基于微波复合介质材料的滤波器设计.doc

空军工程大学毕业论文（设计）
基于微波复合介质材料的滤波器设计

摘要
本文介绍了微波复合介质材料的相关理论，利用数据仿真对双负材料的电磁结构特性进入深入研究。本文工作的主要成果体现在：
利用电磁波在双负传输线上可以产生正相移的特性，实现了由双负特性传输线和传统双正特性传输线组成的混合传输线，提出应用加载串联电容实现负等效磁导率，利用腐蚀地面结构实现负的等效介电常数的新型混合传输线结构，通过双正结构的低通特性和双负结构的高通特性构建超宽带滤波器，仿真结果表明其工作频带宽、带内插损小、设计方便，为实用超宽带滤波器设计提供了另一种设计思路。
关键词：微波复合介质材料，双负材料(DNM)，混合双负传输结构

Abstract
The theory of microwave composite dielectric material is introduced in this dissertation and its electromagnetic characteristics is investing aced by simulation. The primary work is as follows:
In the DNM (Double negative material) can produce a positive phase shift with propagation away from the source. The composite transmission line is realized by using the double-negative and the double-positive transmission line. The double-negative composite transmission lines structure is composed of the negative permeability realized by the series interdigital capacitors and the negative permittivity achieved by defected ground structures (DGS). A novel ultra-wideband filter based on the double-negative composite transmission lines is proposed. The simulation and experiment results indicate that such structures have advantages of wide band, low loss and are easy to design and produce.
Key words: Microwave Metamaterials, Double-negative material(DNM), Double-negative composite transmission structure

目录
第一章 绪论 4
§1.1 研究背景及意义 4
§1.2 微波复合介质材料的理论研究 7
§1.2.1 微波复合介质材料的理论研究 8
§1.2.2 微波复合介质材料的研究方法 8
§1.2.3 微波复合介质材料的应用研究 8
第二章 微波复合介质材料相关理论 10
§2.1 双负复合介质材料的基本特性 10
§2.1.1 Maxwell方程组的左手性 10
§2.2 双负复合介质材料特有的效应分析 15
§2.2.1 逆多普勒(Doppler)效应 15
§2.2.2 逆Snell定律：负折射 16
§2.2.3 “LH平板透镜”聚焦 19
§2.3 双负复合介质材料的产生基础 20
§2.3.1 空间负介电常数的产生方法 21
§2.3.2 空间负磁导率的产生方法 23
§2.3.3 传输线负介电常数和负磁导率的产生方法 28
§2.4 结论 32
第三章 微波复合介质材料传输系统 33
§3.1 基于复合介质材料的混合传输线结构超宽带滤波器设计 33
§3.1.1 基本设计原理 33
§3.1.2 宽带滤波器的物理实现 36
§3.1.3 数值仿真及分析 38
§3.1.4 结论 40
§3.2 基于SRR-DGS的低通滤波结构 41
§3.2.1 SRR-DGS特性分析 41
§3.2.2 改进型SRR DGS及其级联结构低通滤波器 42
§3.3 小结 46
参考文献 47
致 谢 48

第一章 绪论
§1.1 研究背景及意义
近几年来，微波领域的光子晶体结构越来越引起人们的关注，相关的理论研究以及应用探索成为世界各国科研工作者的研究热点，光子晶体(Photonic Crystal)又称为光子带隙(Photonic Bandgap-PBG)结构[1],也称电磁带隙(Electromagnetic Bandgap-EBG) [2]，它是一种介质材料在另一种介质材料中周期分布所组成的周期结构。
早期，EBG结构需要在多种介质材料中相掺杂，其制作与分析都比较复杂。1998年，Yongxi Qian针对微带线提出了一种新的EBG结构[3]，在接地金属板上蚀刻出周期结构，就可实现EBG性能，正是这样一种结构的提出，使得EBG结构可以由金属材料和介质材料混合而成，同时更加复杂的金属和介质混合结构二维EBG结构高阻抗表面[4]也得到迅速发展，如图1.1所示，
EBG结构相关理论以及应用的研究已经成为了一个重要的研究方向。
介质与介质混合 介质与金属混合（1维） 介质与金属混合（2维）

