受媒体报道影响的SEIAQRS传染病模型分析.pdf

2024 年 第 45 卷 第 1 期（总第 213 期）Vol.45 No.1 2024（Sum No.213）中 北 大 学 学 报（自然科学版）JOURNAL OF NORTH UNIVERSITY OF CHINA（NATURAL SCIENCE EDITION）受媒体报道影响的SEIAQRS传染病模型分析王美艳，薛亚奎（中北大学 数学学院，山西 太原 030051）摘 要：为深入了解新型冠状病毒肺炎的传播机制，建立了具有媒体报道和隔离的SEIAQRS传染病模型。利用基本再生数Rc讨论了平衡点的存在性与稳定性。当Rc1时，存在唯一的局部渐近稳定的地方病平衡点。分析了模型参数（有症状感染者的隔离率）、p（有症状感染者的恢复率）和m0（媒体报道系数）对基本再生数的影响，发现隔离有症状感染者、提高有症状感染者的恢复率和加大常态化宣传传染病知识的媒体报道，能降低基本再生数Rc。最后，通过数值模拟验证了媒体报道和有效隔离能减少感染人数，进而有效控制新型冠状病毒肺炎的传播。关键词：媒体报道；传播率；隔离；SEIAQRS传染病模型中图分类号：O175 文献标识码：A doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2024.01.010引用格式：王美艳，薛亚奎.受媒体报道影响的SEIAQRS传染病模型分析 J.中北大学学报（自然科学版），2024，45（1）：74-82.WANG Meiyan，XUE Yakui.Analysis of SEIAQRS epidemic model effected by media coverage J.Journal of North University of China（Natural Science Edition），2024，45（1）：74-82.Analysis of SEIAQRS Epidemic Model Effected by Media CoverageWANG Meiyan，XUE Yakui（School of Mathematics，North University of China，Taiyuan 030051，China）Abstract：A SEIAQRS infectious disease model with media coverage and isolation is established to understand the transmission mechanism of COVID-19.The existence and stability of equilibrium point are discussed by using the basic regeneration number Rc.When Rc1，there is a unique locally asymptotically stable endemic disease equilibrium.The effects of model parameters（isolation rate of symptomatic infected persons），p（recovery rate of symptomatic infected persons）and m0（media coverage coefficient）on the basic regeneration number are analyzed.It is obtained that isolating symptomatic infected persons，improving the recovery rate of symptomatic infected persons and increasing the media coverage of regular dissemination of infectious disease knowledge can reduce the basic regeneration number Rc.Finally，through numerical simulation，media coverage and effective isolation can greatly reduce the number of infected people，and thus effectively control the spread of COVID-19.Key words：media coverage；transmission rate；isolation；SEIAQRS epidemic model0引 言当传染病在人群中暴发时，人类对其反应取决于他们对风险的认知，而这种认知受媒体报道的影响16。