一次函数与三角形面积问题探析.pdf
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1、2024 年第 2 期(下)中学数学研究35一次函数与三角形面积问题探析*西安交通大学附属中学(710048)曹 艳摘要 一次函数作为函数的起始单元,是初中阶段学习的重要内容,对日后函数的学习有着重要的启示和铺垫作用.一次函数与三角形面积是一次函数应用的重要内容,是数形结合、分类讨论等数学思想的重要载体.本文探究一次函数背景下的三角形面积问题.关键词 一次函数;三角形面积;探究1 问题初探已知一次函数 y=2x+4 的图象如图 1 所示.(1)求图象与坐标轴所围成的 AOB 的面积;(2)若点 P 是直线 y=2x+4 上一个动点,且满足SAOP=12SAOB,试确定点 P 的坐标.三角形的面
2、积公式是什么呢?S=12 底 高,所以我们只要确定三角形的底和高便可轻松求解.(2)与(1)是互逆的,我们首先要画出草图,表示出 AOP 的面积,然后才能进一步求解点 P 的坐标.这里要注意,由线段得点的坐标是要分类讨论的,千万不要漏解哦.解:(1)由 y=2x+4 易得 A(2,0)、B(0,4),因此AOB 面积为 4.(2)设点 P(xp,yp),SAOP=12OA|yp|=2,由OA=2 可得|yp|=2,故 yp=2.点 P 在直线 y=2x+4上,故 P(1,2)或者 P(3,2),如图 2 所示.通过上面问题的分析,一次函数与三角形面积问题的解题思路大致两种:1由函数解析数求得点
3、的坐标,从而确定三角形底和高的长度,求出三角形面积;2根据三角形的面积列出底和高的关系,由线段长度分类讨论得到点的坐标,最后确定函数解析式.这两个思路是互逆的,一定要注意数形结合与分类讨论.2 自主探究已知一次函数 y=2x+4 的图象如图 1 所示.探究 1若点 P 是 x 轴上一个动点,且满足 SBOP=12SAOB,试确定点 P 的坐标.探究 2若点 P 坐标为(2,m),且满足 SABP=12SAOB,试确定直线 BP 的解析式.探究 1,如图 3,此时点 P 的坐标为(1,0)或者(1,0),不能漏解哦!探究 2,确定哪条边为三角形的底是解决这个问题的关键.由于 AP 恰好与 y 轴
4、平行,我们选 AP 当底能很大程度上减少题目的计算量.已知点 P(2,m),得SABP=12AP 2=2,AP=2,点 P 的坐标为(2,2)或(2,2),故直线 BP 的解析式为 y=x+4 或 y=3x+4,如图 4.可以看到,ABP 是三条直线围成的三角形.下面我们进一步探究两条直线与坐标轴围成的三角形面积,以及三条直线所围成的三角形面积问题.3 深入探究已知一次函数 y=2x+4 的图象如图 5 所示.若直线l 经过点 C(0,1),且与该图象交于点 D(1,m),与 x 轴交于点 E.(1)求直线 CD 的解析式和点 E 的坐标;(2)图中都有哪些三角形?你能求出它们的面积吗?(3)
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