五年级奥数举一反三第131415周之长方体和正方体.doc
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1、 第131415周之长方体和正方体长方体和正方体(一)一、知识要点在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:1.必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;2.依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;3.求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。二、精讲精练【例题1】 一个零件形状大小如下图:算一算,它的体积是多少立方厘米?表面积是多少平方厘米?(单位:厘米)【思路导航】(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是1042=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10(62
2、)2=80(立方厘米),整个零件的体积是802=160(立方厘米);(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。因此,此零件的表面积就是(10610422)2=232(平方厘米)。想一想:你还能用别的方法来计算它的体积吗?练习1:1.一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积和体积各是多少?2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。3.有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一
3、个正方体(如图),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?【例题2】 有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?(单位:厘米)【思路导航】(1)先求出长方体的体积,856=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了222=8(立方厘米),这个零件的体积是2408=232(立方厘米);(2)长方体完整的表面积是(858665)2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(22)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(22)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236224=252(平方厘米)。练习2:1.有一个形状如下图的零件
4、,求它的体积和表面积。(单位:厘米)。2.有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少?3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积和表面积各是多少?【例题3】 一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。原正方体的表面积是多少平方厘米?【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是504=12.5(平方厘米)。正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.56=75
5、(平方厘米)。练习3:1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米?2.一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少多少平方分米?【例题4】 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。【思路导航】要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。我们用a、b
6、、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。由1/6a3=288可知,a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。大长方体的长是122=24厘米,宽12厘米,高是83=11厘米,表面积就不难求了。练习4:1.一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?2.一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。3.有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成几种不同的长方体?用图画出来
7、。 【例题5】 一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少?【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长宽长高=长(宽高),由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数,所以有209=1119=11(172),即长、宽、高分别为11、17、2厘米。知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。练习5:1.有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是96立方厘米,求它的表面积。3.一个长方体和一个正方体的棱长之
8、长相等,已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米,求正方体体积。长方体和正方体(二)一、知识要点在长方体、正方体问题中,我们还会常常遇到这样一些情况:把一个物体变形为另一种形状的物体;把两个物体熔化后铸成一个物体;把一个物体浸入水中,物体在水中会占领一部分的体积。解答上述问题,必须掌握这样几点:1.将一个物体变形为另一种形状的物体(不计损耗),体积不变;2.两个物体熔化成一个物体后,新物体的体积是原来物体体积的和;3.物体浸入水中,排开的水的体积等于物体的体积。二、精讲精练【例题1】 有两个无盖的长方体水箱,甲水箱里有水,乙水箱空着。从里面量,甲水箱长40厘米,宽32厘米,水面高20
9、厘米;乙水箱长30厘米,宽24厘米,深25厘米。将甲水箱中部分水倒入乙水箱,使两箱水面高度一样,现在水面高多少厘米?【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样,我们可以这样思考:把两个水箱并靠在一起,水的体积就是(甲水箱的底面积+乙水箱的底面)水面的高度。这样,我们只要先求出原来甲水箱中的体积:403220=25600(立方厘米),再除以两只水箱的底面积和:40323024=2000(平方厘米),就能得到后来水面的高度。练习1:1.有两个水池,甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米,乙水池空着,它长6分米、宽和高都是4分米。现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池,使两个水池中水面同样高。问水面高
10、多少?2.有一个长方体水箱,从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放进一个棱长20厘米的正方体铁块后,铁块顶面仍高于水面。这时水面高多少厘米?3.一段钢材长15分米,横截面面积是1.2平方分米。如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋,求这根据钢筋的长。【例题2】 将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体(不计损耗),求这个大正方体的体积。【思路导航】因为正方体的六个面都相等,而54=69=6(33),所以这个正方体的棱是3厘米。用同样的方法求出另两个正方体的棱长:96=6(44),棱长是4厘米;150=6(55)
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