高级微观经济学期末复习.doc
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1、第一部分:消费者理论一、效用函数存在性证明参考书二、效用函数,求瓦尔拉斯需求函数解答:从效用函数可知商品2对消费者没效用,因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1,对商品2的需求为0,或者由可得到实际上,这是一个边角解,三、效用函数,求其1、瓦尔拉斯需求函数,间接效用函数,2、希克斯需求函数,支出函数。答案:1、,2、,(形式可能不一样)四、证明对偶原理中的1.2. 参考书五、效用函数,推导斯拉茨基方程,并分析替代效应、收入效应和总效应。参考书六、效用函数,求其货币度量的直接和间接效用函数。答案:七、效用函数,当,求其等价变化和补偿变化。答案: ,八、分析福利分析在税收方面的应用。参考
2、书九、,假定,对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失(包括两种情况)。解答:max s.t. 1求瓦尔拉斯需求函数(1)建立拉格朗日函数(2)求极值一阶条件 (a) (b) (c)由(a)和(b)整理得:(3)瓦尔拉斯需求函数分别将,代入预算约束(c),有 2求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数,有3求支出函数由间接效用函数,求反函数得:4求希克斯需求函数法一:将支出函数代入瓦尔拉斯需求函数,得到 法二:根据谢伯特引理,对支出函数对价格求导,也可得到希克斯需求函数。5求货币度量的效用函数(1)货币度量的直接效用函数由,有(2)货币度量的间接效用函数6下标0表示征税前,下标
3、1表示征收消费税后。,等价变化分析:按照征税前的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:商品税与收入税对消费者的福利之差为:表明商品税对消费者的福利影响更差。 补偿变化分析:按照征税后的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:商品税与收入税对消费者的福利之差为:=0.1213表明商品税对消费者的福利影响更差。2.D.3设xB, xB,0,1. 令x=x+(1-) x,因为x是一个凸集,所以xX. 故px=(px)+ (1-)(px)w+ (1-)w=w因此,xB.2.E.5 因为x(p,w)对w是一次齐次的,所以对任意0有x(p,w)=x(p,w).因此,x(p,w)=
4、 x(p,1)w.因为当kl时,(p,1)/= (p)/=0所以 x(p,1)只是关于p的函数,即可记为x(p,w)= x( p).又因为x(p,w)满足零次齐次性,所以x( p)必定是p的-1次方。因此,存在0时,使x( p)=/ p.根据瓦尔拉斯定律,p(/ p)w=w=w.因此有=1 是个常数.解: 2.F. 3 (a) 若100120+100y100100+100100且100100+80100100120+80y 即,y75,80时,他的行为与弱公理矛盾. (b) 若100120+100y100100+100100且100100+80100100120+80y即,y100100+10
5、0100且100100+80100100120+80y即,y80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.(注:b,c假定弱公理成立) (d) 无论y取何值,都有充分的信息来断定a,b,c 中有一个成立 (e) 当y100120+80y因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y75100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1(在某一价格上)是劣等品.(f) 当80y100100+100100且100100+80100100120+80y因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是
6、,因为y100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品.解:3.D.6 (a) 令(x)=u(x)=(x- b)(x- b)(x- b),其中,因为函数uu是单调变换,因此, ,()与u()代表相同的效用水平. 因而我们可以不失一般性的假定. (b) 对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换: lnu(x)=ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b). 根据UMP的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数: x(p,w)=( b, b, b)+(w-pb)(/p,) 其中pb= 将此需求函数代入u(),得到间接效用函数: v(p,w)= (w-pb
7、)(本题(a)中验证3.E.2和3.E.3不用作。)解:3.G.3 (a) 假设 .对于效用函数: lnu(x)=ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b).根据EMP一阶条件得:h(p,u)= ( b, b, b)+u将此函数代入ph(p,u),得到支出函数:e(p,u)=pb+u. 其中, pb=.(b)对(a)中求出的支出函数求导,通过与h(p,u)比较,可得到支出函数的导数即为(a)中所求出的希克斯需求函数。 (c)根据(b)可得,Dh(p,u)=De(p,u). 将a中的支出函数对p求二阶导数,得到 = 在3.D.6中,我们得到x(p,w)=( b, b, b)+(w-pb
8、)(/p,) 于是,Dx(p,w)= (/p,) Dx(p,w)= -(w-pb) ( b, b, b) 根据以上结果,我们可验证斯拉茨基方程成立. (d) 根据Dh(p,u)=De(p,u)以及 De(p,u)即得。(e)根据=Dh(p,u)=De(p,u),我们可得出De(p,u)是半负定的,并且秩为2。解:3.G.6 (a) 根据瓦尔拉斯定律,可得到:x=(w-)/(b) 是齐次的。对于任意,有:100-5+=100-5+,=.(c) 因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性,则有:= 因此,代入=1,整理得: = 因为该方程对于所有和w都成立,则有,=,=-5, 得, =由于斯拉茨基矩阵的对角线
9、上的所有元素均为非正的,则得到:=0代入=1,对角线上的第一个元素为:-5+ 若0,则0,就可找到一组值使得上式0.故得:=0 所以,=.X1(d)因为对于任意价格,=,所以消费者的无差异曲线呈L型,拐点在坐标轴的对角线上,如下图。 OX2(e) 根据d的结论,对于固定的,商品1和2的偏好可由表示,商品1和2的需求也无收入效应。因此得到:=+或是该形式的单调变换。解:3.I.7 (a) 根据瓦尔拉斯定律和零次齐次性,可得到三种商品的需求函数的定义域都是。于是我们可以从需求函数中得到一个33的斯拉茨基矩阵。将该斯拉茨基矩阵的最后一行与最后一列去掉,可得到一个22的子矩阵,为.根据瓦尔拉斯定律和齐
10、次性,当且仅当22的子矩阵对称时,33的斯拉茨基矩阵也对称。同样,可得当且仅当22的子矩阵为半负定矩阵时,33的斯拉茨基矩阵也是半负定矩阵。因此,效用最大化所蕴含的参数限制为:c=e,b0,g0,且bg-c0.(b) 首先,证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关,仅是前两种商品价格的函数,它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。 =, = l=1,2 因为与收入无关,= 因此=。 故,与效用水平无关,它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。 若价格变化是遵循路径:,则等价变化为: +=+ =+ 若价格变化是遵循路径:,则等价变化为: +=+ =+ 当且仅当c=e时,以上两种等价变化相等。(c) 由以
11、上可知:=a+(3/2)b+c =d+e+(3/2)g=d+c+(3/2)g =( a+(3/2)b+c)+(d+2e+(3/2)g)=a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g 因此, -(+)=c 与之和不包括由于第二种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应(同样也可指不包括第一种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应)。从图中看出,当c=e0,包括ABCD区域,但+不包括。X1d+ed+2e201DCBAX2 (d) 因为=a+2b+c,第一种商品的税收收入与它相等,因此,=( a+(3/2)b+c)-(a+2b+c)=-b/2因为=
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