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小学四年级奥数思维训练全集

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专题一 找规律（一）
专题简介：一般以下几个方面来找规律：
1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；
2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；
3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。

例1：找出下面数列的规律，并在括号里填上适当的数。1，4，7，10，（ ），16，19
分析：相邻的两个数的差都是3，所以：
应填：10+3=13或16－3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做。
试一试1：先找出下面数列的规律，再填空。
（1）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（2）2，6，18，（ ），162，（ ）
（3）128，64，32，（ ），8，（ ），2

例2：找出下列数排列的规律，再填空。
1，2，4，7，（ ），16，22
分析：前4个数每相邻的两个数的差递增1，即依次是1、2、3……。
应填的数为：7+4=11或16-5=11
试一试2：先找出下面数列的规律，再填空。
（1）1，4，9，16，25，（ ），49，64
（2）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8

例3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12
分析：第1、3、5……个数递减3；第2、4、6……个数递增2。8后面的一个数为：17-3=14，
11前面的数为：8+2=10。
试一试3：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）
（2）4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14

例4：在数列1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括号里应填什么数？
分析：从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和。括号里：8+13=21或34－13=21
上面这个数列叫做斐波那切（意大利古代著名数学家）数列，也叫做“兔子数列”。
试一试4：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）
（3）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78

例5：下面每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（8，4） （5，7） （10，2） （□，9）
分析：每个括号里的两个数的和都是12。
□应为：12－9=3
试一试5：下面括号里的两个数是按一定的规律组合的，在□里填上适当的数。
（1）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）
（2）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）
（3）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）

专题二 找 规 律（二）
专题简析：对于较复杂的按规律填数的问题，从以下几个方面来思考：
1，对于几列数组成的一组数变化规律，没有一成不变的方法，一种方法不行，就要及时调整思路，换一种方法再分析；
2，分布在图中的数，变化规律与数在图形中的特殊位置有关，是解题的突破口。

例1：根据下表中的排列规律，在空格里填上适当的数。

分析：经仔细观察、分析表格中的数可以发现：12+6=18，8+7=15，即每一横行中间的数等于两边的两个数的和。依此规律，空格中应填的数为：4+8=12。
试一试1：找规律，在空格里填上适当的数。

例2：根据前面图形中的数之间的关系，想一想第三个图形的括号里应填什么数？

分析：前面两个圈中三个数之间有这样的关系：5×12÷10=6 4×20÷10=8
第三个圈中右下角应填：8×30÷10=24
试一试2：根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。

例3：根据第1个算式直接写出后几个算式的结果。
12345679×9=111111111
12345679×18=
12345679×54=
12345679×81=
分析：几个算式第1个因数相同。第二个因数成倍数关系：18=9×2 54=9×6 81=9×9
所以：
12345679×18=12345679×9×2=222222222
12345679×54=12345679×9×6=666666666
12345679×81=12345679×9×9=999999999
试一试3：找规律，写得数。
1×1=1 11×11=121
111×111=
111111111×111111111=

专题三 简单推理
专题简析：解答推理问题，要从许多条件中找出关键条件作为推理的突破口。推理要有条理地进行，要充分利用已经得出的结论，作为进一步推理的依据。

例1：根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
△－○=2 ①
○＋○＋△＋△＋△=56 ②
分析：由①可知，△=○＋2；将②中的○都换成△，那么5个△=56＋2×2，△=12，再由①可知，○=12－2=10
试一试1：根据下面两个算式求□与○各代表多少？ □－○=8
□＋□＋○＋○=20
例2：甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运动会上他们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠军；一小的不是垒球冠军，甲不是跳高冠军；乙既不是二小的也不是跳高冠军。问：他们三个人分别是哪个学校的？获得哪项冠军？
分析：由“二小的是跳远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三小的；因为“一小的不是垒球冠军”，所以一小一定是跳高冠军，三小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”，“乙既不是二小的也不是跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远冠军，三小的乙是垒球冠军。
试一试2：有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的。但不知哪一个姓王、哪一个姓李、哪一个姓刘。只知道姓刘的不喜欢穿红的，姓王的既不是穿红裙子，也不是穿花裙子。你能猜出这三个女孩各姓什么吗？