媒体报道有利于人们对风险程度和风险地区预防需求的了解，使得带口罩人数增加、公共场所文章编号：1673-3193（2024）01-0074-09收稿日期：2022-10-19基金项目：国家自然科学基金资助项目（11971278）；山西省自然科学青年基金资助项目（201801D221040）作者简介：王美艳（1996-），女，硕士生，主要从事生物数学研究。通信作者：薛亚奎（1970-），男，教授，博士，主要从事生物数学研究。Email：。（总第 213 期）受媒体报道影响的SEIAQRS传染病模型分析（王美艳等）人员密集度降低等，进而助力于疫情管控。广泛的媒体报道和信息的快速流动会对公众产生深刻的心理影响78，比如易感个体产生警觉，避免与受感染个体发生不必要的接触，感染个体自觉隔离、取消行程等。因此，媒体报道可以降低人类接触率和传播概率，许多学者使用动力学模型来描述传染病传播过程中媒体报道发挥的作用910。在传染病传播动力学建模的研究中，发病率函数的选取极其重要，因为它决定了传染病11的流行趋势。在许多传染病模型中，双线性发病率SI和标准发病率SI N常被用来表征传染病的发病率，其中，表示传染病的传播率。然而，这些发病率函数没有考虑媒体报道对传染病传播的影响12。考虑到媒体报道，Cui 等9，13采用函数e-mI来描述媒体影响因素，提出了一种新的传播速率函数。然而，当I时，e-mI0，其值与m无关，这是不合理的。Liu等4建立了透射系数为e-(1E+2I+3H)的EIH模型，其中H表示住院患者，观察到感染可能多次爆发和持续性的周期波动，而描述这种指数递减因子的影响是很难实现 的。Cui 等13提 出 一 种 接 触 率(I)=c1-c2f(I)，以反应媒体报道对传染病传播的影响，其中，c1是不考虑媒体报道的接触率。Huo等14通过将信息集设置成一个单独的仓室M，并使用指数函数SIe-M作为传播率，其中，是媒体报道影响疾病传播程度的因子。Sahu等15建立了流行模型，以e-m1I+m2HNS(I+H)N作为疾病的传播期，提出了一种媒体感知系数m的估计方法。本文建立了一种传播率为e-m1I+m2A+m0NNS(I+A)N的 SEIAQRS 模型，其中，m0表示常态化宣传传染病知识的媒体报道系数。该模型相比传统的SEIR模型增加了无症状感染者（A）和隔离者（Q），同时，本文考虑了疾病的复发，即移出者（R）会再一次变为易感者（S）。本模型的隔离对象是感染者而非易感者，相比Shi等16提出的隔离易感者，防疫更具有针对性，该模型更符合新型冠状病毒肺炎传播的实际情况，对于有效预防和控制新型冠状病毒肺炎的传播有着重要的作用。1SEIAQRS模型构建将传染病传播区域的总人数分为易感者（S）、潜伏者（E）、有症状感染者（I）、无症状感染者（A）、隔离者（Q）、移出者（R），其中N=S+E+I+A+Q+R。根据病毒的传播机理，构建了具有媒体报道影响的SEIAQRS传染病传播动力学模型，即dSdt=-S-e-m1I+m2A+m0NNS(I+A)N+2R，dEdt=e-m1I+m2A+m0NNS(I+A)N-(+1+)E，dIdt=(1-)E-(1+p)I，dAdt=E-(+1+)A，dQdt=I+A-(+2)Q，dRdt=1A+2Q+pI+1E-(+2)R，（1）式中：表示易感者的常数输入率；表示普通人的自然死亡率；1表示有症状感染者的因病死亡率；表示易感者与感染者之间接触的感染率；是降低无症状感染者的修正参数；m1和m2分别对应于I和A的媒体覆盖系数；m0表示常态化宣传传染病知识的媒体报道系数；表示从暴露到感染级的进展率；表示无症状感染者的比例；1、2、1、p分别表示无症状感染者、隔离者、潜伏者和有症状感染者的恢复率；2表示移出者进入易感级的比率；、分别表示无症状感染者和有症状感染者的隔离率。假设模型(1)满足的原始条件为S(0)=S00，E(0)=E00，I(0)=I00，A(0)=A00，Q(0)=Q00，R(0)=R00，其中，N=S+E+I+A+Q+R。由 于dNdt=-N-1I，则模型(1)的约束区域为=(S，E，I，A，Q，R)R6+：S，E，I，A，Q，R0，S+E+I+A+Q+R。考虑无量纲变换S=SN，E=EN，I=IN，A=AN，Q=QN，R=RN，N=NN0，N0=，t=t。因为S=1-E-I-A-Q-R，那么752024 年第 1 期中 北 大 学 学 报（自然科学版）dSdt=1N-e-m1I-m2A-m0S(I+A)+2R-S-SNdNdt。因此，可将模型(1)简化为模型(2)，其中模型(2)符合的初始条件为E(0)=E00，I(0)=I00，A(0)=A00，Q(0)=Q00，R(0)=R00,N(0)=N00。其中,=,1=1,=,=,1=1,2=2,1=1,2=2,p=p,=,=。