2019年深圳中考数学试卷(详细答案版本).doc

2019年深圳中考数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分）
1. -15 的绝对值是   
A. -5 B. 15 C. 5 D. -15

2. 下列图形中，是轴对称图形的是   
A. B.
C. D.

3. 预计到 2025 年，中国 5G 用户将超过 460000000 ，将 460000000 用科学计数法表示为   
A. 4.6×109 B. 4.6×107 C. 4.6×108 D. 0.46×109

4. 下列哪个图形是正方体的展开图   
A. B.
C. D.

5. 这组数据 20 ， 21 ， 22 ， 23 ， 23 的中位数和众位数分别是   
A. 20 ， 23 B. 21 ， 23 C. 21 ， 22 D. 22 ， 23

6. 下列运算正确的是   
A. a2+a2=a4 B. a3a4=a12 C. a34=a12 D. ab2=ab2

7. 如图，已知 l1∥AB ， AC 为角平分线，下列说法错误的是   

A. ∠1=∠4 B. ∠1=∠5 C. ∠2=∠3 D. ∠1=∠3

8. 如图，已知 MN 与 AC 相交于点 D ，则 △BDC 的周长为   

A. 8 B. 10 C. 11 D. 13

9. 已知 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图，则 y=ax+b 和 y=cx 的图象为   

A. B.
C. D.

10. 下列命题正确的是   
A. 矩形对角线互相垂直
B. 方程 x2=14x 的解为 x=14
C. 六边形内角和为 540∘
D. 一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

11. 定义一种新运算 ban⋅xn-1dx=an-bn ，例如 hk2xdx=k2-h2 ，若 5mm-x-2dx=-2 ，则 m=   
A. -2 B. -25 C. 2 D. 25

12. 已知菱形 ABCD ， E ， F 是动点，边长为 4 ， BE=AF ， ∠BAD=120∘ ，则下列结论正确的有几个   
① △BEC≌△AFC ；
② △ECF 为等边三角形；
③ ∠AGE=∠AFC ；
④若 AF=1 ，则 GFEG=13 ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：ab2-a=  ．

14. 现有 8 张同样的卡片，分别标有数字： 1 ， 1 ， 2 ， 2 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机地抽取一张，抽到标有数字 2 的卡片的概率是  

15. 如图，在正方形ABCD中， BE=1 ，将 BC 沿 CE 翻折，使 B 点对应点刚好落在对角线 AC 上，将 AD 沿 AF 翻折，使 D 点对应点刚好落在对角线 AC 上，求 EF=  ．

16. 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90∘ ， C0,3 ， CD=3AD ，点 A 在 y=kx 上，且 y 轴平分 ∠ACB ，求 k=  ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算： 9-2cos60∘+18-1+π-3.140 ．

18. 先化简 1-3x+2÷x-1x2+4x+4 ，再将 x=-1 代入求值．

19. 某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）这次共抽取  名学生进行调查，扇形统计图中的 x=  ；

（2）请补全统计图；

（3）在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是  度；
（4）若该校有 3000 名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有   名．

20. 如图所示，施工队要测量隧道长度 BC ， AD=600 米， AD⊥BC ，施工队站在点 D 处看向 B ，测得仰角为 45∘ ，再由 D 走到 E 处测量， DE∥AC ， ED=500 米，测得仰角为 53∘ ，求隧道 BC 长．（ sin53∘≈45 ， cos53∘≈35 ， tan53∘≈43 ）．

21. 有A，B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发 40 度电，A焚烧 20 吨垃圾比B焚烧 30 吨垃圾少 1800 度电．
（1）求焚烧 1 吨垃圾，A和B各发电多少度?
（2）A，B两个发电厂共焚烧 90 吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾两倍，求A厂和B厂总发电量最大时A厂，B厂的发电量．

22. 如图抛物线经 y=ax2+bx+c 过点 A-1,0 ，点 C0,3 ，且 OB=OC ．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点 D ， E 在直线 x=1 上的两个动点，且 DE=1 ，点 D 在点 E 的上方，求四边形 ACDE 的周长的最小值；
（3）点 P 为抛物线上一点，连接 CP ，直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，求点 P 的坐标．

23. 已知在平面直角坐标系中，点 A3,0 ， B-3,0 ， C-3,8 ，以线段 BC 为直径作圆，圆心为 E ，直线 AC 交 ⊙E 于点 D ，连接 OD ．
（1）求证：直线 OD 是 ⊙E 的切线；
（2）点 F 为 x 轴上任意一动点，连接 CF 交 ⊙E 于点 G ，连接 BG ；
①当 tan∠ACF=17 时，求所有 F 点的坐标  （直接写出）；
②求 BGCF 的最大值．