图1.1 EBG结构示意图
最近，人工成功合成了在某一特定频段同时具有负介电常数和负磁导率的材料，其具有很多极具利用价值的奇异特性，从而在固态物理、材料科学、光学和应用电磁学领域内开始获得愈来愈多的关注。这种人工合成材料由于其介电常数和磁导率均为负值，故称双负材料(DNM：double-negative material)[5]。
双负材料的概念最早是由前苏联物理学家Veselago[6]于1968年提出，他以麦克斯韦方程组为基础，对电磁波在介电常数ε和磁导率μ同时为负值的介质中的传播特点作为纯理论的研究，并预测其突出的电磁特性。但是因为自然界中没有发现这种介质材料，所以他的研究结构在上个世纪一直没有得到实验验证，更没有得到深入的研究。
英国帝王理工学院J.B.Pendry的研究使双负媒质的人工实现了可能。在1996年，J.B.Pendry撰文指出，以一定密度周期排列的金属细线(Rod)阵列可构造出等效介电常数ε为负值的介质材料[7]，在1999年，J.B.Pendry又提出了以周期排列的金属开路环谐振器(Split-Ring Resonator-SRR)构造等效磁导率μ为负的介质材料的方法。
美国加州大学圣迭戈分校以D.R.Smith教授为首的科研小组于2000年利用Pendry教授的理论模型将细金属丝板和金属谐振环板有规律地排列在一起，制作了世界上第一块等效介电常数ε和磁导率μ同时为负值的人造介质材料。利用实验证明了当电磁波斜入射到双负介质和常规介质的分界面，折射波的方向与入射波的方向处在分界面法线同侧，并将这一结论发表在2001年《Science》杂志上，双负介质材料的发现被《Science》杂志评为2003年科学十大进展之一。

图1.2 最早用于实验的双负介质材料示意图
在经典电动力学中材料的电磁性质是用介电常数ε和磁导率μ两个宏观参数来描述的。自然物质的这两个参数一般都是与频率有关，并且在绝大多数的情况下它们都为正，且电磁学的基础是由麦克斯韦方程组描述宏观电磁现象，它揭示了电场与磁场之间，以及电磁场与电荷、电流之间的相互关系，是电磁场的基本方程，是分析电磁问题的基本出发点。通常在麦克斯韦方程组中主要讨论的是介电常数ε和磁导率μ为正值的自然界物质。
在已知的物质世界中，对电介质而言，介电常数ε和磁导率μ都为正值，根据Maxwell方程组，电场，磁场和波矢三者构成右手关系，这样的规则一直以来被认为是物质世界的常规。双负介质材料的提出将人类对物质材料的认识进一步拓宽。
可以发现原来主要受到科学界关注的双正材料(即自然界存在的物质材料)，仅仅是物质世界的一小部分，更多的材料可能是人工合成材料。前面已经提到，电磁学中物质材料的电磁性质是用介电常数ε和磁导率μ两个宏观参数来描述的，从而也可以现有的物质结构(包括自然界存在的和通过人工合成)根据其电磁特性进行分类，可以通过介电常数ε和磁导率μ取值，将电磁材料分成四大类。
以介电常数ε的取值为横坐标，磁导率μ为纵坐标的坐标系中，将介质材料按介电常数ε和磁导率μ的正负关系分布在四个象限中，如图1.3所示。(1)具有介电常数ε和磁导率μ同时都是正值的物质结构，主要以传统的自然界存在的绝大多数物质为代表，在第一象限；(2)具有负介电常数ε和正磁导率μ的物质结构，主要以等离子体和周期性排列的金属细线结构为代表，在第二象限；(3)具有正介电常数ε和负磁导率μ的物质结构，主要以铁氧体结构和周期性排列的开路环谐振器结构为代表，在第四象限；(4)具有介电常数ε和磁导率μ同时都是负值的物质结构，主要以细金属丝板和金属谐振环板有规律地排列的组合为代表，在第三象限。
μ>0 ε>0
μ<0 ε>0
构造磁负材料
μ<0 ε<0
构造双负材料
μ>0 ε<0
构造电负材料
传统双正材料

