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2021中考数学热点题型专练 二次函数

2021中考数学热点题型专练 二次函数

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热点09 二次函数
【命题趋势】
中考中对二次函数的考查除定义、识图、性质、求解析式等常规题外，还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题，阅读理解和探究题，二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合题在压轴题中出现的可能性很大．
【满分技巧】
一、二次函数表达式的确定
步骤：
（1）设二次函数的表达式；
（2）根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；
（3）解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的表达式．
二、二次函数的实际应用
（1）利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的函数关系式；
（2）最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值．
三、二次函数的图象与几何图形的关系
将函数知识与几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将问题转化函数模型，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
【限时检测】（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．抛物线y=﹣+1的顶点坐标为
A．（3，1） B．（﹣3，1）
C．（，1） D．（﹣，1）
【答案】C
【解析】∵抛物线y=﹣+1中，2x﹣3=0时，x=，
故抛物线y=﹣+1的顶点坐标为：（，1）．
故选C．
2．对于函数y=–2（x–3）2，下列说法不正确的是
A．开口向下 B．对称轴是
C．最大值为0 D．与y轴不相交
【答案】D
【解析】对于函数y=–2（x–3）2的图象，
∵a=–2<0，∴开口向下，对称轴x=3，顶点坐标为（3，0），函数有最大值0，
故选项A、B、C正确，选项D错误，
故选D．
3．若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3-m，n）、D（，
y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是
A．y1<y2<y3 B．y1<y3<y2
C．y3<y2<y1 D．y2<y3<y1
【答案】D
【解析】∵经过A（m，n）、C（3-m，n），∴二次函数的对称轴x=，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|>0，
∴y1>y3>y2，故选D．
4．当x=a和x=b（a≠b）时，二次函数y=2x2﹣2x+3的函数值相等、当x=a+b时，函数y=2x2﹣2x+3的值是
A．0 B．﹣2
C．1 D．3
【答案】D
【解析】∵当x=a或x=b（a≠b）时，二次函数y=2x2﹣2x+3的函数值相等，
∴以a、b为横坐标的点关于直线x=对称，则，∴a+b=1，
∵x=a+b，∴x=1，
当x=1时，y=2x2﹣2x+3=2﹣2+3=3，故选D．
5．若函数y=（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3
C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
【答案】C
【解析】当m=1时，函数解析式为：y=﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y=（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）×m=0，
解得，m=﹣2或3，故选C．
6．将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，得：y=（x–2）2；再向上平移3个单位长度，得：y=（x–2）2+3．故选B．
7．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致是

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数的图象经过二、四象限，
∴k<0，
由图知当x=﹣1时，y=﹣k<1，
∴k>﹣1，
∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x=﹣=，﹣1<<0，
∴对称轴在﹣1与0之间，
∵当x=0时，y=k2>1．
故选D．
8．已知两点A（﹣5，y1），B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．若y1<y2≤y0，则x0的取值范围是
A．x0>﹣1 B．x0>﹣5
C．x0<﹣1 D．﹣2<x0<3
【答案】A
【解析】∵点C（x0，y0）是该抛物线的顶点．且y1<y2≤y0，
∴a<0，x0﹣（﹣5）>|3﹣x0|，
∴x0>﹣1．故选A．
9．（福建省厦门市集美区2019年初中毕业班总复习练习（二模）数学试题）二次函数y=x2+bx﹣t的对称轴为x=2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1<x<3的范围内有实数解，则t的取值范围是
A．﹣4≤t<5 B．﹣4≤t<﹣3
C．t≥﹣4 D．﹣3<t<5
【答案】A
【解析】∵抛物线的对称轴x==2，
∴b=﹣4，
则方程x2+bx﹣t=0，即x2﹣4x﹣t=0的解相当于y=x2﹣4x与直线y=t的交点的横坐标，
∵方程x2+bx﹣t=0在﹣1<x<3的范围内有实数解，
∴当x=﹣1时，y=1+4=5，
当x=3时，y=9﹣12=﹣3，
又∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣4≤t<5时，在﹣1<x<3的范围内有解．
∴t的取值范围是﹣4≤t<5，
故选A．
10．已知抛物线（为常数，）．有下列结论：①抛物线的对称轴为；②方程有两个不相等的实数根；③抛物线上有两点P（x0，m），Q（1，n），若，则，其中，正确结论的个数为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵=x2–x–a2–a，
∴对称轴为直线x==．
∴①正确，
∵x2–x–a2–a=1，
∴x2–x–a2–a–1=0，
∴=（–1）2–4×1×（–a2–a–1）=1+4a2+4a+4=（2a+1）2+4>0，
∴方程（x+a）（x–a–1）=1有两个不相等的实数根；
∴②正确，
∵P（x0，m），Q（1，n）在抛物线上，
∴m=x02–x0–a2–a，n=12–1–a2–a=–a2–a，
∵m<n，
∴x02–x0–a2–a<–a2–a，
∴x02–x0<0，
∴x0（x0–1）<0
∵x0>x0–1，
∴x0>0且x0–1<0，即0<x0<1，
∴③正确，
综上所述：正确的结论有①②③，共3个，
故选D．
11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示则下列结论：①4a﹣b=0；②c<0；③c>3a；④4a﹣2b>at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（）是该抛物线上的点，则y2<y1<y3，其中，正确结论的个数是