专题四 应用题（一）
专题简析：解答应用题时，通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段，找到解题的突破口，从而使问题得以顺利解决。

例1：某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里，1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具？
分析：如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里，那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多，所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样，5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。可求出一个塑料箱装多少件。
试一试1：王叔叔买了3千克荔枝和4千克桂圆，共付款156元。已知5千克荔枝的价钱等于2千克桂圆的价钱。每千克荔枝和每千克桂圆各多少元？

例2：一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张，实际每天比原计划多生产4张，结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌？
分析：“提前1天完成任务”，这一天的60张要平均分到前面的几天去做。实际比原计划每天多生产4张，所以实际生产的天数是60÷4=15天，原计划生产的天数是15＋1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。
试一试2：小明看一本故事书，计划每天看12页，实际每天多看8页，结果提前2天看完。这本故事书有多少页？

专题五 算式谜（一）
专题简析：解答算式谜问题时，要先仔细审题，分析数据之间的关系，找到突破口，逐步试验，分析求解，通常要运用倒推法、凑整法、估值法等。
例1：将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出现一次，组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○
分析：用七个数字组成五个数（3个是一位数，2是两位数）。而方格中的数和被除数是两位数，其他是一位数。
0和1不能作因数，也不能做除数。由于2×6=12（2将出现两次），2×5=10（不合题意），2×4=8（数字中没有8），2×3=6（不是两位数）。因此，0、1、2只能用来组成两位数。经试验可得：3×4=12=60÷5
试一试1：将0、1、3、5、6、8、9这七个数字填在圆圈和方筐里，每个数字恰好出现一次组成一个整数算式。
○×○=□=○÷○

例2：把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。
36○0○15=15 21○3○5=□
分析：先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边最后一个数15相同，因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。显然，36×0+15=15
因为“×”、“+”已用，第二个等式中只有“－”、“÷”可以填。“方框中填整数”，而3不能被5整除：21÷3－5=2
试一试2：将1 ~ 9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。
□＋□=□ □－□=□ □×□=□
专题六 算式谜（二）
:专题简析：1．利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；
2．算式谜解出后，要验算一遍。
例1：在下面的方框中填上合适的数字。

分析：由积的末尾是0，推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。
试一试1：在□里填上适当的数。

例2：在下面方框中填上适合的数字。

分析：由“1□2”和“1□”可知商和除数的十位都是1。那么被除数的十位只可能是7、8、9。如果是7，除数的个位是0，那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是1，也不能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。
完整的竖式是：

试一试2：在□内填入适当的数字，使右面除法竖式成立。

例3：下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？

分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a=1、d=9；因为9与b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。
试一试3：右式中每个汉字所代表的数字。
华= 罗=
庚= 金= 杯=

例4：在1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中间加上“＋、－”两种运算符号，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
分析：先凑出与100比较接近的数，再根据需要把相邻的几个数组成一个数。
（1）123与100比较接近，前三个数字组成123，后面的数字凑出23就行。因为45与67相差22，8与9相差1，所以：123＋45－67＋8－9=100
（2）89与100比较接近，78与67正好相差11，所此可得另一种解法：123＋45－67＋89=100
试一试4：一个乘号和七个加号添在下面的算式中合适的地方，使其结果等于100（数字的顺序不能改变）。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100

专题七 巧妙求和（一）
专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
相邻两项的差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？
分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9
答：这个数列共有9项。
试一试1：有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？

例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？
分析：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399
试一试2：求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。

例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。
分析：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
试一试3：6+7+8+…+74+75

例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
分析：项数=（末项－首项）÷公差+1
=（50－2）÷2+1=25
首项=2，末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650
试一试4：9+18+27+36+…+261+270