图1.3 复合介质材料分类图
对于四个象限的物质材料(包括EBG材料)，由于具有的电磁特性不同，从研究的角度不同，其名称也有很多，例如第三象限中的磁导率μ和介电常数ε均为负值的双负材料，根据电磁波在其中的电场、磁场与波矢量的左手关系也有的称为左手物质(LHM: left-handed materialy)；根据其折射率小于零的特性称其为负折射率物质(NIM: negative-index material)；根据其相速度与群速度反向特性也称其为后向波物质(BWM: backward wave materal)，根据其构成方法也称复合介质材料(Metamaterial)，根据其有异于传统材料的诸多特性也称其为异向介质等。但是通观四个象限的这种物质结构，由于其制作方法主要是由金属材料和介质材料合成或不同介质材料合成，故可以将其泛称复合介质材料。
而现今在复合介质材料的研究中最引入关注的是电磁带隙材料的研究和双负材料的研究。本文中研究的具体问题主要集中在微波频段，因此在文中采用微波复合介质材料这一名词来说明这类物质材料的特性。本文从微波复合介质理论和基本结构入手，通过理论和数值分析，结合具体实验，着重研究了微波复合介质中电磁带隙材料和双负材料在微波天线和传输系统中的应用情况。提出和验证了将微波复合介质材料通过合理设计能有效提高天线和微波传输系统的性能。
§1.2 微波复合介质材料的理论研究
§1.2.1 微波复合介质材料的理论研究
EBG材料的理论分析在EBG材料的应用设计中起到关键的作用。EBG结构最根本的特性是频率禁带特性，而频率禁带可以通过其结构来描述，也可以通过传输特性来描述。对EBG材料的先期进行理论分析，了解其禁带特性与各种参数之间的关系，不仅可以帮助深入理解EBG的带隙形成机理，而且对EBG材料以及各种基于EBG结构的器件设计也可提供强有力的理论支持。
EBG结构从描述上来看是一种周期结构，而对于周期结构的分析，一般分为两方面：一方面是其对平面波的响应，也就是对于一个入则的平面波，计算其反射和传输信号特性，这在分析频率选择表面和EBG材料覆层中体现的比较突出；另一方面是对表面波的抑制问题，在分析高阻表面结构中尤为突出。利用EBG高阻表面结构的频率禁带特性合理抑制表面波，可以提高辐射源的辐射效率。
对EBG结构的基本理论的介绍有不少文献进行了讨论和分析，在本文中的理论研究中主要关注复合介质材料中双负材料的研究，因为其有着常规自然材料所不具有的独特电磁特性，十分具有研究意义。理想双负介质的研究，最早由V.G.Veselago从理论上指出双负介质的存在不违反已知的物理学定律，并描述了逆多普勒效应、平板聚焦、凹透镜汇集等现象。
§1.2.2 微波复合介质材料的研究方法
在研究复合介质材料研究方法中，目前主要应用于EBG材料的有，计算理想一维、二维或三维无限结构的EBG带隙特性可以通过平面波展开法进行计算，规整的有限结构也可以采用传输矩阵法来计算。在微波波段，由于微波波长较长，采用全波分析方法计算，将更为准确，比如时域有限差分法(FDTD)、有限元法(FEM)、矩量法(MoM)等。
§1.2.3 微波复合介质材料的应用研究
近几年，在复合介质材料的研究中，EBG材料的研究快速发展起来，并且不断被应用于微波频段不同领域。利用一维和二维介质EBG结构设计高方向性天线，将EBG结构制成覆层结构，覆盖于天线上方可以有效提高天线的方向性。利用金属和介质材料合成的微带基片上，针对微带结构设计得到EBG结构，可以将其应用于微波滤波器、混频器、高效放大器和谐波抑制器中，可有效地改善微波电路的性能。将二维EBG高阻表面结构应用于天线及其阵列中,可有效提高天线的前向增益，改善天线及其阵列的辐射方向图。
另一方面，双负材料也因为其具有的独特特性，得到了广泛的应用。在微波波段，负折射率材料已经被人工实现，D.R smith等人把金属阵列和开路环谐振器阵列同时印制在印刷电路板上，做成微波频段下的左手介质，通过测试得出在10.2～10.8GHz的频段内，其折射率为负。因此，采用这些样品可以在电磁波段实现Pendry的完美透镜。由于负折射率介质平板的汇聚特性，还可以起到天线搬移的功能，也可以实现高精度雷达成像。
由于负折射材料是色散介质，因此在某个频段其折射率为0。利用负折射材料在这个频段内折射率接近于0的特性，还可以调节天线的波束，发射源位于负折射材料平板中，根据Snell定律，每束波透射到真空中时发生折射，折射角接近于0，基本上沿着近轴方向(z轴)辐射，由此实现的天线具有很强的定向辐射能力。
利用双负材料所具有负折射率现象，用传输线结构实现了可以控制辐射角度和波瓣宽度的漏波天线，每个单元都有一个变容二极管调节传输线的参数，通过调节变容二极管的电压，可以随意控制传输线在负折射率和正折射率范围内切换，从而控制天线具有前向辐射，后向辐射的功能。通过分配不同交容二极管的电压，还可以控制天线波瓣的形状和宽度。
将双负材料的混合传输线应用于微带天线中可有效地缩小微带天线的尺寸。应用双负材料的混合传输线可以构建宽带滤波器；在固定传输线长度上实现任意相移量的移相器；构建任意耦合的耦合线耦合器；构建双波段分支线耦合器等等。
微波复合介质材料所涉及的研究领域十分广泛。自1996年以来，有关复合介质材料的文章越来越多，相关领域涉及微波、电路、光学、材料等。许多文章都发表在PRL、APL、JAP的物理学权威杂志上，在《自然》、《科学》等权威杂志上也有相关研究报道。

