![点击分享此内容可以赚币 分享](/master/images/share_but.png)
数学奥林匹克问题 (1).pdf
《数学奥林匹克问题 (1).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学奥林匹克问题 (1).pdf(5页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、LNAP交AM于点P.证明:ZNOP设AKM的外心为W,过点N作WN的垂线ADMK为平行四边形.延长MO交AK于点N点K,使得四边形BC的中点为M.取OO,过点A作OO的切线交直线BC于点D,高8 11如图1,设锐角ABC的外接圆中等数学62数学奥林匹克问题本期问题高8 0 9设ABC的三边分别为a、b、c,半周长为s.求证:1a1L-COSAAs-a1-sin2其中,表示轮换对称和。高8 10记S=1,2,2024.对于任意2024个和为1的一组非负实数,2,12 0 2 4则这2 个数满足条件.但由于其中前2-12-m+1个数都小于,至多改进为2 n-m,后2-1元个数都小于无法改进,只能
2、去掉,因此,所元得到的数之和不超过2 -m(2-1)2,故结论不成立。以下证明几=3符合题意.2不妨设题目的2 个正实数都小于32(否则,若有某数大于则将其改进为2 ,3其他数全部去掉即可),将它们记为j,2,22不妨设a,a,.a,+1323当r+12时,可将a,改进为2,其中33a;a,2,则S2+2.从而去掉2 后剩下的数之和至少为2 .因此必存在一个时刻,去掉某个2 后剩下的数之和恰好为2 .这表明,一开始将每个;(u+12)改进成2,并去掉aja2,a,,可使所得到的数之和为2 .综上,所求几的最小值为3.(何忆捷华东师范大学数学科学学院,上海市核心数学与实践重点实验室,2 0 0
3、2 41)2023年第5期63KNAWP0BDMC图1高8 12若函数f:N+N满足f(n)=kn(n E N+,x 表示不超过实数的K2+1k=1最大整数).若正奇数t使得f(t+1)-f(t)=2,试证明t必为素数,上期问题解答高8 0 5已知集合N=1,2,nl,M=10,1,m-1),其中m、n 为正整数,且m3.集合N的所有子集构成的集合族为,映射f:M满足下列条件:对于中的任意两个元素A、A,均有f(AUA)+f(ANA)=f(A)+f(A).若当f()=0,1,2 时,映射的个数分别为uo(n,m)u(n,m)u(n,m),证明:2 uz(n,m)=2u,(n,m-1)+nu,(
4、n-1,m-1)+nuo(n-1,m-2).证明由数学归纳法可得对于集合N中的任意t个不同的元素,5,i,均有f(li,i,it)=f(it)+f(i)+.+f(lit)-(t-1)f(O).反之,若式成立,则对于任意的A、A,E,设A=li,iz,ijinjz,j,A=li,iz,i,h,ka,.,it,且AnA=li,i,it,AUA=li,i,.,i,j.,j,k,k其中ts、l 为非负整数(例如当s=0时,A=1i,5,it).则 f(A,UA2)+f(A,n A2)=f(ih)+f(ih)+f(it)+f(jib)+f(jzl)+.+f(djb)+f(hi)+f(h,)+.+f(ik
5、,t)-(t+s+l-1)f(O)+f(lit)+f(i)+.+f(lit)-(t-1)f(O)=f(ih)+f(ih)+.+f(i)+f(jib)+f(ijzh)+.+f(tj.t)-(t+s-1)f(O)+f(it)+f(ih)+f(il)+f(hh)+f(ikzb)+.+f(ih,t)-(t+l-1)f(O)=f(A)+f(A).由式知当f(),f(1h),f(2h),f(inh)确定后,映射也就完全确定了.为了方便起见,设f(i)=x,(i=1,2,.,n),则x,EM.(1)当f()=0 时,式为f(ti,i,.,ith)=x+x,+.+x,则f(N)最大.于是,f(M)=xi+x2
6、+.+x,m-1.设xn+1=m-1-(+x2+.+x,).则x+为非负整数.于是不定方程xj+x2+.+x,+xa+I=m1的非负整数解的个数Cn就是满足f(O)=0的映射f的个数uo(n,m).因此,uo(n,m)=Cn+m-I(2)当f(0)=1时,式为f(ii,i,it)=x,+x,+.+x,-(t-1).若在x,x2,x,中至少有两个为0,不妨假设x;=x,=0(ij,且ijE1,2,nl).于是,f(ijl)=x;+x,-1=-1,矛盾.因此,在x,X2,,X中至多有一个为0.若对于所有的i=1,2,n,均有x,1,则对于集合N的不含元素i的任意子集X,由f(XUii)=f(X)+
7、x;-1f(X),知 f(M)最大.于是,f(N)=xj+x2+.+x,-(n-1)m-1=(xj-1)+(2-1)+.+(x-1)m-2.64中等数学设 x;=x;-1(i=1,2,n),=m-2-(x+x2+.+x,)n+1则+为非负整数.于是不定方程x+x2+.+x+xn+1=m-2的非负整数解的个数为Cn+m-2.因此,满足f(O)=1的映射f的个数为Cnn+m-2若存在一个iE1,2,nl,使得x,=0,不妨假设x=0.对于集合N的不含元素1的任意子集X,由f(XU/1)=f(X)+x-1=f(X)-1,知f(NV1)最大.于是,f(N/1)=x2+xg+.+x,-(n-2)m-1(
8、2-1)+(xg-1)+.+(x,-1)m-2.设x;=x;-1(i=2,3,n),1=m-2-(x+x+.+x)n+1则x+为非负整数.于是不定方程2+x+.+x+xn+1=m-2的非负整数解的个数为Cn-13.因此,满足2+m-3.f()=1的映射f的个数为Cr-m-3分别对于x2=0,x=0,,x=0,均可得到满足f()=1的映射于的个数为Cn-mn+m-3因此,满足f()=1的映射的个数u;(n,m)=Ch+nm-2+ncr-mn+m-3(3)当f(O)=2时,式为f(i,i,it)=x,+x,+.+x,-2(t-1).特别地,f(ij)=x;+x;-20.(i)若对于所有的i=1,2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学奥林匹克问题 1 数学 奥林匹克 问题
![提示](https://www.zixin.com.cn/images/bang_tan.gif)
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。