专题八 最优化问题
专题简析：做一件事情，合理安排用的时间最少，效果最佳，这类问题称为统筹问题。“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”。
例题1 贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？
思路：锅中保持两张饼用时最少。
（1）1号饼正面、2号饼正面————3分钟
（2）1号饼反面、3号饼正面————2分钟
（3）2号饼反面、3号饼正面————1分钟
（4）2号饼反面、3号饼反面————1分钟
（5）3号饼反面————1分钟。
3＋2＋1＋1＋1=8分钟
试一试1 红太狼用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？

例题2 在一条公路上每隔50千米有一个粮库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？

思路：移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等都是50千米，一般原则是“少往多处靠”。甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用1×10×50×3=1500元，乙粮库需要1×20×50×20=2000元，共用1500＋2000=3500元。
试一试2：一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米。甲储油站有50吨油，乙储油站储有10吨油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储油站，每吨油运1千米要2元运费，那么最少要花多少运费？

例3：五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？
分析：校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。李佳治病3人等：1×3=3分钟；孙勇治病2人等：3×2=6分钟；，赵明治病自己1人等：5×1=5分钟。时间总和是1×3＋3×2＋5×1=14分钟。
:试一试3：甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时间是多少？

例4：用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？
分析：根据“长方形周长=（长＋宽）×2”，得到长＋宽=18÷2=9cm。根据“两数和一定，差越小积越大”，又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5cm，宽是4cm时，围成的长方形的面积最大：5×4=20平方厘米。
试一试4：一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？

例5：用3 ~ 6这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。
分析：考虑两点：（1）把大数放在高位；即应把6和5这两个数字放在十位。（2）“两个因数的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后面，4应放在5的后面。63×54=3402
试一试5：用5 ~ 8这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。

专题九 规律（一）
专题简析：在进行加、减、乘、除四则运算是时一个数不变，另一个数发生改变，结果也会发生相应变化，抓住变化规律解题，会让我们的计算更轻松。

例1：两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
分析：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9。相当于和先增加9，又减少9，所以和不发生变化。
试一试1：两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么变化？

例2：两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
分析：一个加数增加10，和就增加10。现在“要使和增加6”，另一个加数应减少10－6=4。
试一试2：两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？

例3：两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
分析：被减数增加8，差就增加8；减数增加8，差就减少8。差先增加8，接着又减少8，所以不发生变化。
试一试3：两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化？

例4：两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？
分析：一个因数扩大8倍，积将扩大8倍；另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大：8÷2=4倍。
试一试4：两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？

例5：两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
分析：被除数扩大4倍，商就扩大4倍；除数缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。
试一试5：两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？

专题十 变化规律（二）
专题简析：前面，我们学习了和、差、积、商的变化规律。现在，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。

例1：两数相减，被减数减少8，要使差减少12，减数应有什么变化？
分析：被减数减少8，假如减数不变，差也减少8；现在要使差减少12，减数应增加12－8=4。
试一试1：两数相减，如果被减数增加6，要使差增加15，减数应有什么变化？

例2：两个数相除，商是8，余数是20，如果被除数和除数同时扩大10倍，商是多少？余数是多少？
分析：两数相除，被除数和除数同时扩大相同的倍数，商不变，余数扩大相同的倍数。所以商是8，余数是20×10=200。
试一试2：两个数相除，商是8，余数是600。如果被除数和除数同时缩小100倍，商是多少？余数是多少？

例3：两数相乘，积是48。如果一个因数扩大2倍，另一个因数缩小3倍，那么积是多少？
分析：一个因数扩大2倍，积扩大2倍；另一个因数缩小3倍，积缩小3倍。所以最后的积是48×2÷3=32。
试一试3：两数相除，商是19。如果被除数扩大20倍，除数缩小4倍，那么商是多少？