第二章 微波复合介质材料相关理论
本章对微波复合介质材料中有异于传统媒质材料的双负复合介质材料相关理论进行了研究。首先阐述双负复合介质材料的基本特性，介绍了双负复合介质材料中相速群速非平行性是如何存在的，通过Maxwell方程组推导出材料的负折射关系，接着对双负复合介质材料所特有的效应进行了分析。最后对双负复合介质材料的两种产生方法进行了介绍，并说明了其等效电路模型。
§2.1 双负复合介质材料的基本特性
双负复合介质材料以介电常数和磁导率小于零为初始条件，通过对电磁波的Maxwell方程进行分析就可以得到其基本特性。这里引用了参考文献[1]的内容，对双负复合介质材料的基本特性进行了分析，并对双负复合介质与普通介质交界处的边界条件进行了讨论。
§2.1.1 Maxwell方程组的左手性
双负复合介质材料是同时具有负电介电常数ε和负磁导率μ的电磁媒质。将证明基本参数ε和μ的双负特性将使电磁波的传播具有非平行相速和群速或左手特性的波。从Maxwell方程组出发：
(Faraday定律) (2.1a)
(Ampere定律) (2.1b)
e (电Gauss定律) (2.1c)
m (磁Gauss定律) (2.1d)
其中，(V/m)是电场强度， (A/m)是场强强度， (C/m2)是电通量密度, =(W/m2)是磁通量密度, (V/m2)是磁电流密度(假想), (A/m2)是电流密度, e(C/m3)是电荷密度，m(C/m3)是磁荷密度(假想)。另外，如果媒质是线性的(ε，μ不依据或者)和非色散的(ε，μ不依据ω)，成对矢量[,], [,]相关的本构方程为：
(1+) (2.2a)
(2.2b)
其中和分别为电、磁磁化系数，和分别是自由空间的介电常数和磁导率，和分别是所考虑媒质的介电常数和磁导率。后者可以写成：
， (2.3a)
， (2.3b)
在(2.3)的两个方程中，ε和μ的虚部代表损耗：是介电衰减引起的损耗，为有限导电率的损耗，为磁介电衰减引起的损耗，为有限磁导率(假想)的损耗。假设谐振场具有时间因子以及定义的相应的相量，
(2.4)
其中代表方程(2.1)中的任何一个物理量，Maxwell方程组和本构方程可以被写作:
(2.5a)
(2.5b)
(2.5c)
(2.5d)
以及
(2.6a)
(2.6a)
考虑平面波
(2.7a)
(2.7b)
其中代表波阻抗。因为任何的物理量可以通过傅立叶变换表示为平面波的叠加，因此，考虑一个单独的平面波可以提供一种媒质的基本响应信息。这个信息可以通过将平面波方程(2.7)代入前两个Maxwell方程组(2.5)直接获得。
简单起见，考虑一个位于无源区域的无耗媒质。在右手媒质情况下，，有
, (2.8a)
(2.8b)
这就是图2.1(a)所示的熟悉的右手系()。相反，在LH媒质中，，因此
, (2.9a)
(2.9b)
这就建立了图2.1(b)所示的左手系()。