答案
第一部分
1. B
2. A
3. C 【解析】用科学计数法： a×10n ，其中 1≤∣a∣<10 ， n 是整数．
4. B
5. D
6. C
7. A
8. A
9. C
10. D
11. B
12. D 【解析】① △BEC≌△AFCSAS ，正确；
② ∵△BEC≌△AFC ，
∴CE=CF ， ∠BCE=∠ACF ，
∵BCE+∠ECA-∠BCA=60∘ ，
∴∠ACF+∠ECA=60∘=∠ECF ，
∴△CEF 是等边三角形，正确；
③ ∵∠AGE=∠CAF+∠AFG=60∘+∠AFG ； ∠AFC=∠CFG+∠AFG=60∘+∠CFG ，
∴∠AGE=∠AFC ，正确；
④选项：
方法（ 1 ）：在 △EAF 中，由角平分线定理得： GFEG=AFAE=13 ，故④正确；
方法（ 2 ）：作 EM∥BC 交 AC 于 M 点，

则 GFEG=AFEM ，
易证： △AEM 是等边三角形，则 EM=3 ，
∴GFEG=AFEM=13 ，
①②③④都正确．

第二部分
13. ab+1b-1
14. 38
15. 6
【解析】作 FM⊥AB 于点 M ，

由折叠可知： EX=EB=AX=1 ， AE=2 ， AM=DF=YF=1 ，
∴ 正方形边长 AB=FM=2+1 ， EM=2-1 ，
∴EF=EM2+FM2=2-12+2+12=6 ．
16. 477
【解析】如图所示，作 AE⊥x 轴，

由题意：可证 △COD∽△AED ，
又 ∵CD=3AD ， C0,-3 ，
∴AE=1 ， OD=3DE ，
令 DE=x ，则 OD=3x ，
∵y 轴平分 ∠ACB
∴BO=OD=3x ，
∵∠ABC=90∘ ， AE⊥x 轴，
∴ 可证： △CBO∽△BAE ，
则： BOAE=COBE ，即 3x1=37x
解得 x=77 ．
∴A477,1 ，
故 k=477 ．

第三部分
17. 原式 =3-1+8+1=11 ．
18. 原式=x-1x+2⋅x+22x-1=x+2.
将 x=-1 代入得： x+2=1
19. （1） 200 ； 15%
      （2） 统计图如图所示：

      （3） 36
      （4） 900
20. 如图， △ABD 是等腰直角三角形， AB=AD=600 ，
作 EM⊥AC 于点 M ，则 AM=DE=500 ，

∴BM=100 ，
在 △CEM 中， tan53∘=CMEM ，
即 CM600=43 ，
∴CM=800 ，
∴BC=CM-BM=800-100=700 （米），
∴ 隧道 BC 的长度为 700 米．
答：隧道 BC 的长度为 700 米．
21. （1） 设焚烧 1 吨垃圾，A发电厂发电 a 度，B发电厂发电 b 度，
则
a-b=40,30b-20a=1800,
解得：
a=300,b=260.
答：焚烧 1 吨垃圾，A发电厂发电 300 度，B发电厂发电 260 度．
      （2） 设A发电厂焚烧 x 吨垃圾，则B发电厂焚烧 90-x 吨，总发电量为 y 度，
则
y=300x+26090-x=40x+23400.
∵x≤2(90-x) ，
∴x≤60 ，
∵y 随 x 的增大而增大，
A厂发电： 300×60=18000 度，
B厂发电： 260×30=7800 度，
∴ 当 x=60 时， y 取最大值为 25800 ，
此时A厂发电 18000 度，B厂发电 7800 度．
答：A，B发电厂发电总量最大时A厂发电 18000 度，B厂发电 7800 度．
22. （1） 抛物线的解析式： y=-x2+2x+3 ，
对称轴为：直线 x=1 ．
      （2） 如图：作 C 关于对称轴的对称点 Cʹ2,3 ，

则 CD=CD ．
取 Aʹ-1,1 ，又 DE=1 ，
则可证 AʹD=AE ，
C四边形ACDE=AC+DE+CD+AE=10+1+CD+AE ，
要求四边形 ACDE 的周长最小值，只要求 CD+AE 的最小值即可．
∵CD+AE=CʹD+AʹD ，
∴ 当 Aʹ ， D ， Cʹ 三点共线时， CD+AʹD 有最小值为 13 ，
∴ 四边形 ABCD 的周长最小值为 10+13+1 ．
      （3） 方法①：令 PC 与 x 轴交于 E 点，
∵ 直线 CP 把四边形 CBPA 的面积分为 3:5 两部分，
又 ∵S△CBP:S△CAP=S△CBE:S△CEA=BE:AE ，
∴BE:AE=3:5或5:3 ，
∴E132,0 ， E212,0 ，
∴ 直线 CE 的解析式： y=-2x+3 或 y=-6x+3 ，
由 CE 解析式和抛物线解析式联立解得： P14,5 ， P28,-45 ．