专题十一 错中求解
专题简析：在加、减、乘、除式的计算中，如果粗心大意将算式中的一些运算数或符号抄错，就会导致计算结果发生错误。现在我们就来讨论怎样利用错误的答案求出正确的结论。

例1：小玲在计算除法时，把除数65写成56，结果得到的商是13，还余52。正确的商是多少？
分析：要求出正确的商，必须先求出被除数是多少。先抓住错误的得数，求出被除数：13×56＋52=780。所以，正确的商是：780÷65=12。
试一试1：小虎在计算除法时，把被除数1250写成1205，结果得到的商是48，余数是5。正确的商应该是多少？
例2：小芳在计算除法时，把除数32错写成320，结果得到商是48。正确的商应该是多少？
分析：根据题意，把除数32改成320扩大到原来的10倍，又因为被除数不变，根据商的变化规律，正确的商应该是错误商的10倍。所以正确的商应该是48×10=480。
试一试2：小马在计算除法时，把被除数1280误写成12800，得到的商是32。正确的商应该是多少？

例3：小冬在计算有余数的除法时，把被除数137错写成173，这样商比原来多了3，而余数正好相同。正确的商和余数是多少？
分析：因为被除数137被错写成了173，被除数比原来多了173－137=36，又因为商比原来多了3，而且余数相同，所以除数是36÷3=12。又由137÷12=11……5，所以余数是5。
试一试3：刘强在计算有余数的除法时，把被除数137错写成174，结果商比原来多3，余数比原来多1。求这道除法算式的除数和余数。

例4：小龙在做两位数乘两位数的题时，把一个因数的个位数字4错当作1，乘得的结果是525，实际应为600。这两个两位数各是多少？
分析：一个因数的个位4错当作1，所得的结果比原来少了（4－1）个另一个因数；实际的结果与错误的结果相差600－525=75，
另一个因数=75÷3=25
一个因数=600÷25=24
试一试4：小菊做两位数乘两位数的乘法时，把一个因数的个位数字1误写成7，结果得646，实际应为418。这两个两位数各是多少？

例5：方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。那么，正确的积应是多少？
分析：由“一个因数增加14，计算结果增加了84”可知另一个因数是84÷14=6；又由“另一个因数增加14，积增加了168”可知，这个因数是168÷14=12。所以正确的积应是12×6=72。
试一试5：两个数相乘，如果一个因数增加3，另一个因数不变，那么积增加18；如果一个因数不变，另一个因数减少4，那么积减少200。原来的积是多少？

专题十二 简单列举
专题简析：直接列式解答比较困难时，可采用一一列举的方法解决。（根据题目的要求，通过一一列举各种情况最终达到解答整个问题的方法叫做列举法。）

例题1 从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有3条路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种走法？
分析：为了帮助理解，先画一个线路示意图。

从南通到上海有两条路，每条路经上海到南京都有3条路；即有2个3条路：3×2=6（种）
试一试1：从甲地到乙地，有两条直达铁路，从乙地到丙地，有4条直达公路。那么，从甲地到丙地有多少种不同的走法？

例2：有三张数字卡片，分别为3、6、0。从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？
分析：排成时要注意“0”不能排在最高位。
十位上排6，个位有两种选择：60，63；
十位上排3，个位有两种选择：30，60。
一共可以排成2×2=4（个）两位数。
试一试2：用8、6、3、0这四个数字，可以组成多少个不同的三位数？最大的一个是多少？

例3：用红、黄、蓝三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？
分析： 要使信号不同，每一种信号颜色的顺序就不同。把这些不同的信号一一列举如下：

红灯排在第一位置时，有两种不同的信号，
黄灯排在第一位置时，有两种不同的信号，
蓝灯排在第一位置时，有两种不同的信号。
因此，共有2×3=6种不同的排法。
试一试3：小红有3种不同颜色的上衣，4种不同颜色的裙子，问她共有多少种不同的穿法？

