北师大数学七年级下册第一章乘法公式(提高).doc
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乘法公式(提高) 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征,并能从广义上理解公式中字母的含义; 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算; 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式: 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. 要点诠释:在这里,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型: (1)位置变化:如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (2)系数变化:如 (3)指数变化:如 (4)符号变化:如 (5)增项变化:如 (6)增因式变化:如 要点二、完全平方公式 完全平方公式: 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. 要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形: 要点三、添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释:添括号与去括号是互逆的,符号的变化也是一致的,可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 ;; ;. 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(2+1)()( )()()()+1. 【思路点拨】本题直接计算比较复杂,但观察可以发现2+1与2-1,与,与等能够构成平方差,只需在前面添上因式(2-1),即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】 解:原式=(2-1)(2+1)( )()()()() +1 =()( )( )()()()+1 =-1+1=. 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题,不妨先仔细观察,看是否有规律,然后去解决,会事半功倍,提高解题能力. 举一反三: 【变式1】计算: (1) (2)(+)( -)( )( ) 【答案】 解:(1)原式=[(+3)(-3)]()=()()=. (2)原式=[(+)( -)]( )( ) =[()( )]( ) =()( )=. 【变式2】(2015•内江)(1)填空: (a﹣b)(a+b)= ; (a﹣b)(a2+ab+b2)= ; (a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)= . (2)猜想: (a﹣b)(an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1)= (其中n为正整数,且n≥2). (3)利用(2)猜想的结论计算:29﹣28+27﹣…+23﹣22+2. 【答案】 解:(1)(a﹣b)(a+b)=a2﹣b2; (a﹣b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3; (a﹣b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4; 故答案为:a2﹣b2,a3﹣b3,a4﹣b4; (2)由(1)的规律可得: 原式=an﹣bn, 故答案为:an﹣bn; (3)29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=(2﹣1)(28+26+24+22+2)=342. 2、(2014春•牟定县校级期末)新实验中学校园正在进行绿地改造,原有一正方形绿地,现将它每边都增加3米,面积则增加了63平方米,问原绿地的边长为多少?原绿地的面积又为多少? 【答案与解析】 解:设原绿地的边长为x米,则新绿地的边长为x+3米, 根据题意得,(x+3)2﹣x2=63, 由平方差公式得,(x+3+x)(x+3﹣x)=63, 解得,x=9; ∴原绿地的面积为:9×9=81(平方米); 答:原绿地的边长为9米,原绿地的面积为81平方米. 【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用,两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差;(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,熟练应用平方差公式可简化计算. 举一反三: 【变式】解不等式组: 【答案】 解: 由①得,,. 由②得,, ,. ∴ 不等式组的解集为. 类型二、完全平方公式的应用 3、运用乘法公式计算: (1);(2). 【思路点拨】(1)是一个三项式的平方,不能直接运用完全平方公式,可以用加法结合律将化成,看成与和的平方再应用公式;(2)是两个三项式相乘,其中与完全相同,,与,分别互为相反数,与平方差公式特征一致,可适当添加括号,使完全相同部分作为“一项”,互为相反数的部分括在一起作为“另一项”. 【答案与解析】 解:(1)原式 . (2)原式. 【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算. 举一反三: 【变式】运用乘法公式计算: (1); (2); (3); (4). 【答案】 解:(1) =[-(-)][ +(-)] = =. (2) =[2+(-1)][2-(-1)] = =. (3) =. (4) = =- =- = 4、已知△ABC的三边长、、满足,试判断△ABC的形状. 【思路点拨】通过对式子变化,化为平方和等于零的形式,从而求出三边长的关系. 【答案与解析】 解:∵ , ∴ , 即. 即. ∴ ,,, 即,∴ △ABC为等边三角形. 【总结升华】式子体现了三角形三边长关系,从形式上看与完全平方式相仿,但差着中的2倍,故想到等式两边同时扩大2倍,从而得到结论. 举一反三: 【变式】多项式的最小值是____________. 【答案】4; 提示:,所以最小值为4. 【巩固练习】 一.选择题 1.下列各多项式相乘,可以用平方差公式的有( ). ① ② ③ ④ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2. 若是完全平方式,则值是( ) A. B. C. D. 1 3.下面计算正确的是( ). A.原式=(-7++)[-7-(+)]=-- B.原式=(-7++)[-7-(+)]=+ C.原式=[-(7--)][-(7++)]=- D.原式=[-(7+)+][-(7+)-]= 4.(+3)(+9)(-3)的计算结果是( ). A.+81 B.--81 C. -81 D.81- 5.下列式子不能成立的有( )个. ① ② ③ ④ ⑤ A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2015春•开江县期末)计算20152﹣2014×2016的结果是( ) A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 二.填空题 7.多项式是一个完全平方式,则=______. 8. 已知,则的结果是_______. 9. 若把代数式化为的形式,其中,为常数,则+=_______. 10.(2015春•深圳期末)若A=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1,则A的末位数字是 . 11.对于任意的正整数,能整除代数式的最小正整数是_______. 12. 如果=63,那么+的值为_______. 三.解答题 13.计算下列各值. 14.(2015春•成华区月考)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如:4=22﹣02,12=42﹣22,20=62﹣42,因此4、12、20都是这种“神秘数”. (1)28和2012这两个数是“神秘数”吗?试说明理由; (2)试说明神秘数能被4整除; (3)两个连续奇数的平方差是神秘数吗?试说明理由. 15. 已知:求的值. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】B; 【解析】①,②,③可用平方差公式. 2. 【答案】B; 【解析】,所以=±1. 3. 【答案】C; 4. 【答案】C; 【解析】(+3)(+9)(-3)=. 5. 【答案】B; 【解析】②,③不成立. 6. 【答案】D; 【解析】解:原式=20152﹣(2015﹣1)×(2015+1)=20152﹣(20152﹣1)=20152﹣20152+1=1, 故选D. 二.填空题 7. 【答案】16; 【解析】,∴=16. 8. 【答案】23; 【解析】. 9. 【答案】-3; 【解析】,=1,=-4. 10.【答案】6; 【解析】解:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1, =(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)+1, =(24﹣1)(24+1)(28+1)+1, =(28﹣1)(28+1)+1, =(216﹣1)(216+1)+1, =232﹣1+1, 因为232的末位数字是6,所以原式末位数字是6. 故答案为:6. 11.【答案】10; 【解析】利用平方差公式化简得10,故能被10整除. 12.【答案】±4; 【解析】. 三.解答题 13.【解析】 解:(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 14.【解析】 解:(1)是,理由如下: ∵28=82﹣62,2012=5042﹣5022, ∴28是“神秘数”;2012是“神秘数”; (2)“神秘数”是4的倍数.理由如下: (2k+2)2﹣(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2﹣2k)=2(4k+2)=4(2k+1), ∴“神秘数”是4的倍数; (3)设两个连续的奇数为:2k+1,2k﹣1,则 (2k+1)2﹣(2k﹣1)2=8k, 而由(2)知“神秘数”是4的倍数,但不是8的倍数, 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数. 15.【解析】 解:∵∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴.- 配套讲稿:
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- 北师大 数学 年级 下册 第一章 乘法 公式 提高
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