方法②：由题意得： S△CBP=38S四边形CBPA 或 S△CBP=58S四边形CBPA ，
令 Px,-x2+2x+3 ，
S四边形CBPA=S△CAB+S△ABP=6+12×4⋅x2-2x-3=2x2-4x ，
直线 AB 的解析式： y=-x+3 ，
作 PH∥y 轴交直线 CB 于 H 点，则 Hx,-x+3 ，

S△CBP=12⋅OB⋅PH=12×3⋅-x+3+x2-2x-3=32x2-92x ，
当 S△CBP=38S四边形CBPA 时，
则： 32x2-92x=382x2-4x ，
解得： x1=0 （舍）， x2=4 ，
∴P14,-5 ．
当 S△CBP=58S四边形CBPA 时，
则： 32x2-92x=582x2-4x ，
解得 x3=0 （舍）， x4=8 ．
∴P28,-45 ．
23. （1） 连接 DE ，则：

∵BC 为直径，
∴∠BDC=90∘ ，
∴∠BDA=90∘ ，
∵OA=OB ，
∴OD=OB=OA ，
∴∠OBD=∠ODB ，
∵EB=ED ，
∴∠EBD=∠EBD ，
∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB ，
即： ∠EBO=∠EDO ，
∵B-3,0 ， C-3,8 ，
∴CB⊥x 轴，
∴∠EBO=90∘ ，
∴∠EDO=90∘ ，
∵D 点在 OE 上，
∴ 直线 OD 为 ⊙E 的切线．
      （2） ① F14331,0 ； F25,0 ．
②方法 1 ：
△CBG∽△CFB ，

∴BGBF=BCCF=CGBC ，
BC2=CG⋅CF ，
CF=BC2CG ，
CG2+BG2=BC2 ，
BG2=BC2-CG2 ，
BG2CF2=BC2-CG2BC2CG2=64-CG2⋅CG2642 ，
BGGF=CG264-CG264 ，
令 y=CG264-CG2 ，
y=-CG4+64CG2 ，
y=-CG4-64CG2 ，
y=-CG2-322-322 ，
y=-CG2-322+322 ，
当 CG2=32 时， ymax=322 ，
此时 CG=42 ，
BGCFmax=3264=12 ．
【解析】①如图 1 ，当 F 位于 AB 上时：

∵△ANF1∽△ABC ，
∴ANAB=NF1BC=AF1AC
∴ 设 AN=3x ，则 NF1=4x ， AF1=5x ，
∴CN=CA-AN=10-3x ，
∴tan∠ACF=F1NCN=4x10-3x=17 ，
解得： x=1031 ，
∴AF1=5x=5031 ， OF1=3-5051=4331 ，
即 F14331,0 ．
如图 2 ，当 F 位于 BA 的延长线上时：

∵△AMF2∽△ABC ，
∴ 设 AM=3x ，则 MF2=4x ， AF2=5x ，
∴CM=CA+AM=10+3x ，
∴tan∠ACF=F2MCM=4x10+3x=17 ，
解得： x=25 ，
∴AF2=5x=2 ， OF2=3+2=5 ，
即 F25,0 ．
②方法 2 ：
如图，作 GM⊥BC 于点 M ，

∵BC 是直径，
∴∠CGB=∠CBF=90∘ ，
∴△CBF∽△CGB ，
∴BGCF=MGBC=MG8 ，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）．
∵MG≤半径=4 ，
∴BGCF=MG8≤48=12 ，
∴BGCF 的最大值为 12 ．
方法 3 ：
∵BC 是直径．
∴∠CGB=∠CBF=90∘ ，
∴∠CBG=∠CFB （记为 α ，其中 0∘<α<90∘ ），
则： BGCF=BCcosαBC=sinαcosα=12sin2α≤12 ，
∴BGCF 的最大值为 12 ．

方法 4 ：
算数平均数 ≤ 几何平均数，即 a+b2≥ab ，
取 CF 中点 M ，连接 BM ，则 BG≤BM ，

点 M 和点 G 重合，即 △CBF 为等腰 Rt△ 时，取等号，
则 BGCF=BG2BM=12BGBM≤12BMBM=12 ，
∴BGCF 的最大值为 12 ．
方法 5 ：
a+b2≥ab ，
如图，在 Rt△CBF 中有摄影定理得： BG2=CG⋅FG ，

则 BGCF=aba+b≤a+b2a+b=12 ，等腰 Rt△ 时，取等号，
∴BGCF 的最大值为 12 ．

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