例4：在一次足球比赛中，4个队进行循环赛，需要比赛多少场？（两个队之间比赛一次称为1场）
分析1：4个队进行循环赛，即每两个队都要赛一场。设4个队分别为A、B、C、D则：
A队和其他3个队各比赛1次，要赛3场；
B队和其他两个队还要各比赛1次，要赛2场；
C队还要和D队比赛1次，要赛1场。
这样，一共需要比赛3＋2＋1=6（场）。
分析2：4个队进行循环赛，即每两个队都要赛一场。则每个队都要赛3场，共赛4×3=12场。这样就重复算了两次，因此实际共赛：12÷2=6（场）
试一试4：在一次羽毛球赛中，8个队进行循环赛，需要比赛多少场？

专题十三 和倍问题
专题简析：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数是多少的应用题，叫做和倍问题。解答和倍应用题的基本数量关系是：
和÷（倍数＋1）=小数
小数×倍数=大数
（和－小数=大数）

例1：学校有科技书和故事书共480本，科技书的本数是故事书的3倍。两种书各多少本？
分析：为了便于理解题意，我们画图来分析

把故事书的本数看作一份，科技书的本数就是这样的3份，两种书的总本数就是1＋3=4份。把480本书平均分成4份，1份是故事书的本数，3份是科技书的本数。
故事书：480÷（1＋3）=120（本）
科技书：120×3=360（本）
试一试1：一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？

例2：果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的3倍，桃树的棵数是苹果树的4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？
分析：如果把苹果树的棵数看作1份，三种树的总棵数是这样的1+3+4=8份。所以，
苹果树:1200÷8=150（棵）
梨树:150×3=450（棵）
桃树:150×4=600（棵）
试一试2：李大伯养鸡、鸭、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只？

例3：有三个书橱共放了330本书，第二个书橱里的书是第一个的2倍，第三个书橱里的书是第二个的4倍。每个书橱里各放了多少本书？
分析：把第一个书橱里的本数看作1份，第二个书橱里的本数是这样的2份，第三个就是这样的2×4=8份，三个书橱里的总本数就是这样的1+2+8=11份。所以，
第一个书橱：330÷11=30（本）
第二个书橱：30×2=60（本）
第三个书橱：60×4=240（本）
试一试3：甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。三个队各修了多少米？

例4：少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
分析：如果杨树少种20棵，杨树的棵数恰好是柳树的3倍。柳树1份和杨树3份的总棵数是216－20=196（棵），
柳树棵数：196÷（1＋3）=49（棵）
杨树棵数：216－49=167（棵）
试一试4：小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分。两人各得多少分？

例5：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米。三个队各筑多少米？
分析：把乙队的米数看作1份，甲队筑的米数是这样的2份。假设丙队多筑240米，那么三个队共筑了1360＋240=1600米，正好是乙队的2＋1＋1=4倍。所以，乙队筑了1600÷4=400米，甲队筑了400×2=800米，丙队筑了400－240=160米。
试一试5：三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。三个队各植树多少棵？

第十四周 植树问题
专题简析：
1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（1）两端都要植树：棵数=段数＋1；
（2）一端植树：棵数=段数；
（3）两端都不植树：棵数=段数－1。
2．在封闭的路线上植数：棵数=段数。

例1：城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵，每隔6米栽一棵。这条路长多少米？
分析： 28棵树之间有28－1=27段，每隔6米为一段，所以这条大路长6×27=162米。
试一试1：一条路长200米，在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树，一共要植多少棵？

例2：在一个周长是240米的游泳池周围栽树，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵树？
分析：游泳池是封闭线路，植树的棵数和段数相等。240÷5=48（棵）
试一试2：在圆形的水池边，每隔3米种一棵树，共种树60棵，这个水池的周长是多少米？