(a)传统的双正媒质右手系 (b)构建的双负媒质左手系
图2.1 电场矢量、磁场矢量、波矢量和波印廷矢量关系图
为了简化称谓，对传统的双正媒质右手系材料简称右手媒质(Right-Hand RH)，对于构建的双负媒质左手系材料简称左手媒质(Left-Handed LH).
对于频率量总是正量，因此相速度为：

(2.10)
在左手系(LH)媒质式(2.8)与右手系(RH)媒质式(2.9)中相速度相反。而且已知波数β在RH媒质(由源向外传播)是正的，在LH媒质中(向内传向源)为负：
RH媒质：β>0 (2.11a)
LH媒质：β<0 (2.11b)
概括之，方程(2.8)和方程(2.9)可以简写为一个关系
(2.12a)
(2.12b)
其中，s是手性符号定义为
(2.13)
从方程(2.9)或方程(2.12)和图2.1(b)可以看出，在LH媒质中的相位，涉及到相速𝜈p与群速𝜈g相反的方向传向源。在采用时变函数以及假设功率以空间变量正值方向r传播，后向传播隐含了场有时间和空间的函数
(2.14)
在这个表达式里，已经隐含横向电磁(TEM)在均匀的和各向同性的媒质中传播占主要地位，所以传播常数在媒质中只有一项等同于波数

(2.15)
其中：
(2.16)
n是折射率。在LH媒质中，因为，从方程(2.15)和方程(2.16)得到一个负的折射率(NRI)，n <0(所以|n|=-n)。这说明在具有介负电常数和负磁导率的媒质中，折射率为负。折射率因此可以被写作：
(2.17)
其中，s的定义如(2.13)。
为了更好地理解上诉的隐含意义，考虑Poynting理论，从图2.2所示的体积中可以写作[2]：

(2.18a)
其中：

(2.18b)

(2.18c)

(2.18d)

(2.18e)

(2.18f)