dEdt=e-m1I-m2A-m0S(I+A)-(1+1+)E-ENdNdtf1，dIdt=(1-)E-(1+1+p)I-INdNdtf2，dAdt=E-(1+1+)A-ANdNdtf3，dQdt=I+A-(1+2)Q-QNdNdtf4，dRdt=1A+2Q+pI+1E-2R-R-RNdNdtf5，dNdt=1-(1+1I)Nf6，（2）故模型(2)的可行域为集合=(E，I，A，Q，R，N)：0E，I，A，Q，R，N1。2基本再生数和平衡点的存在性易 知 模 型(2)的 一 个 无 病 平 衡 点E0=(0,0,0,0,0,1)。利用下一代矩阵17推导出基本再生数（Rc）的表达式为F=0e-m0e-m00000000000000，V=1+1+000-(1-)1+1+p00-01+1+00-1+2，FV-1=e-m0(1-)(1+1+)+e-m0(1+1+p)(1+1+)(1+1+p)(1+1+)e-m01+1+pe-m01+1+0000000000000。经过推导，基本再生数Rc为Rc=(1-)(1+1+)+(1+1+p)(1+1+)(1+1+p)(1+1+)e-m0=e-m0(1+b2)b1(1+1+)，其中，b1=1+1+p(1-)，b2=(1+1+p)(1-)(1+1+)，b3=+b21+2。定理 1 如果Rc1，则模型(2)存在唯一的地方病平衡点E=(E,I,A,Q,R,N)。证明 令模型(2)中等号右面等于0，将地方病平衡点E=(E,I,A,Q,R,N)代入，可得E=b1I，A=b2I，Q=b3IN=11+1I，R=b4I。其中，b4=1b1+1b2+2b3+p2+1，b5=1+b1+b2+b3+b4，m=m1+m2b2。76（总第 213 期）受媒体报道影响的SEIAQRS传染病模型分析（王美艳等）I的值可由方程(3)的解给出。1-b5I=emIRc。（3）假设系数m1=0，m2=0，即m=0，可得I*=1b5()1-1Rc。因此，当且仅当Rc1时，I存在正值，可以知道它是唯一的地方病平衡点，否则I的值由方程1-b5I=emIRc得出。通过图示法来证明Rc1时，I的存在性。在图 1 中，画出了曲线emIRc和直线1-b5I关于I在区间 0，1上的图形。可知，当Rc1时，I在正水平方向上存在且是唯一的，即模型(2)中 的 地 方 病 平 衡 点 是 唯 一 存 在 的（见图 1（b）。3平衡点的稳定性定理 2 如果Rc1，E0是不稳定的。证明 模型(2)在E0点处的Jacobian矩阵为J(E0)=-(1+1+)e-m0e-m0000(1-)-(1+1+p)00000-(1+1+)0000-(1+2)001p12-(2+1)00-1000-1。令A=1+1+，B=1+1+p，C=1+1+，则J(E0)对应的特征方程为(+1)+(2+1)+(1+2)3+2(A+B+C)AB+BC+AC-e-m0-e-m0(1-)-e-m0B-e-m0(1-)C+ABC=0。（4）通过求解方程(4)，可得J(E0)的特征值，即1=-1，2=-(1+2)，3=-(1+2)。其他根的特征方程可简记为3+n12+n2+n3=0的形式，其中，n1=A+B+C，n2=AB+BC+AC-e-m0-e-m0(1-)，n3=-e-m0Be-m0(1-)C+ABC。当Rc1时，有e-m0B+e-m0(1-)CABC，e-m0(1-)AB，e-m00，n20，n30。经计算可知，n1n2-n3=A2B+2ABC+A2C+AB2+B2C+BC2+AC2-Ae-m0-Ae-m0(1-)-Be-m0(1-)-Ce-m00。根据 Routh-Hurwitz 判据18可知，当Rc1时，无病平衡点E0是不稳定的。定理 3 如果Rc1，模型(2)的地方病平衡点E是局部渐近稳定的。由于通过 Routh-Hurwitz 判据难以证明地方病平衡点E是局部渐近稳定的，本文结合Rc=1时有跨临界分支现象发生来证明。证 明 模 型(2)在E0处 的 Jacobian 矩 阵 为J(E0)，基于中心流行理论，以e-m0为分叉参数19创建了地方病平衡点的局部稳定性。当Rc=1时，分叉参数e-m0的临界值为ce-m0=(1+1+)(1+1+p)(1+1+)(1-)(1+1+)+(1+1+p)。可以验证在e-m0=ce-m0处的 Jacobian 矩阵J(E0)的一个右特征向量为Y=(y1，y2，y3，y4，y5，y6)T，其中，y1=1+1+，y2=(1-)(1+1+)1+1+p，y3=，y4=(1-)(1+1+)+(1+1+p)(1+1+p)(1+2)，y5=1(1+1+)(1+1+p)(1+1+p)(1+2)+p(1-)(1+1+)(1+1+p)(1+2)+1(1+1+p)(1+1+p)(1+2)+2(1+1+p)y4(1+1+p)(1+2)，y6=-1(1-)(1+1+)1+1+p。此外，对应于零特征值，左特征向量的分量V=(v1,v2,v3,v4,v5,v6)必须满足等式VJ(E0)=0和VY=1。因此，v4=v5=v6=0，v1=v3(1-)(1+1+)+(1+1+p)(1+1+)(1+1+p),v2=v3(1+1+)(1+1+p)，v3=1y3+B1+B2。