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2021中考数学热点题型专练 一次方程

2021中考数学热点题型专练 一次方程

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热点04 一次方程（组）
【命题趋势】
在中考中，一次方程（组）的解和应用考查的比较广泛，难度不大，选择题、填空题和解答题中都会出现，常与一元一次不等式（组）结合考查.
【满分技巧】
1．一元一次方程的概念及解法
一次方程用到的思想方法：
（1）整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷；
（2）转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax=b；
（3）数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题；
（4）方程思想：利用其他知识构造方程解决问题．
2．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润=售价﹣进价，利润率=×100%）；（4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）；
（5）行程问题（路程=速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和、差、倍、分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
3．方程组及其应用
解二元、三元一次方程组的基本思路是消元．
基本解法有：代入消元法和加减消元法．
（1）代入法：将方程组中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解.这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法；
方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1时，用代入法较简便.
（2）加减法：通过将方程组中两个方程加减，消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.
当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等时，用加减法较简便.
二元一次方程组的解应写成的形式．
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；
②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．一元一次方程x–2=0的解是
A．x=2 B．x=–2
C．x=0 D．x=1
【答案】A
【解析】x–2=0，解得x=2．故选A．
2．二元一次方程组的解为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
＋②得：5x=15，即x=3，
把x=3代入②得：y=–3，
则方程组的解为
故选A．
3．已知是方程的解，则
A．1 B．2
C．3 D．7
【答案】A
【解析】∵x=7是方程2x﹣7=ax的解，
∴代入得：14﹣7=7a，
解得：a=1，
故选A．
4．已知，则等于
A．1 B．3
C．–1 D．–3
【答案】B
【解析】，
①×2–②得，–b=0，
∴b=0，
把b=0代入①得，a=3，
∴a+b=3+0=3．
故选B．
5．（2019年湖北省武汉市九年级四月调考数学试卷）以方程组的解为坐标的点（x，y）在
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】解方程组得：，
解点的坐标是（﹣4，14），
所以点在第二象限，
故选B．
6．《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问若每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读x个字，则下面所列方程正确的是
A．x+2x+4x=34685 B．x+2x+3x=34685
C．x+2x+2x=34685 D．x+x+x=34685
【答案】A
【解析】设他第一天读x个字，根据题意可得：x+2x+4x=34685，故选A．
7．《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百+器田七亩，价五百．今并买一頃，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值300钱；坏田7亩，价值500钱．今共买好，坏田1顷（1顷=100亩），价线10000钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x南，坏田买了y亩，根意可列方程组为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】1顷=100亩，
设好田买了x亩，坏田买了y亩，依题意有：．
故选B．
二、填空题
8．如果5x+3与﹣2x+9是互为相反数，则x﹣2的值是__________．
【答案】﹣6
【解析】由题意得：5x+3+（﹣2x+9）=0，
解得：x=﹣4，
∴x﹣2=﹣6．
故答案为﹣6．
9．若二元一次方程组的解为，则m+n=__________．
【答案】2
【解析】，
①+②得：5x+5y=10，
∴x+y=2，
方程组的解为，
∴m+n=x+y=2．
故答案为：2．
10．已知关于x，y的方程组的解为，写出一次函数y=﹣x+1和y=﹣的图象交点P的坐标是_____．
【答案】（﹣1，2）
【解析】∵关于x，y的方程组的解为，
∴一次函数y=﹣x+1和y=的图象交点P的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
11．某校要组织体育活动，体育委员小明带x元去买体育用品．若全买羽毛球拍刚好可以买20副，若全买乒乓球拍刚好可以买30个，已知每个乒乓球拍比每副羽毛球拍便宜5元，依题意，可列方程为_________．
【答案】
【解析】羽毛球单价为，乒乓球单价为，由题干可得，故答案为：．
12．下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为__________．

【答案】10
【解析】设“△”的质量为x，“□”的质量为y，由题意得：，解得，∴第三个天平右盘中砝码的质量=2x+y=2×4+2=10；故答案为：10．
13．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以
80 km/h的速度行驶1 h后乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1 h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，则m=__________，点H的坐标__________．

【答案】80；（7，80）
【解析】由题意可得，
乙车的速度为：=120 km/h，
m=120×6﹣80×（6+1）=160，
点H的纵坐标为：160﹣80×1=80，横坐标为7，
即点H的坐标为（7，80），
故答案为：80；（7，80）．
三、解答题
14．解一元一次方程：．
【解析】方程两边同时乘以6得：3x﹣2（2x﹣1）=6，
去括号得：3x﹣4x+2=6，
移项得：3x﹣4x=6﹣2，
合并同类项得：﹣x=4，
系数化为1得：x=﹣4．
15．解方程组：．
【答案】
【解析】，
②–①得，4y=8，解得y=2，
把y=2代入①得，x–2=1，解得x=3，
故原方程组的解为．
16．我国古代民间流传着这也一道数学题“只闻隔壁客分银，不知人数不知银，四两一分多四两，半斤一分少半斤．借问各位能算者，多少客人多少银？其大意是：有客人在分银子，若每人分四两，则多出四两，若每人分半斤，则少半斤．问有多少客人？多少银子？（注：古代旧制：半斤=8两），试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．
【解析】设有x个客人，y两银子，
根据题意得：y–4x=48x–y=8
解得：x=3，y=16．
答：有3个客人，16两银子．
17．某书店购进甲、乙两种图书共100本，甲、乙两种图书的进价分别为每本15元、35元，甲、乙两种图书的售价分别为每本20元、45元．
（1）若书店购书恰好用了2300元，求购进的甲、乙图书各多少本？
（2）销售时，甲图书打8.5折，乙图书不打折．若甲、乙两种图书全部销售完后共获利，求购进的甲、乙图书各多少本？
【解析】（1）设购进甲图书x本，乙图书y本，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲图书60本，乙图书40本．
（2）设购进甲图书m本，则购进乙图书（100﹣m）本，
依题意，得：20×0．85m+45（100﹣m）﹣15m﹣35（100﹣m）=[15m+35（100﹣m）]，
解得：m=75，
∴100﹣m=25，
答：购进甲图书75本，乙图书25本．
18．世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而开用丝巾遮盖口鼻，如《礼疏》载：“掩口，恐气触人，“和《孟子•离要）记：“西子蒙不洁，则人掩鼻而过之，”用手成袖括鼻子是很不卫生的，也不方便做其他事情，后来有人就用一块绢布来蒙口鼻，马可•波罗在他的（马可•波罗游记》一书中，记述他生活在中国十七年的见闻．其中有一条：“在元朝宫殿里，献食的人，皆用组布蒙口鼻，俾其气息，不触饮食之物，”这样蒙口鼻的绢布，也就是原始的口罩．由于雾霾天气发，市场上防护口罩出现热销，某药店准备购进一批口，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元：2个A型口罩和1个B型口罩共需28元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，请设计出最省钱方案？
【解析】（1）设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，依题意有：
，解得：，
答：一个A型口罩的售价是8元，一个B型口罩的售价是12元．
（2）设A型口罩x个，依题意有：，
解得330≤x≤，
∵x为整数，∴x=330，331，332，333．
方案如下：
方案
A型口罩
B型口罩
一
330
170
二
331
169
三
332
168
四
333
167
设购买口罩需要y元，则y=8x+12（500﹣x）=﹣4x+6000，k=﹣4<0，
∴y随x增大而减小，∴x=333时，y的值最小．
答：有4种购买方案，其中方案四最省钱，需要4668元．