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2，
∴4a﹣b=0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c<0，故②正确；
∵由②知，x=﹣1时y>0，且b=4a，
即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0，
所以③正确；
由函数图象知当x=﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；
∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y2>y1>y3，故⑤错误，故选C．
二、填空题
12．二次函数的最大值是__________．
【答案】7
【解析】，
即二次函数的最大值是7，
故答案为：7．
13．已知函数y=﹣x2+2x﹣2图象上两点A（2，y1），B（a，y2），其中a>2，则y1与y2的大小关系是__________．（填“<”“>”或“=”）
【答案】>
【解析】y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，
对称轴x=1，
∵A（2，y1），B（a，y2），其中a>2，
∴点A与B在对称轴的右侧，
∵–1<0，
∴x>2时，y随x的增大而减小，
∴y1>y2，
故答案为：>．
14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴是直线x=2，且经过点P（3，1），则a+b+c的值为__________．
【答案】1
【解析】∵抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴是直线x=2，
∴P（3，1）对称点坐标为（1，1），
∴当x=1时，y=1，
即a+b+c=1，
故答案为：1．
15．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为__________．
【答案】（2，5）
【解析】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，方程ax2+bx+c=5的一个根是2，
∴当x=2时，y=ax2+bx+c=5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故答案为：（2，5）．
16．将抛物线y=2（x﹣1）2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线的函数表达式为__________．
【答案】y=﹣2（x﹣1）2+3
【解析】抛物线y=2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），
由于抛物线y=2（x﹣1）2+3绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，
则所得抛物线解析式为y=﹣2（x﹣1）2+3，
故答案为：y=﹣2（x﹣1）2+3．
17．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s．

【答案】4
【解析】依题意，令得：∴，
得：，解得：（舍去）或，
∴即小球从飞出到落地所用的时间为，故答案为：4．
三、解答题
18．已知抛物线与轴有两个不同的交点．
（1）求的取值范围；
（2）若抛物线经过点和点，试比较与的大小，并说明理由．
【解析】（1），
由题意，得，
∴，
∴的取值范围是．
（2），理由如下：
∵抛物线的对称轴为直线，
又∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，∴．
19．已知抛物线．
（1）若该抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围；
（2）设该抛物线与直线交于M，N两点，若，求C的值；
（3）点P，点Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，都垂直于x轴，垂足分别为A，B，若，求c的取值范围．
【解析】（1）∵抛物线与x轴有交点，
∴一元二次方程有实根．
，即．解得．
（2）根据题意，设
由，消去y，得①．
由，得．
∴方程①的解为
，
，解得．
（3）设点P的坐标为，则点Q的坐标为，且，
，两式相减，得，即
，即
，其中
由，即，得．
当时，，不合题意．
又，得．
∴c的取值范围是．
20．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x元/件（x≥6，且x是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．
【解析】（1）由题意，y=（x-5）（100-×5）=-10x2+210x-800，
故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．
（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，
∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，
解得，x1=8，x2=13，
∵-10<0，抛物线的开口向下，
∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．
（3）∵每件文具利润不超过80%，
∴，得x≤9，
∴文具的销售单价为6≤x≤9，
由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，
∵对称轴为x=10.5，
∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，
∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，
即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．
21．如图，已知抛物线经过点A（–1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得△BQM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“和谐点”，请直接写出“和谐点”的个数和点A1的横坐标．

【解析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
将点A（–1，0），B（4，0），C（0，2）代入解析式，
∴，∴，
∴y=–+x+2．
（2）∵点C与点D关于x轴对称，
∴D（0，–2）．
设直线BD的解析式为y=kx–2．
∵将（4，0）代入得：4k–2=0，
∴k=．
∴直线BD的解析式为y=x–2．
当P点与A点重合时，△BQM是直角三角形，此时Q（–1，0）；
当BQ⊥BD时，△BQM是直角三角形，
则直线BQ的直线解析式为y=–2x+8，
∴–2x+8=–+x+2，可求x=3或x=4（舍），
∴x=3；
∴Q（3，2）或Q（–1，0）．
（3）两个和谐点；
AO=1，OC=2，
设A1（x，y），则C1（x+2，y–1），O1（x，y–1），
①当A1、C1在抛物线上时，

∴，
∴，
∴A1的横坐标是1；
当O1、C1在抛物线上时，

，
∴，
∴A1的横坐标是．