其中，B1=(1-)(1+1+)2(1+1+p)2，B2=(1+1+)(1-)(1+1+)(1+1+)(1+1+p)+(1+1+p)(1+1+)(1+1+p)。使用符号x1E，x2I，x3A，x4Q，x5R，x6N，得a=k,i,j=16vkyiyj2fk(0,0)xixj,b=k,i,j=16vkyi2fk(0,0)xie-m0。当e-m0=ce-m0时，将无病平衡点E0处计算的所有二阶导数的值代入等式a和b，得a=v1 2y1y6-2y2y4ce-m0-2y2y5ce-m0-2y3y4ce-m0-2y3y5ce-m0+2y2y3(-ce-m0-m2ce-m0-ce-m0-m1ce-m0)+y22(-2ce-m0-2m1ce-m0)+2y1y2(-ce-m0+1)+2y1y3(-ce-m0)+y23(-2ce-m0-2m2ce-m0)+v2(2y2y6+2y221)+v3(2y3y6+2y2y31)+v4(2y4y6+2y2y41)+v5(2y5y6+2y2y51)+v6(-2y3y61)，b=v1(y2+y3)。最后，代入V和Y的值，得a=B3+B4+B5，b=v3B22(1+1+)(1+2+)2，其中，B3=v1 2y1y6+2y1y2(-ce-m0+1)=-2v1y1y2ce-m00，B4=v1-2y2y4ce-m0-2y2y5ce-m0-2y3y4ce-m0-2y3y5ce-m0+2y2y3(-ce-m0-m2ce-m0-ce-m0-m1ce-m0)+y22(-2ce-m0-2m1ce-m0)+2y1y3(-ce-m0)+y23(-2ce-m0-2m2ce-m0)0，B5=v2(2y2y6+2y221)+v3(2y3y6+2y2y31)+v4(2y4y6+2y2y41)+v5(2y5y6+2y2y51)+v6(-2y3y61）=0。由于e-m0=ce-m0时，a0，则在Rc=1时有跨临界分支现象发生，并且对于Rc1，唯一地方病平衡点E是局部渐近稳定的。定理 4 如果Rc1且1=0，则模型(2)的无病平衡点E0是全局渐近稳定的。证明 当1=0时，得到dNdt=1-N。当t时，N1。可在极限条件下得N=1，则78（总第 213 期）受媒体报道影响的SEIAQRS传染病模型分析（王美艳等）模型(2)可被改写为 dEdt=e-m1I-m2A-m0S(I+A)-(1+1+)E，dIdt=(1-)E-(1+p)I，dAdt=E-(1+1+)A，dQdt=I+A-(1+2)Q，dRdt=1A+2Q+pI+1E-2R-R。（5）设X=(R)，Z=(E,I,A,Q)，这 里U0=（X0，Z0），其 中X0=(0)，Z0=(0,0,0,0)，得dXdt=F(X，Z)=1A+2Q+pI+1E-(2+1)R。在Z=Z0时，G(X,0)=0。等 式dXdt=F(X,0)=-(1+2)X，当t时，XX0。所以可知，X=X0(=R0=0)是全局渐近稳定的。从模型(5)可得dZdt=G(X，Z)=BZ-G(X，Z)，其中，B=-1-1-e-m0e-m0e-m0(1-)-1-p000-1-1-00-1-2，G(X，Z)=e-m0(I+A)(1-e-m1I-m2AS)+e-m0Q000。显然，矩阵B为 M 矩阵，且不可约。当I0，A0时，有0e-m1I-m2A1。当0S1时，有G(X，Z)0，满足条件(H1)和(H2)。因此，如果Rc1，无病平衡点E0是全局渐近稳定的20。4阈值分析通过计算基本再生数Rc相对于参数（有症状感染者的隔离率）、参数p（有症状感染者的恢复率）和参数m0（媒体报道系数）的偏导数，定性测量了隔离、治疗和媒体报道对疾病传播动力学的影响。对参数、参数p和参数m0进行阈值分析，可得Rc=-e-m0(1-)(1+1+)(1+1+p)20，Rcp=-e-m0(1-)(1+1+)(1+1+p)20。Rcm0=(1-)(1+1+)+(1+1+p)(1+1+)(1+1+p)(1+1+)(-m0e-m0)0。通过讨论，可知隔离参数越大，隔离效果越好。隔离参数增大，基本再生数Rc反而减小，即对传染性个体隔离将降低人类接触率和传播概率。有症状感染者的恢复率p增大，基本再生数Rc减小。媒体报道系数m0增大，基本再生数Rc减小。5数值模拟针对模型(2)的无病平衡点、地方病平衡点的稳定性问题，分别进行了数值模拟。选择初始数值S0=400，E0=60，I0=250，A0=100，Q0=40，R0=150。无量纲形式的相应初始数值为S0=0.04，E0=0.06，I0=0.25，A0=0.10，Q0=0.04，R0=0.15。以下部分参数选取自参考文献 15。令=136，w1=16，w2=114，m1=0.2，p=1100，=0.075 1，m2=0.2，1=0.035 21，=0.6，=15.2，1=0.5，=0.95，=114，=0.74，2=0.5，e-m0=0.25，0.95。对于e-m0=0.25，Rc=0.622 83，无病平衡点E0在内是全局渐近稳定的，如图 2（a）。