例3：在一座长800米的大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏，相邻两盏之间的距离都相等。求相邻两盏彩灯之间的距离。
分析：大桥两边一共挂了202盏彩灯，每边各挂202÷2=101盏，101盏彩灯把800米长的大桥分成101－1=100段，所以，相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。
试一试3：六年级学生参加广播操比赛，排了5路纵队，队伍长20米，前后两排相距1米。六年级有学生多少人？
例4：一个木工锯一根19米的木料，他先把一头损坏部分锯下来1米，然后锯了5次，锯成同样长的短木条。每根短木条长多少米？
分析：把长19－1=18米的木条锯了5次，以锯成5＋1=6段，每根短木条长18÷6=3米。
试一试4：有一个工人把长12米的圆钢锯成了3米长的小段，锯断一次要5分钟。共需要多少分钟？

例5：有一幢10层的大楼，由于停电电梯停开。某人从1层走到3层需要30秒，照这样计算，他从3层走到10需要多少秒？
分析：1层至3层有两个间隔，所以每个间隔用去的时间是30÷（3－1）=15秒，3层到10层经过了10－3=7个时间间隔，所以，他从3层到10层需要15×7=105秒。
试一试5：时钟4点敲4下，6秒钟敲完。那么12点钟敲12下，多少秒钟敲完？

第十五周 图形问题
专题简析：解答“图形面积”问题时，应注意以下几点：
1、根据题意，画出图形。
2、合理地进行切拼。
3、掌握图形本质，结合必要的分析推理和计算，使隐蔽的数量关系明朗化。

例1：人民路小学操场长90米，宽45米。改造后，长增加10米，宽增加5米。现在操场面积比原来增加了多少平方米？
分析：用操场现在的面积减去操场原来的面积，就得到增加的面积。
现在面积：（90+10）×（45+5）=5000平方米
原来面积：90×45=4050平方米
现在比原来增加：5000－4050=950平方米
试一试1：一块长方形铁板，长18分米，宽13分米。如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？

例2：一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？
分析：由“宽不变，长增加6米，面积增加54平方米”可知，它的宽为54÷6=9米；由“长不变，宽减少3米，面积减少36平方米”可知，它的长为36÷3=12米。所以，这个长方形原来的面积是12×9=108平方米。
试一试2：一个长方形，如果宽不变，长减少3米，那么它的面积减少24平方米；如果长不变，宽增加4米，那么它的面积增加60平方米。这个长方形原来的面积是多少平方米？

例3：一个养禽专业户用一段16米的篱笆围成的一个长方形养鸡场（如下图），求养鸡场的占地面积。
分析：因为一面利用着墙，所以两条长加一条宽等于16米。而宽是4米，那么长是（16－4）÷2=6米，占地面积是6×4=24平方米。
试一试3：下图是某个养禽专业户用一段长13米的篱笆围成的一个长方形养鸡场，求养鸡场的占地面积。

例4：街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？
分析：把水泥路分成四个同样大小的长方形（如下图）。因此，一个长方形的面积是12÷4=3平方米。因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3÷1=3米。从图中可以看出正方形小正方形的边长是3－1=2米。中间花坛的面积是2×2=4平方米。
试一试4：有一个正方形的水池，如下图的阴影部分，在它的周围修一个宽8米的花池，花池的面积是480平方米，求水池的边长。

第十六周 巧妙求和（二）
专题简析：
某些问题，可以转化为求若干个数的和。先判断是否是求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。

例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。这本书共有多少页？
分析：根据“每天读的页数都比前一天多3页”可知他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11带入等差数列求和公式，得：
（30＋60）×11÷2=495（页）
试一试1：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？

例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
分析：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
试一试2：有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？

例3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？
分析1：假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）
分析2：每个同学都要握手51－1=50次。而每两人就重复算了1次。所以实际握手次数：51×50÷2=1275（次）
试一试3：学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？

专题十七 数数图形
专题简析：当线段、角、三角形、长方形等图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，必须注意以下几点： 1，弄清被数图形的特征和变化规律。
2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。

例1：数一数下图中共有多少个三角形。