S
V

图2.2 在体积V中形成闭合表面S和包含的场强，源
这个定理表达了在体积V中由源和产生复功率，以流出V表明S的闭合面的复功率，V由于电、磁导率、介电、磁时间平均损耗，以及时间平均电、磁储能，。功率流涉及到波印廷矢量，定义为
(2.19)
波印廷矢量，涉及到方程(2.18c)中的功率流，是沿着能量传播的方向，因此平行于群速
(2.20)
因此，与波矢量相反，波印廷矢量不依靠于媒质的基本参数(，仅仅依靠这个结论完整了RH和LH媒质的特性(图2.1)，考虑功率流方向为正，这可以总结如下：
RH媒质： (2.21a)
LH媒质： (2.21b)
相速为负这个事实看起来有些问题。然而，如果理解相速仅相应于微扰而不是能量的传播，这看起来更容易接受。相反，负群速将违反因果性，因为它相应于向源传播能量[3]。如果具有正值的负斜射率色散曲线常常在标准的色散图中观测到，这些曲线应该被解释为波方程的本征解相应于源放于另外一端的情况(能量从空间变量的正值转化为负值)。
§2.2 双负复合介质材料特有的效应分析
§2.2.1 逆多普勒(Doppler)效应
考虑沿z运动的源S，向全空间辐射角频率为电磁波，如图2.3所示。

(a)传统RH媒质 （b）双负LH媒质
图2.3 Doppler效应对比图
在源的远区，辐射场由以下形式[4]；

(2.22)
其中代表S运动和辐射媒质中的波数，r是球坐标系中的标准的半径变量。
考虑沿着源运动的方向辐射的情况，例如对于r=z(在)。如果源以速度向正z方向运动，它的位置是时间的函数z=。接下来，位于S左手边的观察者O所看到的相位(向正z方向看向S)，沿着z轴可以写作：

(2.23)
由方程(2.10)知因为。t的系数是Doppler频率，这与无运动源()的频率不同，Doppler频率偏移，
(2.24)
其中s是方程(2.13)所定义的手性符号。在RH媒质中，因为,,因此由看后退的源观察者测量的频率是向下偏移的或者“红外”，如图2.4(a)所示；另一种情况，位于源右手边的观察者看到一个前进的源，他测量的频率向上偏移或者“蓝外”，因为的符号对于观察者来说符号改变[5]。在LH媒质中，因为,整个现象颠倒，如图2.3(b)所示：后退波源的Doppler频率是蓝外，而前进波源的Doppler效应是红外。这种在LH媒质中的反Doppler现象由Veselago在1968年作为左手的直接结果指出。
§2.2.2 逆Snell定律：负折射
LH媒质最显著的一个特性是它们的负折射(NRI)[6]，这已在2.1节证明了。在本节中，将展示LH媒质当与RH媒质相接时的结果。
考虑平面波入射到两个均匀的媒质边界的经典问题，如图2.4所示。

图2.4 相位匹配边界
一般，在媒质1中入射波为,在媒质1中产生的反射波为，在媒质2中产生的传输波(折射)。边界条件方程需要对于所有的x和y在z=0处和的切向分量连续。记入射、反射、传输电场的切向幅度分别为，，，对于所有的情况，在z=0处有
(2.25)
因为在媒质1中总场为入射和反射之和，而媒质2中总场为传输场。对于所有的x和y(界面处)这个方程成立仅有的一种办法为，因此有
(2.26a)
(2.26b)
这说明波数在两媒质的界面处的切向分量是连续的
(2.27)
这个关系式相位匹配，这是和的切向分量的连续性的直接结果，由于和连续性在这种情况下的守恒，在RH媒质和LH媒质的交界处依然成立。由相位匹配条件提供的另外一个信息是入射、反射和传输波矢量必须位于同一个入射平面，这个平面由和垂直于界面(z轴)决定。
波数的切向分量可以在图2.4的帮助下表示为它们相应角度的函数。例如，对于x的分量，有
, (2.28)
其中波数是