对于e-m0=0.95，Rc=2.507 20，地方病平衡点E是局部渐近稳定的，如图 2（b）。图 3 分别显示了参数m1和m2对受感染个体的影响，这表明媒体报道降低了感染率。当Rc=0.622 831的初始值不同时，有症状感染人数占总人数的比例随时间的函数关系分别如图 4（a）和 4（b）所示。可以得出，当Rc为确定值时，有症状感染个体的趋势不会随着有症状感染初始值的不同而改变。从图 5 可以看出，基本再生数随着隔离参数、有症状感染者的恢复率参数p和媒体报道系数m0的增大而减少。参数对感染人数的影响如图 6（a）所示，当0.21时，感染人数增加。792024 年第 1 期中 北 大 学 学 报（自然科学版）参数对感染人数的影响如图 6（b）所示，随着隔离参数的增大，感染人数将减少。（a）e-m0=0.25，Rc=0.622 83时，m1和m2对I的影响（b）e-m0=0.95，Rc=2.507 20时，m1和m2对I的影响图3m1和m2对I的影响Fig.3Effect of m1 and m2 on I（a）无病平衡点（b）地方病平衡点图 2平衡点的稳定性模拟图Fig.2Stability simulation diagram of equilibrium point（a）在Rc=0.622 831的不同初始值下，有症状感染人数占总人数的时间函数百分比图 4时间序列图Fig.4Time series diagram80（总第 213 期）受媒体报道影响的SEIAQRS传染病模型分析（王美艳等）6结 论考虑到媒体报道以及隔离对传染病传播的影响，本文构建并分析了一种含媒体报道和隔离的SEIAQRS传染病传播动力学模型。通过推导得出了传染病的传播阈值Rc，发现当Rc1时，地方病平衡点E局部渐近稳定。数值模拟验证了理论分析的正确性。基本再生数Rc受媒体报道系数m0的影响，当m0增大时，基本再生数Rc减小。当疾病不存在时，（a）e-m0=0.95时，对I的影响。（b）e-m0=0.95时，对I的影响图 6参数和对I的影响Fig.6The influence of parameters and on I（a）有症状感染者的隔离率对基本再生数Rc的影响（b）有症状感染者的恢复率p对基本再生数Rc的影响（c）常态化宣传传染病知识的媒体报道系数m0对基本再生数Rc的影响图 5参数、p和m0对Rc的影响Fig.5Influence of parameters、p and m0 on Rc812024 年第 1 期中 北 大 学 学 报（自然科学版）I=0，A=0，媒体报道系数m1和m2不影响基本再生数Rc。然而，如果疾病发生大规模流行，其将有助于减轻疾病负担，因为媒体报道系数m1和m2降低了地方病稳定状态下的感染人数。该模型适用于新型冠状病毒肺炎的传播，分析模型参数对基本再生数和感染人数的影响，可以从媒体报道、检疫、治疗和恢复等方面为新型冠状病毒肺炎的预防和治疗提供建议。参考文献：1GUAN J X，WEI Y Y，ZHAO Y，et al.Modeling the transmission dynamics of COVID-19 epidemic：A systematic reviewJ.Journal of Biomedical Research，2020，34（6）：422-430.2TANG B，WANG X，LI Q，et al.Estimation of the transmission risk of the 2019-nCoV and its implication for public health interventionsJ.Journal of Clinical Medicine，2020，9（2）：462.3DIN R，SEADAWY A R，SHAH K，et al.Study of global dynamics of COVID-19 via a new mathematical model J.Results in Physics，2020，19：103468.4LIU R，WU J，ZHU H.Media/psychological impact on multiple outbreaks of emerging infectious diseasesJ.Computational and Mathematical Methods in Medicine，2007，8（3）：153-164.5LI Y F，CUI J A.The effect constant and pulse vaccination on SIS epidemic models incorporate media coverageJ.Communications in Nonlinear Science and Numerical 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