热点,常以压轴题形式出现,我们需要引起足够重视.处理零点问题,
6、首先我们需要准确理解函数零点的定义;其次我们要能将零点问题进行转化与化归,即:方程 f(x)=0有实数根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点的横坐标 函数 y=f(x)有零点;最后对应上面四类零点问题,有的放矢,相信我们一定可以克服函数的零点问题.18中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)证 明设 直 线 l 的 方 程 为 x=ty+m(t=0),则 M(s,s mt).联立直线 l 与抛物线 E 的方程可得y2 2pty 2pm=0,由 0 可得 pt2+2m 0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2pt,y1y2=2pm.又由 MA=1 AP 和 MB=
7、2 BP 可得 1=1+s mty1,2=1+s mty2,于是1+2=2+s mty1+s mty2=m+sm.3 探究延伸以上探究还可以联想到希腊数学家阿波罗尼斯在巨著圆锥曲线论 中提出的关于圆锥曲线的直径的概念1:考察椭圆的一组平行的弦,阿波罗尼斯证明了这组弦的中点都在一条直线 AB 上,称 AB 为椭圆的直径.过 AB 的中点 O 作直线 CD 平行于原来的那组弦,CD 将平分所有平行于 AB 的弦,CD 叫做 AB 的共轭直径.一般地,也称弦AB 与弦 CD 互为共轭直径,又叫做阿波罗尼斯共轭直径.若曲线为双曲线,某弦的直径是一条过中心的直线,或是共线的两条射线(去掉两端点);若曲线
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