(2.29)
方程(2.27)和(2.28)应用于入射和反射波导致了关系，再根据方程(2.29)，得到Snell反射定律
(2.30)
这个定律在RH媒质和LH媒质的交界面处事不改变的，因为它涉及到同样的媒质。方程(2.27)和(2.28)应用到入射和传输波导致了关系,再由方程(2.29)，产生Snell折射定律
(2.31)
这个关系在RH媒质和LH媒质的交界面处应该修改，是因为LH媒质的折射率的离奇负号(2.1节)。Snell折射定律可以被写为更为一般的情况
(2.32)
其中它显示如果两个媒质都是LH的，Snell定律由于两个折射率的两个负号的相同互相抵消而不变。从(2.32)可以看出，在RH媒质和LH媒质的交界面处有反Snell定律，如图2.5所显示的。波入射到具有相同手性的媒质(例如：RH)的界面处，会有正折射，以正折射角为特性如图2.5(a)所示，而在不同手性的两种媒质的界面处的光束(RH和LH)经历负折射，相应于负折射角或者NRI如图2.5(b)所示。

(a)正折射情况 (b)负折射情况
图2.5 电磁波在不同媒质结构界匾的折射现象
波矢量的垂直分量在RH/RH和LH/LH界面处平行而在RH/LH界面处反平行在图2.5直接显现出来。在界面处波矢量的垂直分量之间的关系可以写成一般的形式
(2.33)
图2.7也说明相应于2.1节波印廷矢量在RH媒质中是平行的，而在LH媒质中是反平行的。
§2.2.3 “LH平板透镜”聚焦
对于夹在两个RH媒质中间的LH板，也称为LH透镜，应用两次Snell定律可以获得图2.6所示的双聚焦。

图2.6 LH平板透镜的双聚焦示意图
距离第一个交界面l远的源的两条具有对称角度辐射线，经过负折射具有相同的幅度，在板中距离s处相遇；它们经过第二次负折射在RH媒质中距离第二个交界面d-l处重新聚焦，其中s可以通过简单三角运算获得

(2.34)
其中角度是入射角，是由Snell定律方程(2.33)获得的，。公式(2.34)说明如果两个媒质具有相同的电磁密度，相同幅度的折射率,聚焦在位于源的镜像位置获得，s=l,因为从Snell定理推出

(a)两种媒质有一样的电磁密度 (b)两种媒质有不一样的电磁密度
图2.7 球面消失问题
现在考虑，不是两个孤立的平面波(图2.6)，而是考虑一组平面波(线)，或者更广泛的圆柱(2D问题)电磁波，正如点源典型的辐射。为达到较好的聚焦，两个媒质具有相同的电磁密度是必须的。在这种情况下，具有入射角的每对l的对称辐射线在相同点聚焦，因为，，依据方程(2.34)，所以聚焦距离对于所有的射线对都是相同的，，如图2.7(a)所示。如果两个媒质的电磁密度不相同(，不同入射角的辐射线折射到不同的聚焦点，因为不同点的是不同的，导致了不同的聚焦距离。在这种情况下，如图2.7(b)所示发生了聚焦点退化为散开的聚焦区域，且随着折射率的增大而面积增大。
§2.3 双负复合介质材料的产生基础
双负复合介质材料需同时使材料中的介电常数和磁导率为负值，本节中应用参考文献的内容讲述双负复合介质的实现原理。近来，在国际上对双负复合介质的构成主要有两种方法，一、利用金属细线和开口谐振环阵列结构在空间实现；二、利用在传统传输线上加载串联电容和并联电感来实现。本节分别对其进行介绍。
§2.3.1 空间负介电常数的产生方法
根据有关文献，电等离子体在某些频段可以出现介电常数为负的情况，采用金属细线为基本单元的结构通过周期性排列，可以实现等离子体的特性。等离子体的介电常数表示为Drude模型：

