一道解析几何模拟题的命制过程与反思.pdf
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1、46中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)一道解析几何模拟题的命制过程与反思*广州市第四中学(510170)刘运科摘要文章呈现了利用 GeoGebra 命制一道解析几何模拟题的过程,包括:来源、改编、加工、研讨、研制答案等,最后进行了试题评析与命题反思.关键词 解析几何;模拟题;试题命制;GeoGebra1 问题的来源在“2023 年广东省普通高中课程教学改革学科组长示范培训”活动的一次讲座上,华东师大鲍建生教授提到一个“骑自行车趣题”:一辆自行车的前、后轮在一个椭圆上,当自行车沿椭圆骑行一周时,前后轮与地面接触点的连线(假设长度为 a)所扫过的面积是多少?鲍建生教授对此问题的分析在此
2、不表,笔者关注的是如何将此问题改编成高考模拟题.2 利用 GeoGebra 改编这个问题的数学情境,是椭圆的定长的动弦扫过的面积.利用 GeoGebra 作图,可以发现:当弦长较小时,动弦扫过的图形看上去像是一个椭圆环(下左图);当弦长较大时,动弦扫过的图形比较怪异(下右图).如果直接考查动弦扫过的面积,显然要求过高;可以降低要求,只考查动弦上的一个点(如,中点)的轨迹.由此,得到一个新的数学问题:求椭圆的定长动弦的中点的轨迹.3 加工笔者先研究了一般情况,求得椭圆x2a2+y2b2=1 的长度为 m 的动弦的中点的轨迹方程是:4(a4y2+b4x2)(a2y2+b2x2a2b2)+a2b2m
3、2(a2y2+b2x2)=0.为了使得轨迹方程尽量简单,避免运算太过繁琐,笔者将a,b,m 设计为 a=2,b=1,m=2,这样,得到的是轨迹方程是 x4+6x2y2+8y4 4y2=0,曲线是一个漂亮的“8”字,题目初具雏形:求椭圆 E:x22+y2=1 的长度为 2 的动弦的中点的轨迹方程.干知识为支柱的知识网络,同时也要敢于打破不同知识领域知识的壁垒,敢于创新,互相融合.如在代数的复习中要融入图形与几何问题;在图形与几何的复习中加入函数、方程与不等式等代数推理方法,扩大知识与方法的联系点.中考备考时必须多角度、多方向地研究分析,而不是让学生去做大量模仿式、死记硬背的习题.3.3 备考培优
4、指向素养,在精在变,在归纳在反思中考具备立德树人、服务选才、导向教学的功能,2023 年广东卷的命题充分显示了义务教育课程的教育目标,体现先进的教育理念与国家意志,培养社会主义建设者和接班人.因此今后中考培优备考在精在变,课堂以典型问题为载体,设置培优微专题引导学生进行回顾与反思,充分发挥问题的价值.从多角度启发学生进行解题联想,要重视一题多解,更要重视一题多问、一题多变;设置开放性问题、条件或结论探索问题,激发学生学习数学的兴趣.另外解题后要及时复盘,通过错题本收集错因与改正笔记,有针对性进行总结归纳,进行个性化的解题技巧、方法、模型的总结.教师更要培养学生阅读理解、获取信息、数学抽象、数学
5、表达与推理等方面的能力,培养学生会用数学眼光观察现实世界,会用数学的思想思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界.参考文献1 义务教育数学课程标准(2022 年版)M.北京:北京师范大学出版社,2022.2 史宁中,曹一鸣.义务教育数学课程标准(2022 年版)的解读 M.北京:北京师范大学出版社,2022.3 鄢坚,林经武,李霞.根植于基础,立足于能力,着眼于素养2022年福建省中考数学试卷评析与思考 J.数学之友,2022,36(12):88-90+93.4 普通高中数学课程标准(2017 年版)M.北京:人民教育出版社,2018.5 朱威.立足教材 关注积累 强化应用 提升素养2020
6、年浙江省湖州市数学中考试卷评析和教学启示 J.初中数学教与学,2021,No.455(11):1-4.*本文是广州市教育科学规划 2022 年度课题 信息技术赋能下的高中学科深度教学策略研究(202214289)阶段性研究成果.2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究474 再加工如果仅仅求轨迹,考查的内容太少,对于能力弱的考生,又太难,对于能力强的考生,作为压轴题难度又不够,有必要前后各设计一个问题.为此,增加第一问:已知椭圆的离心率为22,短轴长为 2,求椭圆的方程.最后一问考查什么好呢?笔者陷入了沉思.长度已经考查了,可以考虑考查面积;但是,求得的曲线不是常见的曲线,高中生无法求出
7、曲线围成的面积.利用 GeoGebra 作图,观察发现曲线恰在两个圆的外部,就计出了第三问:证明曲线围成的面积大于4(两圆的面积之和恰为4).完整试题如下:例 1 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为22,短轴长为 2.()求椭圆 E 的方程;()设 AB 是椭圆 E 的弦,且|AB|=2,当 AB 在椭圆E 上运动时,(i)求 AB 的中点 M 的轨迹方程;(ii)设点 M 的轨迹所围成的封闭图形的面积为 S,证明:S 4.5 制定前两问答案第()问答案为x22+y2=1,较简单,略.第()问的第(i)小问,消参有一定难度,参考答案如下:(i)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M
8、(x0,y0).1当直线 AB 的斜率不存在时,注意到弦长恰等于短轴长,显然点 M 的坐标为 M(0,0).2当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 方程:y=kx+m,由y=kx+mx22+y2=1得(2k2+1)x2+4kmx+2(m21)=0,点 M 是 AB 的中点,故 x0=x1+x22=2km2k2+1,y0=kx0+m=m2k2+1,两式相除,整理得 k=x02y0,k2=x204y20(y0=0).弦 AB 的长度为 2,即2=1+k2|x1 x2|=1+k28(2k2+1 m2)2k2+1.平方,整理得 1=2(1+k2)12k2+1(m2k2+1)2,将 k2=x204y
9、20、m2k2+1=y0代入上式,得1=2(1+x204y20)(2y20 x20+2y20y20),整理得 x40+6x20y20+8y40 4y20=0(y0=0).由1,M(0,0)也符合上式.综上,点 M 的轨迹方程为 x4+6x2y2+8y4 4y2=0.6 研讨曲线的特征笔者把题目也同时发给了科组几位青年教师,请大家做一做此题,再进行交流,经过各自独立研究 30 分钟后,大家纷纷发表看法.老师 A:如果不借助电脑软件,基本上不可能作出方程 x4+6x2y2+8y44y2=0 所表示的曲线,更不可能求出其围成的封闭图形的面积.我一开始猜想图形可能是椭圆,用 GeoGebra 作图后,
10、发现图形好像是两个椭圆.学生想不出图形,也不会椭圆的面积公式,这一问超出了高中的知识范围.老师 B:我们遇到一个陌生的曲线方程,有一些研究的基本策略.例如,能否考虑对称性?能否描几个特殊的点?能否求出横、纵坐标的取值范围?根据这三个策略,我们应该可以得到一些启示.对于方程 x4+6x2y2+8y4 4y2=0,发现用 x,y 替换 x,y,方程不变,故 M 的轨迹曲线既关于坐标轴对称,又关于原点对称,从而只需研究第一象限内的图形;容易描出三个特殊点:(0,0),(0,22),(0,22).将方程化为 x2(x2+6y2)=4y2(1 2y2),则 4y2(1 2y2)=x2(x2+6y2)0,
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