(2.35)
其中为等离子体频率。其介电常数随频率发生变化，当工作频率小于时，将小于0，但此时磁导率大于0波矢为虚数，电磁波为倏逝波状态，将没有波在等离子体内传播。金属在光波频段和近紫外频段可以看做等离子体，但对较低的频段其损耗很高破坏了这种特性。如果可以人工构造一种等离子体，使其等离子频率较低，即可较为容易地得到负介电常数。
J．B．Pendry在1996年提出了一种复合介质结构，他通过金属细线(Rod)构成周期结构，电场在金属线上的电感效应，可以实现人工等离子体。由于金属线的周期尺寸远远小于工作波长，可以将这种结构构成的物质在工作频率段看作一种均匀的复合介质材料。
这种复合介质材料产生等离子效应的原理是电磁场在金属细线上产生感应电流，使金属线上正负电荷分别向两边聚齐，从而产生与外来电场反向的电动势。对于一种体现等离子效应的复合介质，根据其结构单元的周期尺度和Rod的直径，如果可以得到等离子频率值就可得到这种等离子体的等效介电常数了。
等离子频率的定义为。其中平均电荷密度为，n为金属内的电荷密度。m为总动量值，求出总动量即可得到等离子频率，然后根据等离子体的Drude模型表达式就可以得到等效介电常数的值了。

图2.8 三维空同无限长金属细线构成的Rod周期结构示意图
如图2.8所示，假设周期边长为a，对于一根金属细线，其一个周期的覆盖面积为。可以将其等效为半径为的一个圆面积，即。
由，积分得到：
(2.36)
对于半径为R的面积进行积分可以得到：
(2.37)
由于，A为矢量位，则。 对于一个周期内处：
(2.38)

(2.39)
(2.40)
(2.41)
由此，金属细线构成的周期结构等效等离子体的介电常数可以表示为：
(2.42)
为金属线的电阻率。
这种结构的复合介质中由于金属结构都为平行的细线，可以通过调整金属线周期尺度和线的粗细在需要的频率段得到负的介电常数。因为磁场作用在金属细线上的效应很微弱，基本可以忽略，因此磁导率可以近似看为常数。
§2.3.2 空间负磁导率的产生方法
根据利用电等离子体在其谐振频率下得到负介电常数的方法，如果可以构建有相似频率响应的曲线的磁等离子体，就可以得到负的磁导率。如果类比电荷一样存在磁荷，那这种方法将比较简单，但是到目前为止还未有磁荷存在的有利证据。虽然如此，由法拉第定律可知，环形电流可以产生一个类似磁极子的场分布，可以由电流环来代替磁荷。J.B.Pendry在1999年提出了开路电流环谐振器(splitering resonator-也称SRR结构)，利用这种结构构造的复合介质可以产生磁等离子体效应，从而产生负的磁导率。SRR的基本结构如图2.9所示：

图2.9 SRR结构示意图
设圆环半径为r，内外环间距为d，环宽度为c，如果人，且，假设SRR为纵向尺度为无穷大的柱体，在横向两个方向上周期状排列，周期尺度为a。
对于简单的金属环构成的柱体，假设环上感应电流j在环外磁场强度为，环内磁场强度为，垂直穿过环的均匀外部磁场为，由于穿过环内外的磁通量是相等的，则
(2.43)
环上电流j为内外环磁场的差，即
(2.44)
(2.45)
可以得到环内磁场强度为外部磁场和感应电流产生的环内磁场之和：
(2.46)
根据法拉第定理，金属环上的总电动势为外部磁场产生的电动势和感应电流产生的电动势以及导体电阻产生的压降之和：
(2.47)
其中为金属环圆周每单位面积上的电阻率，此时纵向尺度即金属柱的高度为单位长度。由于环路总电动势为零，可以得到感应电流j的表达式：
(2.48)
在金属环所在区域内平均磁通量为，而此时金属环外的平均磁场强度为：
(2.49)
由金属环构成的周期结构在磁场作用下产生的效应是环外部区域的磁场所决定的，所以可以得到此种复合介质的等效磁导率为：
(2.50)
对于SRR结构，环路电动势为：
(2.51)
其中为SRR上电流产生的压降，。
令内外环上的电压为：

(2.52)

由安培定律可以得到：

(2.53)